Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 1 LINEÁRNÍ NEROVNICE O JEDNÉ NEZNÁMÉ NEROVNICE o jedné neznámé x je zápis ve tvaru    xPxL  ,    xPxL  ,    xPxL  nebo    xPxL  , kde  xL ,  xP jsou výrazy obsahující proměnnou x a konstanty.  xL - levá strana nerovnice  xP - pravá strana rovnice x - neznámá LINEÁRNÍ NEROVNICE je nerovnice, kterou umíme převést na tvar 0 bax , 0 bax , 0 bax nebo 0 bax , kde Rba , . ŘEŠENÍ nerovnice (kořen nerovnice) v množině M ( RM  ) je každé Mx , pro které platí pro hodnoty výrazů  xL a  xP daná nerovnost. P - množina všech řešení (kořenů) nerovnice Řešení nerovnice závisí na množině, v níž nerovnici řešíme. Množinu řešení nerovnice tvoří obvykle interval. Existují také nerovnice, které nemají žádné řešení. Ověření správnosti řešení nerovnice je náročné, nestačí provést jen dosazení do původní nerovnice. Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 2 ÚPRAVY NEROVNIC 1. K oběma stranám nerovnice přičteme stejný výraz, který má pro všechna čísla z množiny, v níž nerovnici řešíme, smysl. (Odečíst výraz znamená přičíst opačný výraz) 2a) Obě strany nerovnice vynásobíme stejným výrazem, který pro všechna čísla z množiny, v níž nerovnici řešíme, nabývá pouze kladných hodnot. (Znak nerovnosti se nezmění.) 2b) Obě strany nerovnice vynásobíme stejným výrazem, který pro všechna čísla z množiny, v níž nerovnici řešíme, nabývá pouze záporných hodnot. (Znak nerovnosti se změní na opačný.) (Dělit výrazem znamená násobit převrácenou hodnotou výrazu) 3. Výměna stran nerovnice je možná pouze při současné změně znaku nerovnosti na opačný. Uvedené úpravy jsou ekvivalentní – nemění množinu, na které nerovnici řešíme. Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 3 PŘÍKLAD 1 Řešte nerovnici 1 3 3  x x o neznámé Rx , výsledek zapište jako interval. ŘEŠENÍ: Obě strany nerovnice násobíme číslem 3 (kladné číslo, znak nerovnosti se nemění). Dostaneme nerovnici, která neobsahuje zlomky. Provedeme ekvivalentní úpravy 1 3 3  x x 3 393  xx 9 x 62 x 2: 3x Obě strany nerovnice jsme dělili kladným číslem, znak nerovnosti se nezměnil. Pro názornost zobrazíme výslednou nerovnost na číselné ose. Výsledek zapíšeme jako interval. ŘEŠENÍ NEROVNICE: 3x MNOŽINA ŘEŠENÍ:  3;P Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 4 PŘÍKLAD 2 Řešte nerovnici 2 43 6 94 5 34      xxx o neznámé Rx , výsledek zapište jako interval. ŘEŠENÍ: Obě strany nerovnice násobíme nejmenším společným násobkem čísel 5, 6 a 2, tj. číslem 30 (kladné číslo, znak nerovnosti se nemění). Tak dostaneme nerovnici, která neobsahuje zlomky. Zjednodušíme výrazy na levé a pravé straně nerovnice a provedeme ekvivalentní úpravy. 2 43 6 94 5 34      xxx 30       1543594634  xxx 604545201824  xxx 60456344  xx 6345  x 3 x  1 3x Obě strany nerovnice jsme násobili záporným číslem, znak nerovnosti se změnil na opačný. Pro názornost nerovnost znázorníme na číselné ose. Výsledek zapíšeme jako interval. ŘEŠENÍ NEROVNICE: 3x MNOŽINA ŘEŠENÍ:   ;3P Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 5 PŘÍKLAD 3 Řešte nerovnici       4316123510  xxx o neznámé Rx . ŘEŠENÍ: Zjednodušíme výrazy na levé a pravé straně nerovnice a provedeme ekvivalentní úpravy.       4316123510  xxx 44816365010  xxx 52165316  xx 5316  x 10  x výrok je pravdivý pro všechna Rx 10  MNOŽINA ŘEŠENÍ: RP  Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 6 PŘÍKLAD 4 Řešte nerovnici 6 15 3 710 2 15      xxx o neznámé Rx . ŘEŠENÍ: Obě strany nerovnice násobíme nejmenším společným násobkem čísel 2, 3 a 6, tj. číslem 6 (kladné číslo, znak nerovnosti se nemění). Dostaneme nerovnici, která neobsahuje zlomky. Zjednodušíme výrazy na levé a pravé straně nerovnice a provedeme ekvivalentní úpravy. 6 15 3 710 2 15      xxx 6      157102153  xxx 151420315  xxx 1515315  xx 315  x 120 x výrok není pravdivý pro žádné Rx 120  není pravda nerovnice nemá řešení MNOŽINA ŘEŠENÍ:  P Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 7 PŘÍKLAD 5 Řešte nerovnici  8223 5 3  xx o neznámé  0;x , výsledek zapište jako interval. ŘEŠENÍ: Obě strany nerovnice násobíme číslem 5. Dostaneme nerovnici, která neobsahuje zlomky. Zjednodušíme výrazy na levé a pravé straně nerovnice a provedeme ekvivalentní úpravy.  8223 5 3  xx 5  8101153  xx 80101153  xx 11510  x 357  x  7:  5x Obě strany nerovnice jsme dělili záporným číslem, znak nerovnosti se změnil na opačný. Řešení nerovnice závisí na množině, v níž nerovnici řešíme. Pro řešení nerovnice musí platit nerovnost 5x , zároveň x musí ležet v intervalu  0; Situaci znázorníme na číselné ose. Množinu řešení určíme jako průnik dvou množin. Výsledek zapíšeme jako interval.   0;;5 P = 0;5 MNOŽINA ŘEŠENÍ: 0;5P