Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 1 SOUSTAVY TŘÍ LINEÁRNÍCH ROVNIC O TŘECH NEZNÁMÝCH SOUSTAVU tří lineárních rovnic o třech neznámých tvoří tři lineární rovnice o třech neznámých, které řešíme současně. Příklad: 7523  zyx 42  zyx 662  zyx Řešit soustavu tří lineárních rovnic o třech neznámých x, y, z znamená najít takovou uspořádanou trojici hodnot  zyx ;; , která splňuje všechny tři rovnice zároveň. Soustavu řešíme ekvivalentními úpravami použitými v dosazovací, sčítací nebo srovnávací metodě. Zvolená metoda řešení nemá vliv na počet řešení soustavy ani na množinu řešení soustavy. Soustava tří lineárních rovnic o třech neznámých má jedno, žádné nebo nekonečně mnoho řešení. DOSAZOVACÍ METODA Z libovolné rovnice vyjádříme jednu neznámou. Získaný výraz dosadíme za tuto neznámou do zbývajících dvou rovnic. Dvě nově vzniklé rovnice o dvou neznámých tvoří soustavu. Rovnice upravíme a soustavu vyřešíme. Můžeme si vybrat metodu dosazovací, sčítací nebo srovnávací. Tak vypočítáme hodnoty dvou neznámých ze tří. Tyto hodnoty dosadíme do vyjádření třetí neznámé (nebo do libovolné rovnice soustavy, ve které se vyskytuje i třetí neznámá) a třetí neznámou vypočítáme. Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 2 PŘÍKLAD 1 Řešte soustavu rovnic 7523  zyx 42  zyx 662  zyx o neznámých Rzyx ,, dosazovací metodou. ŘEŠENÍ: Z libovolné rovnice vyjádříme jednu neznámou. V našem řešení vyjádříme z druhé rovnice 42  zyx neznámou x. 42  zyx zy 2 42  zyx Tento výraz dosadíme za neznámou x do zbývajících dvou rovnic.   752423  zyzy   66422  zyzy Získali jsme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Rovnice upravíme.   752423  zyzy   66422  zyzy 7521263  zyzy 66842  zyzy 7125  zy 12 6823  zy 8 195  zy 1423  zy Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 3 Soustavu vyřešíme dosazovací metodou (můžeme si vybrat také sčítací nebo srovnávací metodu). Z první rovnice 195  zy vyjádříme neznámou z a tento výraz dosadíme za neznámou z do druhé rovnice. Získanou rovnici s neznámou y vyřešíme. Hodnotu neznámé y dosadíme do vyjádření neznámé z a vypočítáme její hodnotu. 195  zy 195  zy y5 1423  zy 195  yz  1 195  yz   1419523  yy 1438103  yy 143813 y 38 5213 y 13: 4y 1945 z 1z Hodnoty neznámých y a z dosadíme do vyjádření neznámé x a vypočítáme její hodnotu. (Hodnotu neznámé x můžeme také vypočítat dosazením hodnot neznámých y a z do libovolné rovnice soustavy, ve které se neznámá x vyskytuje). 42  zyx   4124 x 2x Soustava má jedno řešení. ŘEŠENÍM SOUSTAVY je uspořádaná trojice    1;4;2;; zyx MNOŽINA ŘEŠENÍ:   1;4;2 P Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 4 SČÍTACÍ METODA Vytvoříme dvě dvojice rovnic soustavy (použít musíme všechny rovnice). Např. první a druhá rovnice a druhá a třetí rovnice (případně první a třetí rovnice). Jednu nebo obě rovnice v každé dvojici vynásobíme tak, aby při následném sečtení rovnic ve dvojici vypadla jedna neznámá (u obou dvojic stejná). Dvě nově vzniklé rovnice o dvou neznámých tvoří soustavu, kterou vyřešíme. Můžeme si vybrat metodu dosazovací, sčítací nebo srovnávací. Tak vypočítáme hodnoty dvou neznámých ze třech. Tyto hodnoty dosadíme do libovolné rovnice soustavy, ve které se vyskytuje i třetí neznámá. Dostaneme rovnici o jedné neznámé, kterou vyřešíme. PŘÍKLAD 2 Řešte soustavu rovnic 7523  zyx 42  zyx 662  zyx o neznámých Rzyx ,, sčítací metodou. ŘEŠENÍ: Vytvoříme dvě dvojice rovnic (použít musíme všechny rovnice). V našem řešení tvoří dvojice první a druhá rovnice a druhá a třetí rovnice. Rovnice vynásobíme tak, aby při následném sečtení rovnic vypadla jedna neznámá (u obou dvojic stejná). V našem řešení neznámá y. Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 5 7523  zyx 42  zyx  1 42  zyx 2 662  zyx 7523  zyx rovnice 42  zyx rovnice 8422  zyx sečteme 662  zyx sečteme 195  zx 283  zx Dvě nově vzniklé rovnice o neznámých x a z tvoří soustavu, kterou vyřešíme. Můžeme si vybrat metodu dosazovací, sčítací nebo srovnávací. My použijeme sčítací metodu. Rovnice vynásobíme tak, aby při následném sečtení rovnic vypadla jedna neznámá. Např. neznámá x. Získanou rovnici s neznámou z vyřešíme a dosazením vypočítáme neznámou x. 195  zx 3 283  zx 5 32715  zx rovnice 104015  zx sečteme 1313  z  13:  1z 195  zx   1195 x 195 x 9 105 x 5: 2x Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 6 Hodnoty neznámých x a z dosadíme do libovolné rovnice soustavy, ve které se vyskytuje neznámá y, např. do druhé rovnice soustavy. Rovnici vyřešíme. 42  zyx   4122  y 4y Soustava má jedno řešení. ŘEŠENÍM SOUSTAVY je uspořádaná trojice    1;4;2;; zyx MNOŽINA ŘEŠENÍ:   1;4;2 P SROVNÁVACÍ METODA Ze všech rovnic vyjádříme stejnou neznámou. Získané výrazy porovnáme ve dvou rovnicích (použít musíme všechna vyjádření). Např. první a druhý výraz v jedné rovnici a druhý a třetí výraz (případně první a třetí výraz) ve druhé rovnici. Dvě nově vzniklé rovnice o dvou neznámých tvoří soustavu, kterou vyřešíme. Můžeme si vybrat metodu dosazovací, sčítací nebo srovnávací. Tak vypočítáme hodnoty dvou neznámých ze tří. Tyto hodnoty dosadíme do libovolného vyjádření třetí neznámé nebo do rovnice soustavy, ve které se vyskytuje i třetí neznámá. Dostaneme rovnici o jedné neznámé, kterou vyřešíme. Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 7 PŘÍKLAD 3 Řešte soustavu rovnic 7523  zyx 42  zyx 662  zyx o neznámých Rzyx ,, srovnávací metodou. ŘEŠENÍ: Ze všech rovnic vyjádříme neznámou y. 7523  zyx 42  zyx 662  zyx 7523  zyx zx 53  7532  zxy  2:  2 753   zx y 42  zyx zx 2 662  zyx zx 62  42  zxy 662  zxy Získané výrazy porovnáme ve dvou rovnicích (použít musíme všechna vyjádření). V našem řešení porovnáme první a druhý výraz v jedné rovnici a druhý a třetí výraz ve druhé rovnici. Rovnice upravíme. yy  yy  42 2 753   zx zx 66242  zxzx 842753  zxzx 283  zx 195  zx Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 8 Dvě nově vzniklé rovnice o dvou neznámých tvoří soustavu, kterou vyřešíme. Můžeme si vybrat metodu dosazovací, sčítací nebo srovnávací. Tak vypočítáme hodnoty dvou neznámých ze tří. My použijeme srovnávací metodu. Z obou rovnic vyjádříme neznámou x. 195  zx 283  zx 195  zx z9 283  zx z8 195  zx 5: 283  zx  3:  5 19   z x 3 28   z x Porovnáme obě vyjádření neznámé x. Dostáváme jednu rovnici o jedné neznámé, kterou vyřešíme. xx  3 28 5 19    zz 15    285193  zz 1040327  zz 340  z 1313 z 13: 1z Hodnotu neznámé z dosadíme do vyjádření neznámé x (nebo do libovolné rovnice, ve které se neznámá x vyskytuje) a vypočítáme její hodnotu. Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 9 5 19   z x   5 19 5 119    x 2x Hodnoty neznámých x a z dosadíme do vyjádření neznámé y (nebo do libovolné rovnice, ve které se neznámá y vyskytuje) a vypočítáme její hodnotu. 42  zxy   4224122 y 4y Soustava má jedno řešení. ŘEŠENÍM SOUSTAVY je uspořádaná trojice    1;4;2;; zyx MNOŽINA ŘEŠENÍ:   1;4;2 P