Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
1
LOGARITMICKÁ FUNKCE 2. ČÁST
Nyní uvedeme pět vět o logaritmických funkcích (pozorujte shodu
s grafy na obrázcích):
Věta 1 Definiční obor logaritmické funkce y = loga x pro každé
a > 0, a ≠ 1 je interval (0, +∞).
Věta 2 Obor hodnot logaritmické funkce y = loga x pro každé
a > 0, a ≠ 1 je množina R všech reálných čísel
Věta 3 Funkce y = loga x je pro každé a > 1 rostoucí a pro každé
a ∈ (0, 1) klesající.
Věta 4 Hodnota funkce y = loga x přiřazená číslu 1 je pro každé
a > 0, a ≠ 1 rovna 0 čili loga 1 = 0.
Věta 5 a) Pro každé a > 1 platí: je-li x < 1, pak loga x < 0; je-li
x > 1, pak loga x > 0.
b) Pro každé a ∈ (0, 1) platí: je-li x < 1, pak loga x > 0;
je-li x > 1, pak loga x < 0.
(1)
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
2
PŘÍKLAD
Načrtněte grafy funkcí y = log3 x, y = log10 x, y = log0,3 x, y = log0,7 x
Návod: K výpočtu jednotlivých bodů grafu můžete použít
kalkulačku, na které můžete volit základ logaritmů, nebo opět
využít příslušných grafů exponenciálních funkcí a grafy funkcí
logaritmických sestrojit jako souměrně sdružené v osové
souměrnosti podle osy I. a III. kvadrantu.
Řešení:
Na obrázku si dobře všimněte vzájemné polohy grafů funkcí a toho,
které z těchto funkcí jsou rostoucí, popř. klesající.
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
3
PŘÍKLAD
Načrtněte grafy funkcí:
1) y = log0,25 x + 1, y = log0,25 x - 1
2) y = log2 (x-1), y = log2 (x+1)
Řešení 1):
Pro srovnání je v obrázku také graf funkce y = log0,25 x. Je vidět, že
grafy zadaných funkcí jsou vůči grafu funkce y = log0,25 x posunuty
ve směru osy y. Graf funkce y = log0,25 x + 1 o hodnotu 1 v kladném
směru a graf funkce y = log0,25 x - 1 o hodnotu 1 ve směru
záporném.
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
4
Řešení 2):
Pro srovnání je v obrázku také graf funkce y = log2 x. Je vidět, že
grafy zadaných funkcí jsou vůči grafu funkce y = log2 x posunuty ve
směru osy x. Graf funkce y = log2 (x-1) o hodnotu 1 v kladném
směru a graf funkce y = log2 (x+1) o hodnotu 1 ve směru
záporném.
CVIČENÍ
Rozhodněte, která z níže uvedených tvrzení jsou pravdivá:
a) log1,3 6 > 0 b) log4 0,9 < 0 c) log0,02 1 = 0
d) log5 10 > log5 11 e) log0,6 7 > log0,6 6 f) log0,3 0,9 < log0,3 0,7
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
5
Návod: Využijte výše uvedené věty 1 až 5 a grafy logaritmických
funkcí.
Výsledky: a), b), c), f) jsou tvrzení pravdivá, d), e) nikoliv.
CVIČENÍ
Určete všechna taková x ∈ R, pro která platí:
a) log0,4 x = 0 b) log5 x < 0 c) log2 x ≥ 0
d) log1,5 x < log1,5 5 e) log0,7 3 ≤ log0,7 x
Návod: Využijte výše uvedené věty 1 až 5 a grafy logaritmických
funkcí.
Výsledky: a) 1
b) ( )
c) )
d) ( )
e) (
Použitá literatura :
[1] Odvárko, O., Řepová, J., 2008. Matematika pro střední odborné
školy a studijní obory středních odborných učilišť – 3. část 5. vydání.
Praha. ISBN 978-80-7196-039-3