Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
1
EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ČÁST
Exponenciální rovnicí nazveme takovou, ve které se vyskytují
mocniny s neznámou v exponentu. Při řešení takových rovnic
budeme často využívat následující věty (nazvěme ji třeba „Věta V“):
Věta V: Pro všechna reálná čísla x, y a pro každé reálné číslo a
různé od 1 platí: Je-li ax = ay , pak je x = y. (1)
POZNÁMKA
Uvedená věta plyne ihned z toho, že exponenciální funkce y = ax je
pro a > 1 rostoucí a pro a z intervalu (0, 1) klesající. Nemůže tedy
nastat situace, aby nějaká hodnota exponenciální funkce byla
přiřazena dvěma různým prvkům jejího definičního oboru. (1)
PŘÍKLAD
Řešte rovnici 57 – x = 53x – 1 o neznámé x ∈ R
Řešení: Využijeme větu V: mají-li být o stejném základu sobě
rovny, musí se sobě rovnat exponenty. Hledáme tedy všechna
taková x ∈ R , pro která platí
7 – x = 3x – 1
Nyní stačí pouze vyřešit získanou lineární rovnici:
- 4x = - 8
x = 2
Provedem zkoušku dosazením do levé a pravé strany rovnice:
l(2) = 57 – 2 = 3125
p(2) = 53.2 – 1 = 3125
l(2) = p(2) (Kořenem dané rovnice je č. 2)
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
2
PŘÍKLAD
Řešte rovnici o neznámé x ∈ R . (1)
Řešení: Obě strany rovnice upravíme tak, aby byly vyjádřeny ve
tvaru mocnin o stejném základu:
Využijeme opět větu V a dostaneme:
- (5 - 2x) = 4
- 5 + 2x = 4
2x = 9
x = 4,5
Zkouška:
Číslo 4,5 je tedy skutečně řešením dané rovnice.
PŘÍKLAD
Závislost hmotnosti radioaktivní látky při její radioaktivní přeměně
na čase udává vzorec ( ) . Veličina m udává hmotnost
radioaktivní látky v čase t, veličina mo je počáteční hmotnost látky
v čase 0 sekund. T je poločas přeměny (je to doba, za kterou se
počáteční hmotnost mo látky zmenší na jednu polovinu).
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
3
Poločas přeměny rádia A je 183 sekund. Za kolik sekund od
počátku přeměny klesne hmotnost na jednu šestnáctinu ?
Řešení: Do výše uvedeného vzorce dosadíme zadané údaje:
T = 183 s, a získáme exponenciální rovnici
( )
po vykrácení počáteční hmotností mo dostaneme rovnici
( )
o neznámé t ∈ R+ . Při jejím řešení postupujeme podobně jako
v předchozích příkladech:
( ) ( )
Zkoušku provedeme dosazením do vzorce radioaktivní přeměny:
( ) ( )
Hmotnost rádia A se zmenší na jednu šestnáctinu za 732 sekund,
což je přibližně 12 minut. (1)
Použitá literatura :
[1] Odvárko, O., Řepová, J., 2008. Matematika pro střední odborné
školy a studijní obory středních odborných učilišť – 3. část 5. vydání.
Praha. ISBN 978-80-7196-039-3