Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
1
KVADRATICKÁ FUNKCE
URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE
Slovo kvadrát vzniklo z latinského slova quadratus které znamená:
čtyřhranný, čtvercový. Obsah čtverce se vypočítá, jako druhá
mocnina délky strany. Proto pokud mluvíme o kvadratické rovnici,
rovnice, vždy musí obsahovat kvadratický člen (s druhou
mocninou) a nesmí obsahovat žádné členy vyššího řádu.
Kvadratická funkce je dána předpisem = 	 + + . Kde
≠ 0.
Příklad
Poznejte, zda jde o předpis kvadratické rovnice:
1) = 5 + 3 − 2 -Ano
2) = 3 + 5 + 3 − 2 - Ne, obsahuje člen třetího řádu tzv.:
jde o kubickou funkci
3) = 5 + 3 - Ano
4) = 5 − 2 - Ano
5) = 5 - Ano
6) = 3 − 2 -Ne, neobsahuje kvadratický člen, jde
o funkci
7)	 = −5 + 3 − 2 - Ano, před kvadratickým členem,
může být znaménko mínus.
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
2
GRAF KVADRATICKÉ FUNKCE
Grafem kvadratické funkce je parabola. Otočení paraboly určuje
znaménko před kvadratickým členem.
Graf funkce Graf funkce
= + 2 + 2 = − + 2 + 2
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
3
Pozor!!!
Následující obrázek je také obrázek paraboly, ale nejde o funkci!
Funkce přiřazuje každé x-ové hodnotě právě jednu y-ovou hodnotu.
V tomto případě x-ové hodnotě x=-1 jsou přiřazeny y-ové hodnoty
y = 2 a y = -2. Nejde tedy o funkci
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
4
VÝPOČET SOUŘADNIC VRCHOLU
x-ová souřadnice:
−
2
y-ová souřadnice:
Po vypočtení x-ové souřadnice, můžeme tuto hodnotu dosadit do
předpisu funkce a vyjde nám y-ová souřadnice
Případně použijeme vzorec:
Příklad
Vypočti souřadnice vrcholu funkce: = − 2 + 2
Řešení:
x-ová souřadnice:
−
2
= −
−2
2 ∙ 1
= 1
y-ová souřadnice:
Po dosazení do předpisu funkce:
= − 2 + 2 = 1 − 2 ∙ 1 + 2 = 1
Případně po dosazení do vzorečku:
− + 4
4
=	
− −2 + 4 ∙ 1 ∙ 2
4 ∙ 1
= 1
Vrchol kvadratické funkce má souřadnice [1;1]
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
5
VÝPOČET PRŮSEČÍKŮ S OSAMI
Průsečík s osou y
Průsečík s osou y nastává v momentě, kdy je x-ová souřadnice
rovna nule. Po dosazené za = 0 dostaneme:
= + + = 0 ∙ + 0 ∙ + =
y-ová souřadnice průsečíku je koeficient c. Souřadnice průsečíku
s osou y jsou [0;c]
Průsečík s osou x
Mohou nastat celkem 3 situace vyobrazené na obrázcích níže:
Kvadratická funkce nemusí mít žádné řešení, pak se parabola
nedotýká osy x.
Může mít jedno řešení, pak se parabola právě dotýká osy x, stejně
jako na prostředním obrázku
Může mít dvě řešení, pak parabola protíná osu x ve dvou místech.
Výpočet průsečíků s osou x
Průsečík s osou x nastává v momentě, kdy je y = 0.
Po dosazení: 0 = + +
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
6
Nejdříve spočítáme diskriminant:
= − 4
Diskriminant poté dosazujeme do rovnice:
, =
− ± √
2
Diskriminant budeme muset odmocňovat. Odmocňovat záporná
čísla nelze. Proto pokud je D <0, rovnice nemá řešení a parabola se
neprotíná s osou x.
Pokud: D = 0. Pak oba kořeny mají stejnou hodnotu, tudíž nám
stačí spočítat pouze jeden kořen. V takovém případě se parabola
dotýká osy x.
Pokud D>0 Před odmocninou z diskriminantu je znak ±. Rovnice
má dvě řešení, jedno, pokud použijeme +. Druhé řešení, použijemeli
mínus. Proto se za x píše index 1,2. Naznačujeme tím, že rovnice
má dvě řešení. V případě, že D > 0 můžeme rovnici spočítat.
Příklad
vypočítejte průsečíky funkce = + 2 + 1
s osou x. Graf funkce je na obrázku vpravo.
Řešení:
= − 4 = 4 − 4 ∙ 1 ∙ 1 = 0
Pokud = 0 parabola se pouze dotýká osy x
v jednom bodě.
, =
− ± √
2
=
−2 ± √0
2 ∙ 1
=
−2
2
= −1
x-ová souřadnice bodu dotyku je -1
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
7
Příklad
vypočítejte průsečíky funkce = − + + 2 s osou x. Graf funkce
je na obrázku vpravo.
Řešení
= − 4 = 1 − 4 × −1 × 2 = 9
Pokud D > 0, pak parabola má dva průsečíky
s osou x.
, =
− ± √
2
=
−1 ± √9
2 × −1
=
1 ± 3
2
=
1 − 3
2
= −1
=
1 + 3
2
= 2
Příklad
vypočítejte průsečíky funkce = + 2 + 3 s osou
x. Graf funkce je na obrázku vpravo.
Řešení:
= − 4 = 2 − 4 × 1 × 3 = −8
< 0 Tudíž parabola nemá průsečík s osou y
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
8
VLASTNOSTI KVADRATICKÉ FUNKCE
Vlastnosti funkce jsou viditelné z grafu funkce. Vlastnosti funkce
budeme ukazovat na funkci = − 2 + 2 a jejím grafu. Vrchol
funkce je v souřadnicích [1;1]
Definiční obor - & '
Je množina všech hodnot, které můžeme dosazovat za x. V případě
kvadratické funkce, můžeme dosazovat libovolná čísla z množiny
reálných čísel. Tedy: ( = ℝ
Obor hodnot – H(f)
Je množina všech hodnot, které může nabývat y. V případě naší
kvadratické funkce, můžeme nabývat čísel od 1 do plus nekonečna.
Tedy * ( = +1,+∞
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
9
Příklad
Určete obor hodnot funkce: = − + 2 + 2
Řešení
V případě grafu funkce: = − + 2 + 2, Kde y-ová souřadnice
vrcholu grafu je 3
Je * ( = −∞, 3Obecné
vyjádření oboru hodnot:
Pokud je a > 0 pak
* ( = . ; +∞0 (Tedy od y-ové hodnoty vrcholu do
nekonečna)
Pokud je a < 0 pak
* ( = 1−∞; 2 (Tedy od mínus nekonečna do y-ové
hodnoty vrcholu)
Kde je y-ová souřadnice vrcholu.
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
10
Rostoucí/Klesající
Pro a > 0 je do vrcholu klesající a od vrcholu je rostoucí
Tedy na intervalu:
1−∞; 0 je rostoucí.
A na intervalu:
1 ; +∞0 je klesající.
Pro a < 0 je do vrcholu rostoucí a od vrcholu je klesající
Tedy na intervalu:
1−∞; 0 je klesající.
A na intervalu:
1 ; +∞0 je rostoucí.
Konkrétně naše funkce = − + 2 + 2 (podívej se na její graf)
a>0
−∞; −1 je rostoucí
a na intervalu:
−1; +∞ je klesající
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
11
Extrém funkce
Pro a > 0
V bodě přechodu z klesající na rostoucí funkci se nachází vrchol
funkce. Vrchol je v tomto případě bodem s nejmenší y-ovou
hodnotou. Tento extrém nazýváme minimum.
Pro a < 0
V bodě přechodu z rostoucí na klesající funkci se nachází vrchol
funkce. Vrchol je v tomto případě bodem s největší y-ovou
hodnotou. Tento extrém nazýváme maximum.
Monotónnost funkce
Funkce je monotónní, pokud je pouze rostoucí a nebo pouze
klesající na celém intervalu. Kvadratická funkce není monotónní
funkcí.
Sudá funkce
Funkce je sudá, pokud je souměrná podle osy y. Sudé jsou
kvadratické funkce, které mají = 0 tedy funkce s předpisem:
= + .
Lichá funkce
Funkce jsou liché, pokud jsou souměrné podle počátku.
Kvadratické funkce, nejsou liché.
Periodická funkce
Je funkce, která opakuje své hodnoty po určité konečné periodě.
Kvadratická funkce není periodická
Omezená
Pro a > 0 je omezená zdola.
Pro a < 0 je omezená shora.
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
12
Příklad
určete vlastnosti kvadratické funkce = + 2 + 1
Řešení:
Graf funkce:
Definiční obor &
'
( = ℝ
Obor hodnot – H(f)
* ( = +0,+∞
Rostoucí/Klesající
−∞; −1 je rostoucí
A na intervalu:
−1; +∞ je klesající
Extrém funkce
Minimum je v bodě [-1;0]
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
13
Monotónnost funkce
není monotónní funkcí.
Sudá funkce
Není sudá
Lichá funkce
Není lichá
Periodická funkce
Není periodická
Omezená
Je omezená zdola.
DYNAMICKÝ MODEL PŘÍMÉ ÚMĚRNOSTI
V příkladech a ukázkách najdeš dynamický model přímé
úměrnosti. Vpravo nahoře najdeš tři táhla, kterým můžeš měnit
hodnoty: a ,b, c. Zkus vyzkoumat, jaký vliv mají jednotlivé
parametry a, b, c na vzhled grafu.
GEOMETRICKÝ VÝZNAM PARAMETRŮ
Koeficient a
Pokud je kladný je parabola „otevřena“ nahoru. Můžeme ji říkat
„ďolík“. Pokud je koeficient a roven nule, jde o lineární funkci.
Pokud je koeficient a menší než nula je parabola „otevřena“ dolů.
Můžeme jí říkat „kopeček“. Čím dále je koeficient a od nuly, tím více
se přimyká kladné případně záporné části osy y, podle toho, zda je
koeficient a kladný a nebo záporný.
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
14
Koeficient b
Ovlivňuje umístění vrcholu paraboly. Nemá vliv na průsečík s osou
y.
Koeficient c
Ovlivňuje horizontální umístění paraboly.
SESTROJENÍ GRAFU KVADRATICKÉ FUNKCE
Pro sestrojení grafu kvadratické funkce si nejdříve spočítáme
souřadnice vrcholu a průsečíků s osami. Dále si dopočítáme
souřadnice dalších bodů ležících na grafu kvadratické funkce.
Všechny body vyneseme do grafu a spojíme je buď od ruky a nebo
pomocí vhodného křivítka.
Příklad
Sestrojte graf funkce = − + + 2.
Průsečíky s osou x:
= − 4 = 1 − 4 × −1 × 2 = 9
, =
− ± √
2
=
−1 ± √9
2 × −1
=
1 ± 3
2
=
1 − 3
2
= −1
=
1 + 3
2
= 2
Souřadnice průsečíku s osou x: 3−1; 04	 	32; 04
Průsečík s osou y:
Souřadnice průsečíku s osou y: 30; 24
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
15
Souřadnice vrcholu:
x-ová souřadnice:
−
2
= −
−1
2 × 1
=
1
2
y-ová souřadnice:
= − + + 2 = −
1
4
+
1
2
+ 2 = 2
1
4
Souřadnice vrcholu jsou: 5 ; 2 6
Dopočítání dalších bodů grafu, zvolíme si x-ovou hodnotu a
dopočítáme si pro ni y-ovou hodnotu. Ukážeme na jednom
příkladu:
Volíme x = 1
Dopočítáme:	 = − + + 2 = −1 + 1 + 2 = 2
Podobným způsobem dopočítáme ostatní body. Výsledky jsou
v tabulce:
Souřadnice x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Souřadnice y -10 -4 0 2 2 0 -4 -10
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
16
Body vyneseme do grafu viz. Obrázek níže:
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
17
A spojíme viz. obrázek níže:
Ukázka řešení reálných problémů pomocí kvadratické funkce
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
18
Příklad: Vyhození balónu přímo vzhůru
Pokud vyhodíme balón z výšky 3m přímo vzhůru rychlostí 14 m/s.
Za jak dlouho dopadne na zem?
Řešení:
Vzorec pro výpočet okamžité výšky h svislého vrhu
ℎ = ℎ8 + 98: − 1/2<:
ℎ8 – výška v době hodu, v našem případě je 3 m
98 – počáteční rychlost v našem případě 14 m/s
t – čas letu je v neznámý
<- gravitační zrychlení budem počítat = 10. Tedy polovina z něj je
5
Po dosazení:
ℎ = 3 + 14: − 5:
Ptáme se, jaký čas uplyne od vyhození do dopadnutí, tedy do
situace h = 0.
0 = 3 + 14: − 5:
Dostáváme kvadratickou rovnici, kterou pro úplnost přepíšeme do
„obvyklého“ tvaru a vyřešíme:
−5: + 14: + 3 = 0
= 14 − 4 × −5 × 3 = 256
: , =
−14 ± √256
2 × −5
=
−14 ± 16
−10
: =3 a : = −0,2
Záporný čas, v našem případě není možný, takže správná odpověď
je t = 3 s.
Tedy míč dopadne za 3 vteřiny.
výška (m)
čas (s)
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
19
Pro lepší představu uvádím graf:
Body A a C jsou body dopadu
Bod B je bod vyhození do výšky
Z grafu je patrno, že míč vyletěl až do téměř 13m výšky.