Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
1
ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN
Rozkladem mnohočlenu na součin rozumíme rozklad
mnohočlenu na součin jednodušších mnohočlenů, které
zpravidla již nejsou dále rozložitelné.
Pro rozklad mnohočlenu na součin používáme několik
metod. Tyto metody budou níže ukázány.
VYTÝKÁNÍ
1) Příklad: rozložte mnohočlen − na
součin mnohočlenů.
Řešení:
a) Všechny členy v mnohočlenu rozložíme na součin
prvočísel a proměnných. Tento krok pouze
zvyšuje přehlednost, zkušenější počtáři ho mohou
vynechat
= 5 ∙ ∙ − 2 ∙ 5 ∙
b) Vybereme prvočísla a proměnné, které mají
všechny členy stejné, tyto členy vytkneme před
závorku.
= 5 ∙ − 2
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
2
2) Příklad: rozložte mnohočlen + −
	na součin mnohočlenů.
Řešení:
7 + 21 − 35=
= 7 ∙ ∙ ∙ + 3 ∙ 7 ∙ ∙ − 5 ∙ 7=
= 7 ∙ + 3 − 5
3) Příklad: rozložte mnohočlen
+ − 	na součin
mnohočlenů.
Řešení:
24 + 12 − 36 =
= 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ + 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ∙ ∙ − 2 ∙ 2 ∙
3 ∙ 3 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ =
			= 12 ∙ 2 + 1 − 3 =12 ∙ − + 1
4) Příklad: Rozložte mnohočlen
− + −
	 na součin mnohočlenů
Řešení:
175 !"
− 105 "
!$
+ 140 "
!%
− 35 " "
!"
=
= 35 " "
!"
∙ 5 − 3 ! + 4 !"
− 1
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
3
5) Příklad: Rozložte mnohočlen & + − & −
na součin mnohočlenů
Řešení
' + 7 − ' − 7 = ' ∙ − − 7 ∙ −
= − ∙ ' − 7
Poznámka
V příkladu č. 5 jsme v posledním kroku vytýkali
výraz: x-y.
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
4
ROZKLAD NA SOUČIN POMOCÍ VZORCŮ
Pro rozklad mnohočlenů na součin nám pomáhají
základní vzorce.
( + ) = ( + 2() + )
( − ) = ( − 2() + )
( − ) = ( + ) ∙ ( − )
( + ) = ( + 3( ) + 3() + )
( − ) = ( − 3( ) + 3() − )
( + ) = ( + ) ∗ ( − () + )
( − ) = ( − ) ∗ ( + () + )
Pomocí násobení mnohočlenů si sami můžeme tyto
vzorce odvodit.
Například:
( − ) = ( − ) ∙ ( − ) = ( − () − () + )
= ( − 2() + )
V rámci urychlení výpočtu je nutné si alespoň první tři
vzorce pamatovat!
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
5
1. Příklad: Rozložte mnohočlen + +
na součin mnohočlenů pomocí vzorců
Řešení:
2. 4 + 20 + 25 = 4 + 20 + 25 = 2 + 5
a2 2ab b2
3. Příklad: Rozložte mnohočlen + − +
na součin mnohočlenů pomocí vzorců
Řešení:
9 − 60 + 100 = 3 − 10
4. Příklad: Rozložte mnohočlen
+ − + na součin mnohočlenů
pomocí vzorců
Řešení:
9 − 100 + 100 POZOR NELZE ROZLOŽIT NA
3 − 10 člen 2ab by neodpovídal.
• Vždy je třeba překontrolovat, že všechny
členy jsou správně.
• Pokud by nějaký nebyl, nelze mnohočlen
rozložit podle daného vzorce
5. Příklad: Rozložte mnohočlen
− na součin mnohočlenů pomocí
vzorců
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
6
Řešení
25 − 64 = 5 + 8 ∙ 5 − 8
6. Příklad: Rozložte mnohočlen + +
+ na součin mnohočlenů pomocí vzorců
Řešení
27 + 54 + 36 + 8 = 3 + 2
7. Příklad: Rozložte mnohočlen
− + − na součin
mnohočlenů pomocí vzorců
Řešení
64 − 240 + 300 − 125 = 4 − 5
8. Příklad: Rozložte mnohočlen + na
součin mnohočlenů pomocí vzorců
Řešení
+ 1000 = + 10 ∙ − 10 + 100
9. Příklad: Rozložte mnohočlen − na
součin mnohočlenů pomocí vzorců
Řešení
216 − 343 = 6 − 7 ∙ 36 + 42 + 49
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
7
ROZKLAD KVADRATICKÉHO TROJČLENU
Máme kvadratický trojčlen: + ) + '
Některé kvadratické trojčleny je možno rozložit na tvar:
+ . ∙ + / ), ', ., / ∈ 2
Pokud roznásobíme závorky, získáme:
+ . ∙ + / = + / + . + ./
= + . + / + ./
Je zřejmé, že:
) = . + /
' = ./
1) Příklad: Rozložte mnohočlen na součin
mnohočlenů
+ 7 + 10
Řešení:
Hledáme takovou dvojici čísel, aby jejich součin byl
10 (' = ./), tuto podmínku splňují dvojice:
10 = 1 ∙ 10 = −1 ∙ −10 = 2 ∙ 5 = −2 ∙ −5
a zároveň jejich součet byl 7 () = . + /). Což
splňuje pouze dvojice 2 a 5.
Našli jsme kořeny rozkladu mnohočlenu. V našem
případě jsou to čísla 2 a 5.
Výsledek je tedy: + 7 + 10 = + 2 ∙ + 5 	
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
8
2) Příklad: Rozložte na součin mnohočlenů
− +
Řešení:
Podmínku ' = ./ splňují čísla: 3 = 1 ∙ 3 = −1 ∙
−3
Podmínku ) = . + / splňují čísla -1 a -3
Výsledek je tedy: + 7 + 10 = − 1 ∙ − 3 	
3) Příklad: Rozložte na součin mnohočlenů
− −
Řešení:
Podmínku ' = ./ splňují čísla:
−10 = 1 ∙ −10 = −1 ∙ 10 = 2 ∙ −5 = −2 ∙ 5
Podmínku ) = . + / splňují čísla 2 a -5
Výsledek je tedy: 	
− 3 − 10 = + 2 ∙ − 5 	
POZNÁMKA
Pokud mnohočlen položíme roven y, dostaneme rovnici
kuželosečky paraboly.
Například graf mnohočlenu:
− 3 − 10 = + 2 ∙ − 5 .
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
9
Položíme-li jednotlivé činitele součinu mnohočlenů
rovny nule, můžeme spočítat tzv nulové body což jsou
průsečíky s osou x.
+ 2 = 0
= −2
− 5 = 0
= 5
Dostáváme graf:
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
10
V případě rovnice:	
= 9 − 60 + 100 = 3 − 10
Dostáváme graf:
Některé mnohočleny v R vůbec nejde rozložit na součin
mnohočlenů.
Např: = − 2 + 2
Graf: