Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
1
ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN
Rozkladedem mnohočlenu na součin rozumíme rozklad
mnohočlenu na součin jednodušších mnohočlenů, které
z pravidla již nejsou dále rozložitelné.
Pro rozklad mnohočlenu na součin používáme několik
metod. Tyto metody budou níže ukázány.
VYTÝKÁNÍ
Příklad:
rozložte mnohočlen na součin mnohočlenů
5 − 10
Řešení
a) Všechny členy v mnohočlenu rozložíme na součin
prvočísel a proměnných. Tento krok pouze
zvyšuje přehlednost, zkušenější počtáři ho mohou
vynechat
= 5 ∗ ∗ − 2 ∗ 5 ∗
b) Vybereme prvočísla a proměnné, které mají
všechny členy stejné, tyto členy vytkneme před
závorku.
= 5 ∗ − 2
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
2
1) Rozložte mnohočlen na součin mnohočlenů
7 + 21 − 35
= 7 ∗ ∗ ∗ + 3 ∗ 7 ∗ ∗ − 3 ∗ 7
= 7 ∗ + 3 − 3
2) Rozložte mnohočlen na součin mnohočlenů
24 + 12 − 36
= 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 3 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + 2 ∗ 2 ∗ 3 ∗ ∗ ∗
− 2 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 3 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
			= 12 ∗ 2 + 1 − 3
3) Rozložte mnohočlen na součin mnohočlenů
175 − 105 + 140 − 35
= 35 ∗ 5 − 3 + 4 − 1
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
3
ROZKLAD NA SOUČIN POMOCÍ VZORCŮ
Pro rozklad mnohočlenů na součin nám pomáhají
základní vzorce.
+ = + 2 +
− = − 2 +
− = + ∗ −
+ = + 3 + 3 +
− = − 3 + 3 −
+ = + ∗ − +
− = − ∗ + +
Pomocí násobení mnohočlenů si sami můžeme tyto
vzorce odvodit.
Například:
− = − ∗ − = − − +
= − 2 +
V rámci urychlení výpočtu je nutné si alespoň první tři
vzorce pamatovat!
1) Rozložte na součin mnohočlenů pomocí vzorců
4 + 20 + 25 = 4 + 20 + 25 = 2 + 5
a2 2ab b2
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
4
2) Rozložte na součin mnohočlenů pomocí vzorců
9 − 60 + 100 = 3 − 10
3) Rozložte na součin mnohočlenů pomocí vzorců
9 − 100 + 100 POZOR NELZE ROZLOŽIT NA
3 − 10 člen 2ab by neodpovídal.
• Vždy je třeba překontrolovat že všechny
členy jsou správně.
• Pokud by nějaký nebyl, nelze mnohočlen
rozložit, podle daného vzorce
4) Rozložte na součin mnohočlenů pomocí vzorců
25 − 64 = 5 + 8 ∗ 5 − 8
5) Rozložte na součin mnohočlenů pomocí vzorců
27 + 54 + 36 + 8 = 3 + 2
6) Rozložte na součin mnohočlenů pomocí vzorců
64 − 240 + 300 − 125 = 4 − 5
7) Rozložte na součin mnohočlenů pomocí vzorců
+ 1000 = + 10 ∗ − 10 + 100
8) Rozložte na součin mnohočlenů pomocí vzorců
216 − 343 = 6 − 7 ∗ 36 + 42 + 49
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
5
ROZKLAD NA KVADRATICKÝ TROJČLEN
Máme kvadratický trojčlen: + +
Některé kvadratické trojčleny je možno rozložit na tvar:
+ ∗ + , , , ∈ #
Pokud roznásobíme závorky, získáme:
+ ∗ + = + + +
= + + +
Je zřejmé, že:
= +
=
1) Rozložte na součin mnohočlenů
+ 7 + 10
Hledáme takovou dvojici čísel, aby jejich součin byl
10 ( = ), tuto podmínku splňují dvojice:
10 = 1 ∗ 10 = −1 ∗ −10 = 2 ∗ 5 = −2 ∗ −5
a zároveň jejich součet byl 7 ( = + ). Což
splňuje pouze dvojice 2 a 5.
Našli jsme kořeny rozkladu mnohočlenu. V našem
případě jsou to čísla 2 a 5.
Výsledek je tedy: + 7 + 10 = + 2 ∗ + 5 	
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
6
2) Rozložte na součin mnohočlenů
− 4 + 3
Podmínku = splňují čísla: 3 = 1 ∗ 3 = −1 ∗
−3
Podmínku = + splňují čísla -1 a -3
Výsledek je tedy: + 7 + 10 = + 2 ∗ + 5 	
3) Příklad: Rozložte na součin mnohočlenů
− 3 − 10
Podmínku = splňují čísla:
−10 = 1 ∗ −10 = −1 ∗ 10 = 2 ∗ −5 = −2 ∗ 5
Podmínku = + splňují čísla 2 a -5
Výsledek je tedy: 	
− 3 − 10 = + 2 ∗ − 5 	
POZNÁMKA
Pokud mnohočlenu položíme roven y, dostaneme rovnici
kuželosečky (hyperbola, parabola, kružnice, elipsa)
Například graf mnohočlen:
− 3 − 10 = + 2 ∗ − 5 .
Položíme-li jednotlivé činitele součinu mnohočlenů
rovny nule, můžeme spočítat tzv nulové body což jsou
průsečíky s osou x.
+ 2 = 0
= −2
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
7
− 5 = 0
= 5
Dostáváme graf:
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
8
V případě rovnice:	
9 − 60 + 100 = 3 − 10
Dostáváme graf:
Některé mnohočleny v R vůbec nejde rozložit na součin
mnohočlenů.
Např: − 2 + 2
Graf: