Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
1
LOGARITMICKÉ ROVNICE 3. ČÁST
PŘIROZENÉ A DEKADICKÉ LOGARITMY
Přirozený logaritmus je logaritmus o základu e. Číslo e je
iracionální a nazývá se Eulerovo číslo. Jeho hodnota je přibližně
2,718. Toto číslo bylo zvoleno tak, aby graf lineární funkce y = x + 1
byl tečnou ke grafu exponenciální funkce . Tato funkce má
značný význam v teoretické matematice, ale setkáváme se sní i
v biologii, chemii a ve fyzice. Například závislost barometrického
tlaku na nadmořské výšce se vyjadřuje pomocí exponenciální
funkce o základu e. Stejně významná je logaritmická funkce
o základu e, tedy funkce , kterou značíme y = ln x. (viz
obr.) Hovoříme o přirozeném logaritmu ln x.
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
2
Logaritmy o základu deset nazýváme dekadické logaritmy. Ty
mají význam při některých numerických výpočtech. V zápisu
se obvykle základ 10 vynechává, píšeme tedy jen .
Nyní se podíváme na vztah mezi přirozeným a dekadickým
logaritmem. Musíme napřed ale uvést a dokázat následující větu:
Pro každé a pro všechna kladná reálná čísla y, z různá od
jedné platí: . (1)
Důkaz: Z definice logaritmu plyne:
Vztah nyní zlogaritmujeme, použijeme logaritmus o základu z:
( )
Podle věty III. o logaritmech uvedené v kapitole „Logaritmické
funkce 4. část“ můžeme provést další úpravu:
A nakonec dostaneme:
Pokud využijeme tuto větu, můžeme získat vztah mezi přirozeným
a dekadickým logaritmem. Zvolíme-li y = e, z = 10, pak je
neboli
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
3
Zvolíme-li y = 10, z = e, pak je
neboli
PŘÍKLAD
Vypočtěte , máte-li k dispozici následující údaje:
a) ̇ , ̇
b) ̇ , ̇
Řešení:
a) Podle věty uvedené výše platí:
̇ ̇
b) Podobně jako v případě a):
̇ ̇
PŘÍKLAD
RTG paprsky s vlnovou délkou Procházejí hliníkovou
vrstvou. Intenzita záření po průchodu vrstvou se spočítá podle
vztahu , kde I0 je hodnota počáteční intenzity, I je
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
4
intenzita po průchodu vrstvou o tloušťce x cm, je číselná hodnota
absorpčního koeficientu. Pro hliník je přibližně 5,4.
a) Vypočtěte procentový úbytek I0 po průchodu vrstvou 0,1 cm.
b) Určete tloušťku vrstvy, aby intenzita klesla na polovinu.
Řešení:
a) Zápis: x = 0,1 cm, ̇ ,
Nejprve vyjádříme, kolik procent činí intenzita po průchodu vůči
intenzitě počáteční:
̇
̇
Úbytek:
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
5
b) Zápis: I = 0,5 I0 , ̇ , x = ?
Opět využijeme vztah .
Rovnici zlogaritmujeme
̇
CVIČENÍ
Vypočtěte:
a) b) c) d) (1)
Výsledky:
a) 1,5849 b) 1,2263 c) 1,7297 d) 0,3333 (1)
Použitá literatura :
[1] Odvárko, O., Řepová, J., 2008. Matematika pro střední odborné
školy a studijní obory středních odborných učilišť – 3. část 5. vydání.
Praha. ISBN 978-80-7196-039-3