f evropský	
1 sociální	
1 I fond v ČR	EVROPSKÁ UNIE
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, OP Vzdělávání
MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY      pro konkurenceschopnost
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021"
OBECNÝ TROJÚHELNÍK
Při řešení obecného trojúhelníku se užívá tzv. trigonometrických vět, z nichž nejvýznamnější je věta sinová a kosinová.
Viz příloha: „obecny_trojuhe!nik"
VETA SINOVÁ
Pro každý trojúhelník ABC, jehož strany mají délky a,b,ca vnitřní úhly a, j3, y, platí:
a
sin oc    sin /? siny
= 2r
kde r je poloměr kružnice opsané trojúhelníku; tento poměr lze dále upravit takto:
a b
sinoc sin /?
b _ sin /? c siny
c a
siny siná
tj. poměr délek stran trojúhelníku se rovná poměru sinů velikostí příslušných protilehlých úhlů.
1
f evropský	
1 sociální	
1 I fond v ČR	EVROPSKÁ UNIE
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, OP Vzdělávání
MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY      pro konkurenceschopnost
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021"
VĚTA KOSINOVÁ
Pro každý trojúhelník ABC, jehož strany mají délky a,b,c a vnitřní úhly a, j3, y, platí:
a2 = b2 + c2 — 2bc * cos oc b2 = a2 + c2 — 2ac * cos p c2 = a2 + b2 — 2ab * cos7
Věty sinové respektive kosinové se užije pro řešení podle druhu zadání prvků trojúhelníku:
Zadáno:
délka jedné strany a velikosti dvou úhlů (usu, ssu] ... sinová věta délka dvou stran a velikost úhlu proti jedné z nich (ssu]
... sinová věta
délky všech tří stran (sss] ... kosinová věta
délky dvou stran a velikost úhlu jimi sevřeného (sus]
... kosinová věta
2
f evropský	
1 sociální	
1 I fond v ČR	EVROPSKÁ UNIE
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, OP Vzdělávání
MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY      pro konkurenceschopnost
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021"
Řešený příklad:
Určete délky zbývajících stran a velikosti zbývajících vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, je-li dáno:
a = 20 cm, a = 45°,p = 30°
Nejprve použijeme sinovu větu a vypočítáme stranu b: b a
siny? sinoc
b =      sin B =    20   sin 30 = 14,14 cm
sinoc sin 45
nyní spočítáme úhel y:
a + P + y = 180°    y = 180° - 45° - 30° = 105°
Nyní pomocí sinové věty vypočítáme stranu c:
c       siny a 20     . -
- = -— => c = -sinr = -sin 105 = 27,32 cm
a      sin a sinoc sin 45
Obvod obecného trojúhelníku:
o = a + b + c
3
f evropský	
1 sociální	
1 I fond v ČR	EVROPSKÁ UNIE
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, OP Vzdělávání
MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY      pro konkurenceschopnost
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021"
Obsah obecného trojúhelníku:
£ _ a*va      £ _ b*vb _ c*vc
~     2 ~     2 ~ 2
v & Vb a vc značí výšky ke stranám a, b a c
Obsah lze též spočítat, známe-li délky všech tří stran (Heronův vzorec]:
S = -y/5 * (s — a) * (s — b) * (s — c)
a+b+c kde  5 = -
4