Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
1
SOUSTAVY DVOU LINEÁRNÍCH ROVNIC
O DVOU NEZNÁMÝCH
SOUSTAVU dvou lineárních rovnic o dvou neznámých tvoří dvě
lineární rovnice o dvou neznámých, které řešíme současně.
Příklad: 832  yx
74  yx
ŘEŠIT soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých x, y
znamená najít takovou uspořádanou dvojici hodnot  yx; , která
splňuje obě dvě rovnice zároveň.
Soustavu řešíme početně ekvivalentními úpravami použitými
v sčítací, dosazovací nebo srovnávací metodě.
Zvolená metoda řešení nemá vliv na počet řešení soustavy ani
na množinu řešení soustavy.
Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých má jedno,
žádné nebo nekonečně mnoho řešení.
SČÍTACÍ METODA
Jednu nebo obě rovnice vynásobíme vhodným číslem různým
od nuly tak, aby byly v obou rovnicích u jedné neznámé opačné
koeficienty. Upravené rovnice sečteme. (Snížíme počet rovnic
i počet neznámých o jednu.) Tím získáme jednu rovnici o jedné
neznámé, kterou vyřešíme.
Vyřešenou hodnotu neznámé dosadíme do jedné z rovnic, ve které
se vyskytuje i druhá neznámá, kterou dořešíme.
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
2
PŘÍKLAD 1
Řešte soustavu rovnic 832  yx
74  yx
o neznámých Ryx , sčítací metodou.
ŘEŠENÍ A:
Druhou rovnici vynásobíme číslem -2 tak, aby při následném
sečtení rovnic vypadla jedna neznámá - neznámá x.
832  yx
74  yx  2
832  yx
1482  yx
Rovnice sečteme. Dostáváme jednu rovnici o jedné neznámé y. Tuto
rovnici vyřešíme.
2211  y  11
2y
Hodnotu neznámé y dosadíme do libovolné rovnice, kde se
vyskytuje kromě neznámé y také neznámá x, jejíž hodnotu nyní
vypočítáme.
  8232 x
862 x 6
22 x 2:
1x
Soustava má jedno řešení.
ŘEŠENÍM SOUSTAVY je uspořádaná dvojice    2;1; yx
MNOŽINA ŘEŠENÍ:   2;1 P
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
3
ŘEŠENÍ B:
První rovnici vynásobíme číslem 4, druhou rovnici vynásobíme
číslem 3 tak, aby při následném sečtení rovnic vypadla jedna
neznámá - neznámá y.
832  yx 4
74  yx 3
32128  yx
21123  yx
Rovnice sečteme. Dostáváme jednu rovnici o jedné neznámé x. Tuto
rovnici vyřešíme.
1111 x 11:
1x
Hodnotu neznámé x dosadíme do libovolné rovnice, kde se
vyskytuje kromě neznámé x také neznámá y, jejíž hodnotu nyní
vypočítáme.
8312  y
832  y 2
63  y  3: 
2y
Soustava má jedno řešení.
ŘEŠENÍM SOUSTAVY je uspořádaná dvojice    2;1; yx
MNOŽINA ŘEŠENÍ:   2;1 P
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
4
DOSAZOVACÍ METODA
Z libovolné rovnice vyjádříme jednu neznámou. Získaný výraz
dosadíme za tuto neznámou do druhé, zbývající rovnice. Tím
získáme jednu rovnici o jedné neznámé, kterou vyřešíme.
Vyřešenou hodnotu neznámé dosadíme do vyjádření druhé
neznámé (nebo do jedné z rovnic, ve které se vyskytuje i druhá
neznámá) a druhou neznámou vypočítáme.
PŘÍKLAD 2
Řešte soustavu rovnic 832  yx
74  yx
o neznámých Ryx , dosazovací metodou.
ŘEŠENÍ A:
Z druhé rovnice vyjádříme neznámou x.
832  yx
74  yx 74  yx y4
yx 47 
Tento výraz dosadíme za x do první rovnice. Dostáváme jednu
rovnici o jedné neznámé, kterou vyřešíme.
  83472  yy
83814  yy
81114  y 14
2211  y  11: 
2y
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
5
Hodnotu neznámé y dosadíme do vyjádření neznámé x (nebo
do libovolné rovnice, ve které se neznámá x vyskytuje)
a vypočítáme její hodnotu.
yx 47 
  87247 x
1x
Soustava má jedno řešení.
ŘEŠENÍM SOUSTAVY je uspořádaná dvojice    2;1; yx
MNOŽINA ŘEŠENÍ:   2;1 P
ŘEŠENÍ B:
Z první rovnice vyjádříme neznámou y.
832  yx 832  yx x2
74  yx xy 283   3: 
3
28



x
y
3
82 

x
y
Tento výraz dosadíme za y do druhé rovnice. Dostáváme jednu
rovnici o jedné neznámé, kterou vyřešíme.
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
6
7
3
82
4 


x
x 3
 73
3
82
433 


x
x
  218243  xx
213283  xx
213211 x 32
1111 x 11:
1x
Hodnotu neznámé x dosadíme do vyjádření neznámé y (nebo
do libovolné rovnice, ve které se neznámá y vyskytuje)
a vypočítáme její hodnotu.
3
82 

x
y
3
6
3
82
3
812 




y
2y
Soustava má jedno řešení.
ŘEŠENÍM SOUSTAVY je uspořádaná dvojice    2;1; yx
MNOŽINA ŘEŠENÍ:   2;1 P
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
7
SROVNÁVACÍ METODA
Z obou rovnic vyjádříme stejnou neznámou. Získané výrazy
porovnáme (dosadíme za tuto neznámou z jednoho vyjádření
do druhého). Tím získáme jednu rovnici o jedné neznámé, kterou
vyřešíme.
Vyřešenou hodnotu neznámé dosadíme do vyjádření druhé
neznámé (nebo do jedné z rovnic, ve které se vyskytuje i druhá
neznámá) a vypočítáme hodnotu druhé neznámé.
PŘÍKLAD 3
Řešte soustavu rovnic 832  yx
74  yx
o neznámých Ryx , srovnávací metodou.
ŘEŠENÍ A:
Z obou rovnic vyjádříme neznámou x.
832  yx
74  yx
832  yx y3 74  yx y4
yx 382  2: yx 47 
2
38 y
x


Porovnáme obě vyjádření neznámé x. Dostáváme jednu rovnici
o jedné neznámé, kterou vyřešíme.
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
8
xx 
y
y
47
2
38


2
 yy 47238 
yy 81438  88  y
2211 y 11:
2y
Hodnotu neznámé y dosadíme do vyjádření neznámé x (nebo
do libovolné rovnice, ve které se neznámá x vyskytuje)
a vypočítáme její hodnotu.
yx 47 
  87247 x
1x
Soustava má jedno řešení.
ŘEŠENÍM SOUSTAVY je uspořádaná dvojice    2;1; yx
MNOŽINA ŘEŠENÍ:   2;1 P
ŘEŠENÍ B:
Z obou rovnic vyjádříme neznámou y.
832  yx
74  yx
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
9
832  yx x2 74  yx x
xy 283   3:  xy  74 4:
3
28



x
y
4
7 x
y


3
82 

x
y
Porovnáme obě vyjádření neznámé y. Dostáváme jednu rovnici
o jedné neznámé x, kterou vyřešíme.
yy 
4
7
3
82 xx 


12
   xx  73824
xx 321328  323  x
1111 x 11:
1x
Hodnotu neznámé x dosadíme do vyjádření neznámé y (nebo
do libovolné rovnice, ve které se neznámá y vyskytuje)
a vypočítáme její hodnotu.
3
82 

x
y
3
6
3
82
3
812 




y
2y
Soustava má jedno řešení.
ŘEŠENÍM SOUSTAVY je uspořádaná dvojice    2;1; yx
MNOŽINA ŘEŠENÍ:   2;1 P
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
10
PŘÍKLAD 4
Řešte soustavu rovnic 32  yx
624  yx o neznámých Ryx , .
ŘEŠENÍ:
Soustavu řešíme sčítací metodou tak, aby vypadla neznámá x.
32  yx 2
624  yx
624  yx
624  yx
Rovnice sečteme.
1200  yx výrok není pravdivý pro žádné Ryx ,
120 
Soustava NEMÁ ŘEŠENÍ.
MNOŽINA ŘEŠENÍ:  P
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
11
PŘÍKLAD 5
Řešte soustavu rovnic 32  yx
624  yx o neznámých Ryx , .
ŘEŠENÍ:
Soustavu řešíme sčítací metodou tak, aby vypadla neznámá x.
32  yx 2
624  yx
624  yx
624  yx
Rovnice sečteme.
000  yx výrok je pravdivý pro všechna Ryx , ,
00  která splňují rovnice soustavy
Soustava má NEKONEČNĚ MNOHO ŘEŠENÍ.
VARIANTA A:
Zvolíme Rx a z libovolné rovnice vyjádříme y.
32  yx x2
xy 23  1
32  xy
ŘEŠENÍM SOUSTAVY je každá uspořádaná dvojice
   32;;  xxyx , kde Rx
MNOŽINA ŘEŠENÍ:   RxxxP  ;32;
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
12
VARIANTA B:
Zvolíme Ry  a z libovolné rovnice vyjádříme x.
32  yx y
yx  32 2:
2
3 y
x


ŘEŠENÍM SOUSTAVY je každá uspořádaná dvojice
  


 
 y
y
yx ;
2
3
; , kde Ry 
MNOŽINA ŘEŠENÍ:









 
 Ryy
y
P ;;
2
3