Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 1 LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU je lineární rovnice, ve které se vyskytuje jeden nebo více výrazů v absolutní hodnotě. ABSOLUTNÍ HODNOTA x reálného čísla x je definována takto: xx  pro   ;0x 0x pro 0x xx  pro  0;x zkráceně: xx  pro  ;0x xx  pro  0;x ŘEŠENÍ lineární rovnice s absolutní hodnotou vede k řešení rovnic na daných intervalech. Podle definice absolutní hodnoty určujeme nulové body výrazů v absolutní hodnotě. Tyto nulové body nám rozdělí množinu, na které rovnici s absolutní hodnotou řešíme, na intervaly tak, abychom mohli na jednotlivých intervalech počítat s výrazy bez absolutní hodnoty. Na těchto intervalech postupně řešíme zadanou rovnici již bez absolutní hodnoty. Sjednocení dílčích výsledků je řešením původní rovnice. Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 2 PŘÍKLAD 1 Řešte rovnici 13 x o neznámé Rx . ŘEŠENÍ: Množinu reálných čísel rozdělíme na dva intervaly tak, abychom mohli na jednotlivých intervalech psát výraz 3x bez absolutní hodnoty. 33  xx pro  ;3x ( 03 x pro 3x )   333  xxx pro  3;x ( 03 x pro 3x ) Rozhodující pro hodnotu výrazu s absolutní hodnotou je tzv. nulový bod výrazu, tedy bod (hodnota x), pro který je výraz uvnitř absolutní hodnoty roven nule. V našem případě z rovnice 03 x plyne 3x . Nulový bod rozděluje množinu reálných čísel na dva intervaly (tvoří jejich krajní hodnotu), na kterých budeme řešit zadanou rovnici. Pro lineární výraz v absolutní hodnotě je na celém intervalu tento výraz buď kladný, nebo záporný. (Ověříme dosazením libovolného čísla z intervalu do výrazu). Předchozí můžeme zapsat přehledně do tabulky. Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 3  3;  ;3  3x   33  xx 3x Nyní v původní rovnici 13 x nahradíme výraz v absolutní hodnotě výrazem bez absolutní hodnoty a vzniklé rovnice budeme řešit na daných intervalech. Celkem tak vyřešíme dvě rovnice. Rovnice řešíme pomocí ekvivalentních úprav. pro  3;x pro  ;3x 13  x 3 13 x 3 4 x  1 2x 4x číslo  ;32 číslo  3;4  množina řešení  22 P množina řešení  41 P Rovnice má DVĚ ŘEŠENÍ 4x a 2x Správnost výpočtu můžeme ověřit zkouškou. Nyní určíme množinu řešení rovnice s absolutní hodnotou jako sjednocení množin P1.a P2. Rovnici řeší hodnota z množiny P1 nebo z množiny P2. 21 PPP     24 P MNOŽINA ŘEŠENÍ:  2;4 P Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 4 PŘÍKLAD 2 Řešte rovnici 121  xx o neznámé Rx . ŘEŠENÍ: Určíme nulový bod výrazu v absolutní hodnotě. 01x 1x Nulový bod rozdělí množinu reálných čísel na dva intervaly.   ;11;R . Na jednotlivých intervalech ověříme dosazením libovolného čísla z intervalu hodnotu výrazu v absolutní hodnotě. Výraz v absolutní hodnotě napíšeme bez absolutní hodnoty. Vše zapíšeme do tabulky.  1;  ;1 1x   11  xx 1x Nyní v původní rovnici 121  xx nahradíme výraz v absolutní hodnotě výrazem bez absolutní hodnoty. Vzniklé dvě rovnice řešíme ekvivalentními úpravami na daných intervalech. pro  1;x pro  ;1x 121  xx 12  x 121  xx 12  x 03  x  3:  2 x  1 0x 2x číslo  1;0  číslo  ;12 množina řešení  1P množina řešení  22 P Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 5 Rovnice má JEDNO ŘEŠENÍ 2x Správnost výpočtu můžeme ověřit zkouškou dosazením do původní rovnice. Nyní určíme množinu řešení rovnice s absolutní hodnotou jako sjednocení množin P1.a P2. Rovnici řeší hodnota z množiny P1 nebo z množiny P2. 21 PPP     2P  2P MNOŽINA ŘEŠENÍ:  2P PŘÍKLAD 3 Řešte rovnici 10432  xx o neznámé Rx . ŘEŠENÍ: Rovnice obsahuje dvě absolutní hodnoty, pro každou určíme nulový bod. 03 x 04 x 3x 4x Dva nulové body rozdělí množinu reálných čísel na tři intervaly.   ;44;33;R . Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 6 Na jednotlivých intervalech ověříme dosazením libovolného čísla z intervalu hodnotu výrazu v absolutní hodnotě. Výraz v absolutní hodnotě napíšeme bez absolutní hodnoty. Vše zapíšeme do tabulky.  3; 4;3 ;4  3x   33  xx 3x 3x  4x   44  xx   44  xx 4x Nyní v původní rovnici 10432  xx nahradíme výrazy v absolutní hodnotě výrazy bez absolutní hodnoty. Vzniklé tři rovnice řešíme ekvivalentními úpravami na daných intervalech. pro  3;x pro 4;3x     10432  xx     10432  xx 10462  xx 10462  xx 1023  x 2 1010 x 10 123  x  3:  0x 4x číslo 4;30  číslo  3;4  množina řešení  02 P množina řešení  41 P Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 7 pro  ;4x     10432  xx 10462  xx 1023 x 2 83 x 3: 3 8 x číslo  ;4 3 8 množina řešení  3P Rovnice má DVĚ ŘEŠENÍ: 4x a 0x Správnost výpočtu můžeme ověřit zkouškou dosazením do původní rovnice. Nyní určíme množinu řešení rovnice s absolutní hodnotou jako sjednocení množin P1, P2 a P3. Rovnici řeší hodnoty z množiny P1, množiny P2 nebo množiny P3. 321 P PPP       04P  0;4P MNOŽINA ŘEŠENÍ:  0;4P