Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
1
ODCHYLKA DVOU PŘÍMEK
ODCHYLKA  DVOU PŘÍMEK p, q je velikost úhlu, který
vymezují přímky p, q (případně přímky s nimi rovnoběžné).
Pro velikost odchylky dvou přímek platí  900  .
ODCHYLKU  DVOU PŘÍMEK p, q s normálovými resp.
směrovými vektory  21;uuu 

,  21;vvv 

vypočítáme podle
vzorce
2
2
2
1
2
2
2
1
2211
cos
vvuu
vuvu



Zkráceně 




vu
vu
cos , kde 2211 vuvuvu 

2
2
2
1 uuu 

velikost vektoru

u
2
2
2
1 vvv 

velikost vektoru

v
ODVOZENÍ
Odchylka dvou přímek je odvozená ze vzorce pro odchylku
normálových, resp. směrových vektorů přímek.
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
2
PŘÍKLAD 1
Určete odchylku  přímek p: 043  yx , q: 062  yx .
ŘEŠENÍ A:
Z obecných rovnic určíme normálové vektory přímek.
 3;11 

n  2;12 

n
Dosadíme do vzorce
2
2
2
1
2
2
2
1
2211
cos
vvuu
vuvu



 
  2222
2131
2311
cos



2
2
2
1
25
5
510
5
cos 



2
2
cos 
 45
ODCHYLKA PŘÍMEK:  45
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
3
ŘEŠENÍ B:
Z obecných rovnic určíme normálové vektory přímek.
 3;11 

n  2;12 

n
Vypočítáme skalární součin a velikosti normálových vektorů.
  561231121 

nn 521 

nn
  1031
22
1 

n 101 

n
521 22
2 

n 52 

n
Dosadíme do vzorce 




21
21
cos
nn
nn

2
2
2
1
25
5
510
5
cos 



2
2
cos 
 45
ODCHYLKA PŘÍMEK:  45
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
4
PŘÍKLAD 2
Určete odchylku  přímek p: tx 43 , ty 24
q: sx  1 , sy 22 .
ŘEŠENÍ:
Z parametrických vyjádření určíme směrové vektory přímek.
 2;41 

u  2;12 

u
Dosadíme do vzorce
2
2
2
1
2
2
2
1
2211
cos
vvuu
vuvu



 
  2222
2124
2214
cos



0
520
0
cos 


0cos 
 90 přímky jsou kolmé
ODCHYLKA PŘÍMEK:  90
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
5
PŘÍKLAD 3
Určete odchylku  přímek p: 072  yx , q: 042  yx .
ŘEŠENÍ:
Z obecných rovnic určíme normálové vektory přímek.
 1;21 

n  2;12 

n
Dosadíme do vzorce
2
2
2
1
2
2
2
1
2211
cos
vvuu
vuvu



 
 2222
2112
2112
cos



0
55
0
cos 


0cos 
 90 přímky jsou kolmé
ODCHYLKA PŘÍMEK:  90
POZNÁMKA: Skalární součin vektorů 021 

nn právě tehdy,
když vektory

1n ,

2n jsou navzájem kolmé (

 21 nn ).
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
6
PŘÍKLAD 4
Napište rovnici přímky p procházející bodem  3;2A , která je
kolmá na přímku q: 0623  yx .
ŘEŠENÍ:
Z obecné rovnice určíme normálový vektor přímky q:  2;3 

qn .
Normálový vektor přímky q je kolmý na přímku q a je rovnoběžný
s přímkou p. Normálový vektor přímky q a směrový vektor přímky
p jsou rovnoběžné (mohou být i shodné).

 pq un  2;3 

pu
Určíme normálový vektor přímky p.
 2;3 

pu  3;2

pn
Dosadíme do vzorce obecné rovnice 0 cbyax .
 3;2

pn : 032  cyx
 3;2A :   03322  c
094  c
05  c
5c
Obecná rovnice: p: 0532  yx
OBECNÁ ROVNICE PŘÍMKY: p: 0532  yx
POZNÁMKA: Přímky p, q jsou navzájem kolmé právě tehdy, když
jsou normálové vektory přímek p, q navzájem kolmé.
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
7