Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
1
FUNKCE KOTANGENS
Definice funkce kotangens na jednotkové kružnici :
Funkce kotangens je daná ve tvaru :
x
x
gxy
sin
cos
cot 
Důvod je dobře vidět na předchozím obr.
z trojúhelníka OMN. Kotangens je totiž také poměr
přilehlé odvěsny ku protilehlé
x
x
MN
MO
sin
cos
 . Hodnoty
funkce kotangens budeme znázorňovat na tečně
k jednotkové kružnici v bodě L. Rameno úhlu u
 Zkku  , protne tuto tečnu v bodě K. Funkcí
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
2
kotangens je každému reálnému číslu u přiřazeno
číslo xK .
POZNÁMKA:
důvod zobrazování hodnot funkce kotangens na výše
zmíněnou tečnu je zřejmý. Funkce cotg x je poměr
přilehlé odvěsny ku protilehlé. Velikost protilehlé
odvěsny je 1, takže hodnota cotg x je přímo xK . (Viz
trojúhelník OKL.)
Definičním oborem funkce kotangens jsou všechna
reálná čísla kromě násobků  . Při těchto
hodnotách by totiž rameno úhlu u „naší tečnu“
neprotnulo.
Nyní odvodíme hodnoty funkce kotangens přiřazené
některým význačným číslům (a vlastně i úhlům) :
V intervalu 


2
;0

půjde o čísla 
6
1 (30°),

4
1 (45°),

3
1 (60°). K odvození nám opět pomůžou naše
známé trojúhelníky :
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
3
Protože kotangens je poměr přilehlé odvěsny ku
protilehlé v pravoúhlém trojúhelníku, snadno
určíme :
3
6
1
cot g , 1
1
1
4
1
cot g ,
3
3
3
1
3
1
cot g
CVIČENÍ:
vypočtěte:
1) 
4
sin
3
cot
6
cot
4
cos

gg
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
4
2) 
3
sin
3
cot
6
cos33


g
VÝSLEDKY:
1)
2
1 , 2) 311
Pro dynamickou demonstraci hodnot funkce
kotangens na jednotkové kružnici otevřete přílohu 4
v aplikaci „geogebra“. Pro srovnání všech
goniometrických funkcí v jednom dynamickém
obrázku otevřete přílohu 5.
VLASTNOSTI FUNKCE KOTANGENS
Dříve jsme již uvedli, že definičním oborem funkce
kotangens je množina R kromě lichých násobků  .
V příloze 4 můžeme při pohybu ramene
zobrazeného úhlu vidět, že hodnoty funkce cotg se
pohybují na vodorovné ose v rozmezí souřadnic
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
5
mínus nekonečno až plus nekonečno. Definiční obor
i obor funkčních hodnot lze tedy zapsat takto :
D(f) je množina všech x є R, pro něž
Zkkx  , , H(f) =   ;
Z pozorování dynamické demonstrace v příloze 4
vyplývá věta :
Pro všechna x є R a pro všechna k є Z platí :
cotg(x + kπ) = cotg x
Např. 3
6
13
cot
6
7
cot
6
cot 

ggg
Této skutečnosti říkáme, že goniometrická funkce
kotangens je periodická s periodou π (180°).
Z přílohy 4 můžeme též zjistit, ve kterých intervalech
jsou hodnoty funkce cotg kladné či záporné a také
určit její monotónnost. Ramenem točíme proti
směru hodinových ručiček, čili v kladném smyslu
rotace. Začneme od intervalu








 0;
2

Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
6
interval cotg x monotónnost








 0;
2
 - klesající










2
;0
 + klesající








 ;
2
- klesající










2
3
;

 + klesající
Pozor: I když je funkce kotangens klesající
na jednotlivých výše uvedených intervalech, není
klesající na celém intervalu











2
3
;
2
 . Stačí si např.
všimnout, že libovolná funkční hodnota z intervalu










 0;
2
 je menší než libovolná funkční hodnota
z intervalu










2
;0
 . Tento poznatek zobecníme :
Funkce kotangens je klesající na jednotlivých
intervalech 











  1; kk , ale není již klesající na
celém svém definičním oboru.
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
7
GRAF FUNKCE KOTANGENS
Následující obrázek nám pomůže při určování
některých bodů grafu:
A takto vypadá vlastní graf funkce y = cotg x :
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
8
PŘÍKLADY:
Vypočtěte:
1) 
6
41
cot

g 2) 






3
8
cot

g
3) 
4
51
cot

g
ŘEŠENÍ:
1)
3
6
cot
6
5
cot6
6
5
cot
6
41
cot 









gggg
2)
3
3
3
1
3
cot3
3
cot
3
8
cot 















ggg
3) 1
4
3
cot12
4
3
cot
4
51
cot 









ggg
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
9
CVIČENÍ:
Vypočtěte:
1) 
2
31
cot

g 2) 






4
33
cot

g
3)  
o
g 1740cot
VÝSLEDKY
1) 0 2) -1 3)
3
3

Použitá literatura :
[1] Odvárko, O., Řepová, J., 2008. Matematika pro
střední odborné školy a studijní obory středních
odborných učilišť – 3. část 5. vydání. Praha. ISBN 978-
80-7196-039-3
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
10