Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 1 LINEÁRNÍ FUNKCE Je funkce, která je dána předpisem: = + Kde a a b jsou reálná čísla. Grafem lineární funkce je přímka. Graf funkce: = 2 + 1 VÝPOČET BODŮ NÁLEŽEJICÍCH GRAFU FUNKCE Pokud si zvolíme hodnotu x, jsme pro ni schopni dopočítat hodnostu y. Čímž najdeme bod náležející grafu funkce Příklad Nalezněte 2 body náležející grafu funkce = 2 + 1 Řešení Zvolíme-li pro bod A souřadnici = 0 po dosazení do funkce = 2 ∙ 0 + 1 = 1 Souřadnice bodu A jsou [0,1] Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 2 Zvolíme-li pro bod B = 1 po dosazení do funkce = 2 ∙ 1 + 1 = 3 Souřadnice bodu B jsou [1,3] Příklad Vypočítejte hodnoty funkce = 5 − 2 v bodech 3, -2 , 5 Řešení Hodnoty jsou 1) = 3 ∙ 5 − 2 = 13 2) = −2 ∙ 5 − 2 = −12 3) = 5 ∙ 5 − 2 = 23 KONSTRUKCE GRAFU FUNKCE Grafem lineární funkce je přímka. Pro konstrukci přímky nám stačí znát 2 body. Které si jednoduše najdeme podle předchozí kapitoly. A spojíme je přímkou. Obr. Viz níže. Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 3 SPECIÁLNÍ DRUHY LINEÁRNÍCH FUNKCÍ PŘÍPAD A = 0 Předpis: = Nazýváme konstantní funkcí. Graf konstantní funkce y = 2: Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 4 PŘÍPAD B = 0 Předpis funkce: = Takovou funkci nazýváme přímou úměrností. Graf přímé úměrnosti prochází počátkem, tedy bodem [0,0] Graf přímé úměrnosti y = 2x Příklad Urči, zda jde o lineární funkci Řešení 1) = 3 + 5 Nejde, pokud předpis obsahuje x s jinou mocninu, než 1, nejedná se o lineární funkci 2) = 5 Ano, jedná se o lineární funkci 3) = 3 Ano, jedná se o lineární funkci 4) = 3 + Ano, jedná se o lineární funkci 5) = 5 + 2 + 3 Nejedná, viz příklad 1 Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 5 GEOMETRICKÝ VÝZNAM PARAMETRŮ A, B V příkladech a ukázkách najdeš dynamický model lineární funkce. Vpravo nahoře najdeš táhlo, kterým můžeš měnit hodnotu a. a b. Sám se pokus poznat souvislost mezi vzhledem grafu a hodnotami a a b PARAMETR A Je-li kladný funkce je rostoucí Funkce = 2 Je li záporný, funkce je klesající Funkce = −2 Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 6 PARAMETR B Čím větší je b, tím více se funkce posouvá do leva a na opak. = 2 + 1 = 2 − 1 Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 7 URČENÍ PŘEDPISU LINEÁRNÍ FUNKCE Z DANÝCH BODŮ Úkol: Má dány body A [0,1] a B[1,3] určete předpis lineární funkce z daných bodů Řešení Obecný zápis lineární funkce je: = + . Do obecného zápisu lineární funkce dosadíme hodnoty bodu A. Dostaneme: 1 = ∙ 0 + . To samé provedeme pro bod B, kde dostaneme: 3 = 1 ∙ + 1 Máme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých 1 = ∙ 0 + 3 = 1 ∙ + Po vyřešení = 2 a = 1 Hodnoty a a b dosadíme do obecného předpisu lineární funkce: = + . Výsledek: = 2 + 1 VYPOČET PRŮSEČÍKU S OSOU Y V bodě, ve kterém se funkce protíná s osu y je x-ová souřadnice rovna nule. Za x tedy dosadíme 0 a dopočítáme hodnotu y. Příklad Spočítejte průsečík funkce = 3 + 2 s osou Y Řešení Za x dosadíme nulu tedy = 3 ∙ 0 + 2 = 2 Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 8 VYPOČET PRŮSEČÍKU S OSOU X V bodě, ve kterém se funkce protíná s osu x je y-ová souřadnice rovna nule. Za y tedy dosadíme 0 a dopočítáme hodnotu x. Příklad Spočítejte průsečík funkce = 3 + 2 s osou X Řešení Za y dosadíme nulu tedy 0 = 3 + 2 po úpravě = −