Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
1
FUNKCE KOSINUS
Definice funkce kosinus na jednotkové kružnici :
Reálnému číslu u přiřadíme na jednotkové kružnici
bod M, pro číslo 

 2;0ou platí :
u = uo + m.2π , kde m je celé č.
Funkcí kosinus je každému reálnému číslu u
přiřazeno číslo xM .
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
2
POZNÁMKA
Z vyznačeného trojúhelníku je patrné, že cos uo je
přilehlá odvěsna ku přeponě MO, která je rovna jedné
(poloměr jednotkové kružnice). V prvním kvadrantu
velikost vodorovné odvěsny koresponduje s x-ovou
souřadnicí bodu M. Podle toho si lze pamatovat, že
funkce cos bude mít hodnoty na ose x.
Definičním oborem funkce kosinus je množina R a
budeme pro ni používat zápis y = cos x
Nyní odvodíme hodnoty funkce cos přiřazené
některým význačným číslům (a vlastně i úhlům):
V intervalu 

2;0 půjde o čísla 0,
2
 ,  , 
2
3
Z jednotkové kružnice snadno vyčteme hodnoty:
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
3
10cos  , 0
2
cos 
 , 1cos  , 0
2
3
cos 

V intervalu





2
;0
 půjde o čísla 
6
1 (30°), 
4
1
(45°), 
3
1 (60°). K odvození stačí načrtnout šikovně
dva trojúhelníky :
Protože kosinus je poměr přilehlé odvěsny ku
přeponě v pravoúhlém trojúhelníku, snadno určíme:
2
3
6
1
cos  ,
2
2
2
1
4
1
cos  ,
2
1
3
1
cos 
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
4
CVIČENÍ
Vypočtěte: 1) 
4
cos
6
cos.24

2) 











34
6
sin
4
cos

VÝSLEDKY
1) 3 , 2)
32
1
Pro dynamickou demonstraci hodnot funkce kosinus
na jednotkové kružnici otevřete přílohu 2 v aplikaci
„geogebra“.
VLASTNOSTI FUNKCE KOSINUS
Víme již, že definičním oborem funkce kosinus je
množina R. V příloze 2 můžeme při pohybu ramene
zobrazeného úhlu vidět, že hodnoty funkce cos se
pohybují na ose y v rozmezí souřadnic -1 až +1.
Definiční obor i obor funkčních hodnot lze tedy
zapsat takto:
D(f) = R, H(f) = 1;1
Z definice funkce kosinus a také z pozorování
dynamické demonstrace v příloze 2 vyplývá věta:
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
5
Pro všechna x є R a pro všechna k є Z platí :
cos(x + 2kπ) = cos x
Např. 0
2
9
cos
2
5
cos
2
cos 

Této skutečnosti říkáme, že goniometrická funkce
kosinus je periodická s periodou 2π (360°).
Z přílohy 2 můžeme též zjistit, ve kterých intervalech
jsou hodnoty funkce cos kladné či záporné a také
určit její monotónnost :
interval cos x monotónnost










2
;0
 + klesající








 ;
2
- klesající










2
3
;


- rostoucí








 2;
2
3 + rostoucí
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
6
PŘÍKLADY
Vypočtěte:
1) 
6
37
cos

2) 






3
8
cos

3) 
4
47
cos

ŘEŠENÍ
1)
2
3
6
cos2.3
6
cos
6
37
cos 









2)
2
1
3
4
cos2.2
3
4
cos
3
8
cos 















3)
2
2
4
7
cos2.5
4
7
cos
4
47
cos 









Použitá literatura :
[1] Odvárko, O., Řepová, J., 2008. Matematika pro
střední odborné školy a studijní obory středních
odborných učilišť – 3. část 5. vydání. Praha. ISBN 978-
80-7196-039-3