Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 1 LINEÁRNÍ NEROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ NEROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU je lineární nerovnice, ve které se vyskytuje jeden nebo více výrazů v absolutní hodnotě. ABSOLUTNÍ HODNOTA x reálného čísla x je definována takto: xx  pro   ;0x 0x pro 0x xx  pro  0;x zkráceně: xx  pro  ;0x xx  pro  0;x ŘEŠENÍ lineární nerovnice s absolutní hodnotou vede k řešení lineárních nerovnic na daných intervalech. Podle definice absolutní hodnoty určujeme nulové body výrazů v absolutní hodnotě. Tyto nulové body nám rozdělí množinu, na které nerovnici s absolutní hodnotou řešíme, na intervaly tak, abychom mohli na jednotlivých intervalech počítat s výrazy bez absolutní hodnoty. Na těchto intervalech postupně řešíme zadanou nerovnici již bez absolutní hodnoty. Sjednocení dílčích výsledků je řešením původní nerovnice. Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 2 PŘÍKLAD 1 Řešte nerovnici 24 x o neznámé Rx . ŘEŠENÍ: Množinu reálných čísel rozdělíme na dva intervaly tak, abychom mohli na jednotlivých intervalech psát výraz 4x bez absolutní hodnoty. 44  xx pro  ;4x (pro 04 x je 4x )   444  xxx pro  4;x (pro 04 x je 4x ) Rozhodující pro hodnotu výrazu s absolutní hodnotou je tzv. nulový bod výrazu, tedy bod (hodnota x), pro který je výraz uvnitř absolutní hodnoty roven nule. V našem případě z rovnice 04 x plyne 4x . Nulový bod rozděluje množinu reálných čísel na dva intervaly (tvoří jejich krajní hodnotu), na kterých budeme řešit zadanou nerovnici. Pro lineární výraz v absolutní hodnotě je na celém intervalu tento výraz buď kladný, nebo záporný. (Ověříme dosazením libovolného čísla z intervalu do výrazu). Předchozí můžeme zapsat přehledně do tabulky.  4; ;4  4x   44  xx 4x Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 3 Nyní v původní nerovnici 24 x nahradíme výraz v absolutní hodnotě výrazem bez absolutní hodnoty a vzniklé nerovnice budeme řešit na daných intervalech. Celkem tak vyřešíme dvě nerovnice. Nerovnice řešíme ekvivalentními úpravami. pro  4;x pro  ;4x 24  x 4 24 x 4 2 x  1 6x 2x   ;24;1P   6;;42 P množina řešení 4;21 P množina řešení 6;42 P Nyní určíme množinu řešení nerovnice s absolutní hodnotou jako sjednocení množin P1.a P2. Nerovnici řeší hodnoty z množiny P1 nebo z množiny P2. 21 PPP  6;44;2 P 6;2P MNOŽINA ŘEŠENÍ: 6;2P Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 4 PŘÍKLAD 2 Řešte nerovnici 5493  xx o neznámé Rx . ŘEŠENÍ: Určíme nulový bod výrazu v absolutní hodnotě. 093 x 93 x 3x Nulový bod rozdělí množinu reálných čísel na dva intervaly.   ;33;R . Na jednotlivých intervalech ověříme dosazením libovolného čísla z intervalu hodnotu výrazu v absolutní hodnotě. Výraz v absolutní hodnotě napíšeme bez absolutní hodnoty. Vše zapíšeme do tabulky.  3; ;3 93x   9393  xx 93 x Nyní v původní nerovnici 5493  xx nahradíme výraz v absolutní hodnotě výrazem bez absolutní hodnoty. Vzniklé dvě nerovnice řešíme ekvivalentními úpravami na daných intervalech. Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 5 pro  3;x pro  ;3x 5493  xx 94  x 5493  xx 94  x 147  x  7:  4 x  1 2x 4x    ;23;1P    ;4;32P množina řešení  3;21 P množina řešení  ;32P Nyní určíme množinu řešení nerovnice s absolutní hodnotou jako sjednocení množin P1.a P2. Nerovnici řeší hodnoty z množiny P1 nebo z množiny P2. 21 PPP    ;33;2P   ;2P MNOŽINA ŘEŠENÍ:   ;2P Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 6 PŘÍKLAD 3 Řešte nerovnici 342  xxx o neznámé Rx . ŘEŠENÍ: Nerovnice obsahuje dvě absolutní hodnoty, pro každou určíme nulový bod. 02 x 03 x 2x 3x Dva nulové body rozdělí množinu reálných čísel na tři intervaly.   ;33;22;R . Na jednotlivých intervalech ověříme dosazením libovolného čísla z intervalu hodnotu výrazu v absolutní hodnotě. Výraz v absolutní hodnotě napíšeme bez absolutní hodnoty. Vše zapíšeme do tabulky.  2; 3;2 ;3  2x   22  xx 2x 2x  3x   33  xx   33  xx 3x Nyní v původní rovnici 342  xxx nahradíme výrazy v absolutní hodnotě výrazy bez absolutní hodnoty. Vzniklé tři nerovnice řešíme ekvivalentními úpravami na daných intervalech. Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 7 pro  2;x pro 3;2x    342  xxx    342  xxx 342  xxx 342  xxx 122  xx 2 x 12  x 2 x 33  x  3:  1 x  1 1x 1x   1;2;1 P  1;3;22 P množina řešení  2;1 P množina řešení 1;22 P pro  ;3x    342  xxx 342  xxx 72  x 2 x 5x   ;5;33P množina řešení  ;53P Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 8 Nyní určíme množinu řešení nerovnice s absolutní hodnotou jako sjednocení množin P1, P2 a P3. Nerovnici řeší hodnoty z množiny P1, množiny P2 nebo množiny P3. 321 P PPP   ;51;22;P   ;51;P MNOŽINA ŘEŠENÍ:   ;51;P