Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
1
ROVNICE S NEZNÁMOU VE JMENOVATELI
ROVNICE S NEZNÁMOU VE JMENOVATELI je rovnice
s jedním nebo více lomenými výrazy, ve kterých je neznámá
ve jmenovateli (může být zároveň i v čitateli).
Řešení rovnice s neznámou ve jmenovateli vede k řešení rovnice
na dané množině. Určujeme podmínky, za kterých má rovnice
smysl. Rovnici řešíme pomocí ekvivalentních úprav.
PŘÍKLAD 1
Řešte rovnici 5
2
6



x
x
o neznámé Rx .
ŘEŠENÍ:
Aby měla rovnice smysl, musí mít smysl lomený výraz na levé
straně rovnice a musí být 2x .
Řešíme tedy rovnici pro  2Rx .
Obě strany rovnice násobíme výrazem 2x (násobení nenulovým
výrazem - ekvivalentní úprava). Dostaneme rovnici, která
neobsahuje zlomky. Tu řešíme již známým postupem pomocí
ekvivalentních úprav.
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
2
5
2
6



x
x
 2 x 2x
   252
2
6



xx
x
x
 256  xx
1056  xx 65  x
164  x  4: 
4x
Číslo  24 R , je tedy řešením rovnice.
Správnost výpočtu je možné ověřit také zkouškou.
ZKOUŠKA:
  5
2
10
24
64
4 


L
  54 P
   44 PL 
ŘEŠENÍ ROVNICE: 4x
MNOŽINA ŘEŠENÍ:  4P
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
3
PŘÍKLAD 2
Řešte rovnici
9
5
3
1





x
x
x
x
o neznámé Rx .
ŘEŠENÍ:
Aby měla rovnice smysl, musí mít smysl všechny lomené výrazy
v rovnici a musí tedy být 93  xx .
Řešíme tedy rovnici pro  9;3 Rx .
Obě strany rovnice násobíme nejmenším společným násobkem
výrazů 3x a 9x , tj. nenulovým výrazem   93  xx
(ekvivalentní úprava). Dostaneme rovnici, která neobsahuje
zlomky. Pokračujeme v řešení pomocí ekvivalentních úprav.
9
5
3
1





x
x
x
x
  93  xx
     93
9
5
93
3
1






xx
x
x
xx
x
x
     3591  xxxx
155399 22
 xxxxxx
158910 22
 xxxx 982
 xx
62 x 2:
3x
Číslo  9;33 R , je tedy řešením rovnice.
ŘEŠENÍ ROVNICE: 3x
MNOŽINA ŘEŠENÍ:  3P
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
4
PŘÍKLAD 3
Řešte rovnici
2
4
2
2


 xx
x
o neznámé Rx .
Na jednoduché rovnici si ukážeme důležitost určení podmínky,
za které má rovnice smysl.
Určením podmínky zajišťujeme, že všechny úpravy rovnice, které
provádíme, jsou ekvivalentní. To znamená, že výraz nenásobíme
výrazem, který nabývá nulovou hodnotu.
ŘEŠENÍ:
NEÚPLNÉ A TEDY CHYBNÉ ŘEŠENÍ:
Neřešíme podmínku a rovnou násobíme výrazem 2x v domnění,
že se jedná o ekvivalentní úpravu.
2
4
2
2


 xx
x
 2 x
   2
2
4
2
2
2




x
x
x
x
x
42 x 2:
2x
ŘEŠENÍ ROVNICE: 2x
POZOR – toto řešení rovnice není správné
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
5
ÚPLNÉ A TEDY SPRÁVNÉ ŘEŠENÍ:
Určíme podmínku tak, aby rovnice měla smysl: 2x
Řešíme tedy rovnici pro  2Rx .
Nyní bezpečně násobíme obě strany rovnice výrazem 2x , který
je různý od nuly. Jedná se o ekvivalentní úpravu.
Dostaneme rovnici, která neobsahuje zlomky, kterou vyřešíme.
2
4
2
2


 xx
x
 2 x 2x
   2
2
4
2
2
2




x
x
x
x
x
42 x 2:
2x
Číslo  22 R (číslo 2 je shodné s číslem 2 z podmínky), a tedy
není řešením rovnice.
Správnost závěru potvrzuje také zkouška.
ZKOUŠKA:
  



0
4
22
22
2L nemá smysl
  


0
4
22
4
2P nemá smysl
ZÁVĚR: rovnice
2
4
2
2


 xx
x
nemá řešení
MNOŽINA ŘEŠENÍ:  P
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
6
PŘÍKLAD 4
Řešte rovnici
1
11




x
x
x
x
o neznámé
a) Rx ,
b) Zx .
ŘEŠENÍ:
Aby měla rovnice smysl, musí být 10  xx
Řešíme tedy rovnici pro  1;0Rx , resp.  1;0Zx .
Obě strany rovnice násobíme nenulovým výrazem  1xx
(ekvivalentní úprava). Dostaneme rovnici, která neobsahuje
zlomky. Tu vyřešíme pomocí ekvivalentních úprav.
1
11




x
x
x
x
 1 xx
   1
1
1
1
1





xx
x
x
xx
x
x
   xxx 11
2

xxxx  22
12 12
 xx
13  x  3: 
3
1
x
Správnost výpočtu je možné ověřit také zkouškou.
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
7
ŘEŠENÍ ROVNICE závisí na množině, v níž rovnici řešíme:
a) neznámá Rx : MNOŽINA ŘEŠENÍ:







3
1
P
rovnice má jedno řešení, protože  1;0
3
1
 R
b) neznámá Zx : MNOŽINA ŘEŠENÍ:  P
rovnice nemá řešení, protože  1;0
3
1
 Z
PŘÍKLAD 5:
Řešte rovnici 0
1
4
1
1
1
1
2








x
x
x
x
x
x
o neznámé Rx .
ŘEŠENÍ:
Aby měla rovnice smysl, musí být 1x
Řešíme tedy rovnici pro  1Rx .
Obě strany rovnice násobíme nejmenším společným násobkem
výrazů 1x , 1x a 12
x , tj. nenulovým výrazem   11  xx
protože   1112
 xxx .
Dostaneme rovnici, která neobsahuje zlomky. Tu vyřešíme pomocí
ekvivalentních úprav.
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
8
0
1
4
1
1
1
1
2








x
x
x
x
x
x
  11  xx
     11011
1
4
1
1
1
1
2













xxxx
x
x
x
x
x
x
         011
1
4
11
1
1
11
1
1
2








xx
x
x
xx
x
x
xx
x
x
    0411
22
 xxx
    041212 22
 xxxxx
041212 22
 xxxxx
00  x výrok je pravdivý pro všechna  1Rx
00 
Rovnice má nekonečně mnoho řešení. Řešení rovnice závisí
na množině, v níž rovnici řešíme.
MNOŽINA ŘEŠENÍ:  1 RP