Nekonečné rady a ich vizualizácia

V originále

"Porozumenie pojmu nekonečno, ktorý je jedeným z fundamentálnych pojmov matematiky, predpokladá u každého jedinca značnú mieru kognitívnej vyspelosti. Najmä z tohto dôvodu je vo vyučovacom procese pojem nekonečna zdrojom mnohých prekážok či ťažkostí pri osvojovaní si a dôkladnom pochopení rôznych matematických konceptov súvisiacich s týmto pojmom. S nekonečnom v „explicitnej podobe“ sa študenti po prvý krát (najčastejšie už na strednej škole) stretávajú v súvislosti s pojmom nekonečná číselná postupnosť či súčet nekonečného (geometrického) číselného radu. Prax mnohých pedagógov či závery viacerých štúdií poukazujú na viaceré ťažkosti týchto študentov s dôkladným pochopením pojmu súčet nekonečného radu. Jednou z prekážok, ktorej študenti čelia v súvislosti s pojmami konvergencia a súčet nekonečného radu, je podľa nás stotožňenie pojmov nekonečný a neohraničený, o čom svedčia výroky ako „ ... ale keď pripočítam ďalšie a ďalšie číslo, rastie to do nekonečna ... “. V článku uvádzame niekoľko vizuálnych reprezentácií nekonečných geometrických radov, ktoré môžu študentom pomôcť prekonať uvedené ťažkosti, spojné s dôkladným pochopením tohto pojmu. "

Česky

Porozumění pojmu nekonečno, který je jedním z fundamentálních pojmů v matematice, předpokládá značnou míru kognitivní vyspělosti u každého jedince. Především z tohoto důvodu je ve vyučovacím procesu pojem nekonečno zdrojem mnohých překážek a těžkostí. Jedná se zejména o osvojování a důkladné pochopení různých matematických konceptů, které souvisí s tímto pojmem. Poprvé se s nekonečnem v „explicitní podobě“ studenti setkávají u posloupností a nekonečných řad. Často se tak děje už na střední škole u součtů geometrických řad. Jednou z překážek, která se objevuje, je podle našeho mínění ztotožnění pojmů nekonečný a neohraničený. O tomto svědčí výroky jako „ ... ale když připočítám další a další číslo, roste to do nekonečna ...“. V článku uvádíme několik vizuálních reprezentací nekonečných geometrických řad, které mohou pomoci studentům překonat uvedené težkosti spojené s důkladným pochopením tohoto pojmu. Tyto a další vizuální reprezentace byly použity ve výuce v prvním ročníku u studentů učitelství matematiky. Studenti přijali pozitivně zejména tu skutečnost, že prezentace jich názornou formou a bez složitých důkazů „přesvědčili“ o tom, že sečtením nekonečně mnoho čísel (přesněji nekonečného počtu kladných čísel) můžeme dostat konečný výsledek, konečné reálné číslo.

Anglicky

Understanding the concept of infinity, which is one of the fundamental concepts of mathematics, assumes significant degree of cognitive maturity of every individual. For this reason is this concept in teaching process source of many obstacles and difficulties. Students meet for the first time with the notion of infinity in „explicit form“ in connection with the concept of convergence of sequences and series. As confirmed by several studies, many practicing teachers or our own experience, the concept of sum of infinite series belongs in terms of learning process to difficult and problematic ones. In our opinion, one of the obstacles that students face in relation to the concepts of convergence and the sum of the infinite series is confusion of meanings of terms infinite and unbounded. The contribution states some visual several visual representations of sum of infinite series, which may help students to overcome some difficulties related to the thorough understanding of these concept.

Přehled o publikaci