Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
1
LOGARITMICKÁ FUNKCE 3. ČÁST
LOGARITMUS
PŘÍKLAD
Je dána logaritmická funkce g: y = log2 x. Určete hodnoty funkce g
v těchto bodech:
a) 2 b) c)
√
d) 64 (1)
Řešení:
Připomeňme si ještě jednou definici logaritmické funkce. Na jejím
základě úlohy vyřešíme.
Nechť f je exponenciální funkce o základu a (a je kladné
reálné číslo různé od jedné). Logaritmická funkce o základu a je
taková funkce g, pro kterou platí: pro všechna reálná čísla c, d je
g(d) = c právě tehdy, když f(c) = d. (1)
Řešení a):
Máme určit log2 2 = „něco“. V definici je označeno g(d) = c. V tomto
příkladu je tedy d = 2 a c = „něco“. Podíváme se, jak vypadá funkce
f: zde platí, že f(c) = d, tedy f(„něco“) = 2. Víme, že funkce f je
exponenciální funkce a nezapomínáme, že základ je 2. Zápis
pomocí funkce f vypadá v našem příkladu takto: . Na
základě našich bohatých zkušeností s exponenciálními funkcemi a
rovnicemi snadno zjistíme, že „něco“ = 1.
Závěr tedy je, že log2 2 = 1, protože .
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
2
Řešení b):
Budeme postupovat stručněji než v a):
Máme určit . Máme tedy vlastně určit číslo m takové, že
když jím umocníme dvojku, dostaneme .
Závěr:
Řešení c):
Máme určit
√
. Máme tedy vlastně určit číslo m takové, že
když jím umocníme dvojku, dostaneme
√
.
√
Závěr:
√
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
3
Řešení d):
Máme určit . Máme tedy vlastně určit číslo m takové, že
když jím umocníme dvojku, dostaneme .
Závěr:
PŘÍKLAD
Určete hodnoty funkce f: v bodech a) 2, b)
Řešení a):
Máme řešit rovnici , kterou přepíšeme jako rovnici
exponenciální: ( )
Řešení b):
Máme řešit rovnici , kterou přepíšeme jako rovnici
exponenciální: ( )
( )
( ) ( )
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
4
Na základě výše uvedených příkladů můžeme definovat logaritmus
takto: Logaritmus čísla s o základu a je takové číslo v, pro něž
platí: umocníme-li jím číslo a, dostaneme s. Přitom a je kladné
reálné číslo různé od jedné, s je kladné reálné číslo. (1)
(1)
Z uvedených skutečností ihned plynou tyto věty:
1) Pro každé a ∈ R+ ∖ {1} a pro každé s ∈ R+ platí:
(1)
2) Pro každé a ∈ R+ ∖ {1} platí:
(1)
PŘÍKLAD
Určete:
a) , b)
Řešení a):
Řešení b):
PŘÍKLAD
Vypočtěte všechna x ∈ R, pro která je .
Řešení :
, právě když (⇔) . Odtud x = 343
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
5
PŘÍKLAD
Vypočtěte všechna x ∈ R+ ∖ {1} , pro která je .
Řešení :
Nezalekněte se toho, že již používáme x pro neznámou, i když
označuje základ. Tato označení si můžeme volit libovolně, ale
musíme mít neustále na paměti, které číslo je základ a které je
logaritmem.
CVIČENÍ
Vypočtěte: a) log3 x pro x = 3, 9, 81, √ √
b) log10 x pro x = 1, 10, 100 000, ,
Výsledky: a) 1, 2, 4,
b) 0, 1, 5, -5, -6
CVIČENÍ
Vypočtěte: a) b) c)
Výsledky: a) 2 b) 100 c) 5
CVIČENÍ
Určete všechna x ∈ (0, +∞), pro která platí:
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
6
a) log6 x = -1 b) log6 x = 0 c) log6 x = 4 d) log6 x =
Výsledky: a) b) 1 c) 1296 d)
√
CVIČENÍ
Určete všechna x ∈ R, aby platilo:
a) logx 25 = 2 b) logx 81 = 4 c) logx 8 = -3 (1)
Výsledky: a) 5 b) 3 c)
Použitá literatura :
[1] Odvárko, O., Řepová, J., 2008. Matematika pro střední odborné
školy a studijní obory středních odborných učilišť – 3. část 5. vydání.
Praha. ISBN 978-80-7196-039-3