KrT^T evropský ^™^^fc I SOCiŠIní g MINISTERSTVO ŠKO t^^m ■ fondvCR EVROPSKÁ UNIE MLÁDEŽE A TĚLOVÝC 17^ MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, OP Vzdělávání MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021" FUNKCE TANGENS Definice funkce tangens na jednotkové kružnici Funkce tangens je daná ve tvaru : y = tgx = sin x cos x Důvod je dobře vidět na předchozím obr. z trojúhelníka OMN. Tangens je totiž také poměr |mn ' protilehlé odvěsny ku přilehlé sin x mo cos x Hodnoty funkce tangens budeme znázorňovat na tečně k jednotkové kružnici v bodě T. Rameno úhlu u y * ^+k;r,keZj pr0|-ne xwto tečnu v bodě K. KrT^T evropský ^™^^fc I SOCiŠIní g MINISTERSTVO ŠKO t^^m ■ fondvCR EVROPSKÁ UNIE MLÁDEŽE A TĚLOVÝC 17^ MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, OP Vzdělávání MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021" Funkcí tangens je každému reálnému číslu u přiřazeno číslo Vk ■ _POZNÁMKA_ Důvod zobrazování hodnot funkce tangens na výše zmíněnou tečnu je zřejmý. Funkce tg x je poměr protilehlé odvěsny ku přilehlé. Velikost přilehlé odvěsny je 1, takže hodnota tg x je přímo yK. Definičním oborem funkce tangens jsou všechna n reálná čísla kromě lichých násobků ~ . Při těchto hodnotách by totiž rameno úhlu u „naší tečnu" neprotnulo. Nyní odvodíme hodnoty funkce tangens přiřazené některým význačným číslům (a vlastně i úhlům] : V intervalu L x) půjde o čísla ]_n [30°], ]_n \ i\ 6 4 [45°], )_n [60°]. K odvození stačí opět načrtnout 3 šikovně dva trojúhelníky: 2 KTř^t evropský ^^fc I S00131™ ■ MINISTERSTVO ŠKO t^^m ■ fondvCR EVROPSKÁ UNIE MLÁDEŽE A TĚLOVÝC 17^ MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, OP Vzdělávání MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021" Protože tangens je poměr protilehlé odvěsny ku přilehlé v pravoúhlém trojúhelníku, snadno určíme : t 1 1 VŠ" i 1 tg -71 = —= = - , tg —71 = - = 1 , 6 V3 3 4 1 tg —n =-= V3 3 1 CVIČENI Vypočtěte: n n 24 cos —tg — n n n 3 6 1) tg —tg —tg — = 2] " J 4 6 3 • 71 sin — 3 3 OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost £_! INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021" 3] Pokud úhel 30° zvětšíme dvakrát, kolikrát se zvětší hodnota funkce tangens ? 1] 1, 2] 8, 3] třikrát Pro dynamickou demonstraci hodnot funkce tangens na jednotkové kružnici otevřete přílohu 3 v aplikaci „geogebra" Dříve jsme již uvedli, že definičním oborem funkce tangens je množina R kromě lichých násobků —. 2 V příloze 3 můžeme při pohybu ramene zobrazeného úhlu vidět, že hodnoty funkce tg se pohybují na ose y v rozmezí souřadnic mínus nekonečno až plus nekonečno. Definiční obor i obor funkčních hodnot lze tedy zapsat takto : D(f) je množina všech x e R, pro něž VÝSLEDKY VLASTNOSTI FUNKCE TANGENS 4 KrT^T evropský ^™^^fc I SOCiŠIní g MINISTERSTVO ŠKO t^^m ■ fondvCR EVROPSKÁ UNIE MLÁDEŽE A TĚLOVÝC MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, OP Vzděláváni fondvCR EVROPSKÁ UNIE MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021" TC * (2k + !)^'k e Z , H(f) = (- oo;+oo ) Z pozorování dynamické demonstrace v příloze 3 vyplývá věta : Pro všechna x e R a pro všechna k e Z platí: tg(x + ku:] = tg x „Tv 71 5 71 9 71 Napr. tg—=tg-=tg-=1 4 4 4 Této skutečnosti říkáme, že goniometrická funkce tangens je periodická s periodou tt [180°]. Z přílohy 3 můžeme též zjistit, ve kterých intervalech jsou hodnoty funkce tg kladné či záporné a také určit její monotónnost. Ramenem točíme proti směru hodinových ručiček, čili vkladném smyslu rotace. Začneme od intervalu {_ 5 Bf evropský SOCÍállTI OP Vzděláváni fOndvCR EVROPSKÁ UNIE MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021" interval ^;0 tgx monotónnost rostoucí 0; — 2 rostoucí n — \7t 2 J rostoucí (3*1 rostoucí Pozor: I když je funkce tangens rostoucí na jednotlivých intervalech výše uvedených, není rostoucí na celém intervalu [ k 3* ) . Stačí si např. všimnout, že libovolná funkční hodnota z intervalu f je větší než libovolná funkční hodnota z intervalu [—-ji ) ■ Tento poznatek zobecníme : 12 ' J Funkce tangens je rostoucí na jednotlivých intervalech \(2k -1]— ;Í2k + l] —| , ale není již 2 2 rostoucí na celém svém definičním oboru. KrT^T evropský ^™^^fc I SOCiŠIní g MINISTERSTVO ŠKO t^^m ■ fondvCR EVROPSKÁ UNIE MLÁDEŽE A TĚLOVÝC 17^ MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, OP Vzdělávání MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021" GRAF FUNKCE TANGENS A takto vypadá vlastní graf funkce y = tg x : 7 Bf evropský SOCÍállTI OP Vzděláváni lOndvCR EVROPSKÁ UNIE MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021" PRÍKLADY: Vypočtěte: 1] t§ 35 n 2] t§ 8?r l 3 j 3) tg 5Í7T 4 RESEN1 1") tg -= tg | -+ 5;r | = tg -= -tg — =-- J 6 ^6 ) 6 6 3 2] ^ ( n 7ľ — = tg — - 3^r = tg — 1 3 ) L 3 ) 3 51 n (37t ^ 37t 3] tg -= tg | -+ 12 n | = tg -= -1 l 4 ) 8 KrT^T evropský ^™^^fc I SOCiŠIrií g MINISTERSTVO ŠKO t^^m ■ fondvCR EVROPSKÁ UNIE MLÁDEŽE A TĚLOVÝC MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, OP Vzdelávaní MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021" Použitá literatura : [1] Odvárko, 0., Řepová, J., 2008. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť- 3. část5. vydání. Praha. ISBN 978-80-7196-039-3 9