STATISTIKA PRO EKONOMY KURZ
Úroveň Bc. stupeň studia
4. TÉMA
Aplikace statistických testů ve softwaru R
Cíle kapitoly:
1. Testování statistických hypotéz
2. Jednovýběrové t - testy
3. Dvouvýběrové parametrické a neparametrické t - testy
4. ANOVA (Analýza shodnosti rozptylu)
5. Regresní analýza
1. Testování statistických hypotéz
Statistická hypotéza je určité tvrzení o parametrech (nebo obecněji o vlastnostech) základního
souboru (např. o střední hodnotě). O její přijatelnosti rozhodujeme pomocí statistického testu.
Hypotéza, které platnost ověřujeme, se označuje H0 a nazývá se nulová hypotéza. Oproti ní
postavíme alternativní hypotézu HA (nebo H±), která popírá platnost H0.
Testové kritérium je vhodná funkce výběru (např. výběrový průměr apod.). Volba testového
kritéria závisí na tom, jakou hypotézu chceme otestovat (zda testujeme hypotézu o průměru,
rozptylu), ale také na povaze dat ve výběrovém souboru.
U statistického testu existuje jistá pravděpodobnost, že zamítneme i tu nulovou hypotézu,
která ve skutečnosti platí. Tuto pravděpodobnost nazýváme hladina významnosti, značíme a,
volí se malé číslo, často a = 0,05.
Je zřejmé, že jsou 4 možné případy, jak je znázorněno v tabulce:
H0 platí H0 neplatí
H0 nezamítáme
správné rozhodnutí
pravděpodobnost 1-a
chyba 2. druhu
pravděpodobnost (3
H0 zamítáme
chyba 1. druhu
pravděpodobnost a
správné rozhodnutí
pravděpodobnost 1-J3
Kritický obor je množina takových hodnot testového kritéria, u kterých hypotézu H0
zamítáme, určuje se s ohledem na zvolenou hladinu významnosti a někdy i s ohledem na počet
prvků výběrového souboru.
2. Jednovýběrové t - testy
V případě testování parametrů jednoho výběrového souboru se využívají:
o t-test - pokud testujeme hypotézu o průměru a rozdělení je normální,
o asymptotický u-test - pokud testujeme hypotézu o průměru a dat je v dostatečném
množství (alespoň 30),
o ^-test ° rozptylu - pokud testuji hypotézu o rozptylu, nebo směrodatné odchylce a
rozdělení je normální,
o asymptotický u-test pro populační poměr - pokud testuji hypotézu o podílu nějaké
skupiny v základním souboru a dat je v dostatečném množství (alespoň 30).
Další testy používané projeden výběrový soubor:
o Wilcoxonův test - pokud testujeme hypotézu o mediánu, rozdělení není normální a dat
je málo. V tomto případě používáme jako míru střední hodnoty medián, průměr nelze
použít.
o Shapiro - Wilkův test - pokud testujeme hypotézu o tom, že data pocházejí
z normálního rozdělení.
Postup ve softwaru R
V prvním krokuje důležité stanovit nulové hypotézy:
o jednovýběrový t-test
[i = k (střední hodnota = konstanta)
o j ednovýběrový Wilcoxonův test
[i = k (střední hodnota = konstanta)
o Shapiro-Wilkův test
rozdělení dané proměnné = normální rozdělení
Jestliže analyzujeme jediný výběr, jehož střední hodnotu (např. průměr, medián) srovnáváme
s předem danou konstantou, volíme jednovýběrový test (například se ptáme, jestli průměrná
výška studentů =178 cm).
Pokud j e rozdělení daného výběru normální, zvolíme jednovýběrový t-test (Statistics Means
- Single-sample t-test). Jestliže zamítneme normalitu dat (anebo víme, že data nemají normální
rozdělení, volíme neparametrický test - např. jednovýběrový Wilcoxonův test - příkaz:
w'úcoxXest(dataset$proměnná,mu=konstantaÝ
K testování normality daného výběru použijeme např. Shapiro-Wilkův test (Statistics Summaries
- Shapiro-Wilk test of normality).
3. Dvouvýběrové parametrické a neparametrické t - testy
Dvouvýběrovémi testy zkoumáme shodu parametrů (obecněji vlastností) u dvou nezávislých
nebo závislých souborů. U dvouvýběrových testuje důležité v první fázi identifikovat, zda se
jedná o závislé či nezávislé výběry. Poté je možné postupovat dále ve statistické analýze
a aplikovat vhodný statistický test podle povahy a vlastností případové studie. U závislých
výběrů není nutné analyzovat rozptyly výběrů. U nezávislých výběrů je nutné aplikovat
dodatečné statistické testy, které slouží k analýze předpokladů shodnosti rozptylů dvou výběrů.
Používané parametrické testy jsou:
o párový t-test - používá se pro porovnání průměrů pro závislé soubory (hodnota
v jednom souboru závisí na hodnotě ve druhém - např. spotřeba auta u paliva s aditivy
a bez nich). Data musejí být jasně ve dvojicích a rozdíly hodnot mají normální rozdělení;
o dvouvýběrový t-test - používá se pro nezávislé soubory (dvě skupiny dat, které netvoří
páry). Oba soubory musejí mít normální rozdělení. Je zde dále důležité, zda jsou
rozptyly u obou souborů shodné, nebo ne - tento test má dvě varianty;
o dvouvýběrový F-test - používá se pro porovnání rozptylů pro nezávislé soubory. Oba
soubory musejí mít normální rozdělení;
o asymptotický dvouvýběrový u-test - používá se pro testování průměrů pro nezávislé
soubory (dvě skupiny dat, které netvoří páry). Oba soubory musejí mít dostatek dat
(alespoň 30);
o asymptotický dvouvýběrový u-test pro populační poměr - používá se pro porovnání
podílů v populaci. Oba soubory musejí mít dostatek dat (alespoň 30).
Některé neparametrické dvouvýběrové testy jsou:
o párový Wilcoxonův test, dvouvýběrový Wilcoxonův test, dvouvýběrový MannůvWhitneyův
test nahrazují podobné t-testy, pokud rozdělení některé skupiny (nebo
obou) není normální a dat je málo.
Postup ve softwaru R
V prvním krokuje důležité stanovit nulové hypotézy:
o F-test
2 2
s 1 = s 2 (var(l) = var(2) neboli rozptyly se sobě rovnají)
o Shapiro-Wilkův test
rozdělení dané proměnné = normální rozdělení
o párový Wilcoxonův test
Hl - \i2 = k (rozdíl středních hodnot obou výběrů = konstanta (často 0))
o dvouvýběrový Wilcoxonův test
m =
M2 (střední hodnoty obou výběrů se sobě rovnají)
o párový t-test
M-l - M2 =
k (rozdíl středních hodnot obou výběrů = konstanta (často 0))
o dvouvýběrový t-test (Studentův t-test, t-test nezávislých výběrů), \i\ = (střední
hodnoty obou výběrů se sobě rovnají)
Pokud srovnáváme dva výběry (A, B) musíme rozhodnout, zda jsou výběry na sobě závislé či
nikoli (závislé - hodnota v A ovlivňuje hodnotu v B - např. délka levé a pravé ruky u jednoho
člověka; výška bratra a sestry; nezávislé - hodnota v A a B se navzájem neovlivňují (např.
náhodně vybrané délky levé a pravé ruky u různých lidí, výška náhodně vybraných mužů a
žen).
Pokud jsou výběry závislé, volíme párové testy, pokud jsou nezávislé, volíme testy
dvouvýběrové.
Závislé i nezávislé výběry mohou a nemusí mít normální rozdělení. Pokud zamítneme
normalitu výběrů (Shapiro - Wilkův test), volíme neparametrické testy - např. párový
Wilcoxonův test (Statistics - Nonparametric tests - Paired samples Wilcoxon test), resp.
dvouvýběrový Wilcoxonův test {Statistics - Nonparametric tests - Two sample Wilcoxon
test).
Pokud výběry mají normální rozdělení, volíme t-testy (párový t-test (Statistics - Means paired
t-test), resp. dvouvýběrový t-test (Statistics - Means - Independent samples t - test)).
Použití dvouvýběrového t-testu však předpokládá homogenitu (shodnost) rozptylů (variancí).
Podle toho, jestli se rozptyly obou výběrů rovnají nebo nerovnají, zvolíme odpovídající variantu
t-testu. Shodnost rozptylů testujeme pomocí F-testu (Statistics - Variances - Two-sample Ftest).
Pokud zamítneme shodnost rozptylů, zvolíme v dialogu dvouvýběrového t-testu možnost
Assume equal variance? No). Pokud nezamítneme shodnost rozptylů, zvolíme Assume equal
variance? Yes.
4. ANOVA (Analýza shodnosti rozptylu)
Analýza rozptylu (ANOVA) se používá ke zkoumání, zda průměrné hodnoty v několika
souborech jsou stejné, tj. ke zkoumání závislosti číselného znaku na slovním (slovním znakem
je zařazení do skupiny). ANOVA funguje na principu F-test dvou rozptylů, její závěry se však
týkají průměrů ve skupinách.
Předpokladem ANOV Y je normalita dat v rámci každé skupiny a shoda rozptylů u všech
skupin.
Postup ve softwaru R
V prvním krokuje důležité stanovit nulové hypotézy:
o Bartlettův a Levenův test
2 2 2 2 2
s i = s 2 =
s 3 = s 4 = s k (var(l) = var(2) = var(3) = var(4) = var(k)
o neboli všechny rozptyly se sobě rovnají) • jednofaktorová ANOVA
o M-l=
M-2=
M-3=
M-4= =
M-k (střední hodnoty všech výběrů se sobě rovnají)
Kruskal - Wallisův test
o M-l=
M-2=
M-3=
M-4= =
M-k (střední hodnoty všech výběrů se sobě rovnají)
Pokud srovnáváme mezi sebou více než dva výběry, lišící se v jediném faktoru (například výše
příjmů lidí s ukončeným vzděláním ZS, SS a VS - liší se ve vzdělanosti; nebo výše denního
obratu firmy v zimě, na jaře, v létě a na podzim - liší se v ročním období)), můžeme je porovnat
jednofaktorovou ANOVOU (Analysis of Variance, analýza rozptylu). Jinak řečeno - tímto
testem sledujeme závislost kvantitativní proměnné na kategoriální (příjem na vzdělání, obrat
na ročním období). V R potřebujeme data ve dvou sloupcích - jedna proměnná je kvantitativní
(závislá, odpověď), druhá je kategoriální (nezávislá, grupovací). Test provedeme Statistics Means
- One-way ANOVA.
Předpokladem ANO V Y je normalita dat a shodnost rozptylů. Testy předpokladů lze provést v
R. Homogenitu variancí (shodnost rozptylů, homoskedascitu) lze testovat Bartlettovým testem
{Statistics - Variance - Bartletťs tesť) anebo Levenovým testem {Statistics - Variance Levene's
test). Test normality se aplikuje na reziduály. Proměnnou reziduály je nejprve třeba
vytvořit {Data - Manager variables in active data set - Compute new variable; zde vyplnit
New variable name: residuals; Expression to compute: residuals(AnovaModel.l). Na
proměnnou residuals potom aplikujeme test normality (Shapiro - Wilk). ANOVU lze provést,
pokud jsou výsledky testů předpokladu neprůkazné (větší než 0.05).
Podle výsledků A N O V Y nezjistíme, která ze skupin se liší od jiných a jak moc (viz HO).
Pokud víme, že data předpoklady pro ANOVU (především normalitu dat), lze několik výběrů
srovnat neparametrickou obdobou ANOVY - např. Kruskal - Wallisův test. V R zadáme
Statistics - Nonparametric tests - Kruskal - Wallis test.
5. Regresní analýza
Pomocí lineárních regresních modelů popisujeme statistickou závislost mezi dvěma
číselnými veličinami. Popis této závislosti má podobu rovnice, jak veličina Fzávisí naX
Z těchto dvou veličin je jedna vysvětlovaná (regresanď) a druhá je vysvětlující (regresor).
Často je (už i intuitivně) vhodnější jedno pořadí - například vysvětlovat výkon motoru pomocí
jeho objemu, ale teoreticky jsou vždy možné obě pořadí.
Nejjednodušším případem je regresní přímka, rovnice regresní přímky má tvar:
y = b0 + bx • x, kde
x je hodnota vysvětlující veličiny X,
ý je předpovídána hodnota vysvětlované veličiny Y pro danou hodnotu x,
b0 + bx jsou regresní parametry nebo regresní koeficienty.
Koeficienty v rovnici regresního modelu se určují například pomocí metody nejmenších
čtverců, statistické programy mají potřebné metody naprogramovány.
Regresní model musí splňovat tři základní předpoklady:
• předpoklad normality dat,
• předpoklad homoskedasticity,
• předpoklad sériové nezávislosti.
Regresní model se skládá ze dvou částí. Ze systematické a nesystematické složky. Právě
nesystematická složka, aby se stala součástí regresního modelu, musí splňovat prostřednictvím
reziduí výše zmíněné předpoklady regresní analýzy.
Index determinace slouží k identifikaci, na kolik procent aplikovaný statistický model dokáže
vysvětlit danou případovou studii. Čím vyšší je index determinace, tím vhodnější je aplikovat
statistický model.
Korelační koeficient r umožňuje stanovit míru (sílu) závislosti mezi uvažovanými veličinami.
Veličiny jsou tím těsněji propojené, čím je r bližší k 1 nebo — 1. Pokud je r blízké k 0,
veličiny jsou nezávislé (neovlivňují se), nebo závislost nemá tvar přímky. Záporný korelační
koeficient vyjadřuje nepřímou úměru a kladný korelační vyjadřuje koeficient přímou úměru.
Další informace korelační analýza nepodává. Pouze informuje analytika o možných dalších
postupech.
Postup ve softwaru R
Nulová hypotéza testu významnosti lineární regrese zní následovně:
vysvětlovaná proměnná nezávisí na vysvětlující proměnné (Y nezávisí na X). Pokud je hodnota
p menší než hladina významnosti, zamítáme nezávislost.
Pokud potřebujeme srovnat závislost jedné kvantitativní proměnné na jiné (případně na
několika) kvantitativní, použijeme lineární regresi. Jedna z proměnných je přitom vysvětlující
proměnná (X, nezávisle proměnná, prediktor), druhá je vysvětlovaná (Y, závisle proměnná,
odpověď). Mezi proměnnými je tedy zřejmý kauzální vztah (co je příčina a co je důsledek).
Např. závisí (a jak moc) výše útraty na příjmu? Závisí příjem člověka na jeho IQ? Data máme
zadaná ve dvou sloupcích (každá proměnná j eden sloupec).
Reziduály jsou užitečným pro zjištění, zdaje lineární regrese vhodně zvoleným modelem.
V programu R klikneme na Statistics - Fit models - Linear regression. Vybereme
vysvětlovanou proměnnou {Response variable) a vysvětlující proměnnou {Explanatory
variable).
Výsledkem dostaneme:
o koeficient determinace = Multiple R-squared
o test významnosti = F-statistic, p-value
o koeficienty regresní rovnice = sloupec Estimate v části Coefficients.
Shrnutí:
1. Testování statistických hypotéz
2. Jednovýběrové t - testy
3. Dvouvýběrové parametrické a neparametrické t - testy
4. A N O V A (Analýza shodnosti rozptylu)
5. Regresní analýza
Pokud zkoumáme závislost kvantitativní proměnné na kategoriální, přičemž kategoriální
proměnná nabývá jen dvou hodnot, použijeme nějaký dvouvýběrový test (porovnáváme dva
výběry).
Pokud zkoumáme závislost kvantitativní proměnné na kategoriální, přičemž kategoriální
proměnná nabývá více než dvou hodnot, použijeme model A N O V A (porovnáváme více
výběrů).
Pokud zkoumáme závislost kvantitativní proměnné na jiné kvantitativní, použijeme buď
regresi (jedna proměnná je vysvětlovaná a druhá vysvětlující), anebo korelaci (mezi
proměnnými není zřejmý vztah příčina - důsledek).
Zdroje:
ADAMEC, V , L. STŘELEC, a D , HAMPEL, 2017. Ekonometrie I: učební text. Druhé
nezměněné vydání. Brno: Mendelova univerzita v Brně. ISBN 978-80-7509-480-3. (s. 67-216)
HINDLS, R., 2018. Statistika v ekonomii. [Průhonice]: Professional Publishing. ISBN 978-80-
88260-09-7. (s. 120-216)
MOŠNA, F., 2017. Základní statistické metody. Praha: Univerzita Karlova v Praze. ISBN 978-
80-7290-972-8. (s. 14-39)
ŠŤUCHLY, J., 2015. Statistické analýzy dat: vysokoškolská učebnice. České Budějovice:
Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích. ISBN 978-80-7468-087-8. (s.
49-122)