Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
1
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK
p: 0111  cybxa
q: 0222  cybxa
ROVNOBĚŽNÉ PŘÍMKY (RŮZNÉ) nemají žádný společný
bod, můžeme určit jejich vzdálenost, jejich odchylka je 0°.
Normálové (směrové) vektory rovnoběžných přímek jsou
rovnoběžné. Pro přímky p, q platí    2211 ;; bakba 
21 ckc 
ROVNOBĚŽNÉ PŘÍMKY (SHODNÉ) mají všechny body
společné, jejich vzdálenost je 0, jejich odchylka je 0°.
Normálové (směrové) vektory shodných rovnoběžných přímek
jsou rovnoběžné. Pro přímky p, q platí    2211 ;; bakba 
21 ckc 
RŮZNOBĚŽNÉ PŘÍMKY mají jeden společný bod, nelze určit
jejich vzdálenost, můžeme určit jejich odchylku.
Normálové (směrové) vektory různoběžných přímek nejsou
rovnoběžné. Pro přímky p, q platí    2211 ;; bakba 
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
2
PŘÍKLAD 1
Určete vzájemnou polohu přímek p: 0623  yx
q: 01246  yx
ŘEŠENÍ A:
Z obecných rovnic přímek určíme normálové vektory přímek p, q.
 2;31 

n  4;62 

n
Zjistíme, zda jsou normálové vektory rovnoběžné, zda

 21 nkn .
63  k 42  k
2
1
k
2
1
k

 21
2
1
nn přímky jsou rovnoběžné
Ověříme, zda jsou přímky shodné nebo různé, zda 21 ckc  .
 126  k
2
1
k
21
2
1
cc  přímky jsou rovnoběžné shodné
VZÁJEMNÁ POLOHA: přímky jsou rovnoběžné shodné
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
3
ŘEŠENÍ B:
Obecné rovnice přímek vynásobíme tak, aby koeficienty u x byly
v obou rovnicích stejné. Pak určíme normálové vektory přímek p, q
a určíme vzájemnou polohu přímek.
p: 0623  yx 2
q: 01246  yx
p: 01246  yx
q: 01246  yx
 4;61 

n  4;62 

n

 21 nn přímky jsou rovnoběžné
21 cc  přímky jsou rovnoběžné shodné
VZÁJEMNÁ POLOHA: přímky jsou rovnoběžné shodné
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
4
PŘÍKLAD 2
Určete vzájemnou polohu přímek p: 01272  yx
q: 095,3  yx
ŘEŠENÍ A:
Z obecných rovnic přímek určíme normálové vektory přímek p, q.
**  7;21 

n  5,3;12 

n
Zjistíme, zda jsou normálové vektory rovnoběžné, zda

 21 nkn .
12  k  5,37  k
2k 2k

 21 2 nn přímky jsou rovnoběžné
Ověříme, zda jsou přímky shodné nebo různé, zda 21 ckc  .
912  k
3
4
k
21 2 cc  přímky jsou rovnoběžné různé
VZÁJEMNÁ POLOHA: přímky jsou rovnoběžné různé
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
5
ŘEŠENÍ B:
Obecné rovnice přímek vynásobíme tak, aby koeficienty u x byly
v obou rovnicích stejné. Pak určíme normálové vektory přímek p, q
a určíme vzájemnou polohu přímek.
p: 01272  yx
q: 095,3  yx 2
p: 01272  yx
q: 01872  yx
 7;21 

n  7;22 

n

 21 nn přímky jsou rovnoběžné
1812  21 cc  přímky jsou rovnoběžné různé
VZÁJEMNÁ POLOHA: přímky jsou rovnoběžné různé
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
6
PŘÍKLAD 3
Určete vzájemnou polohu přímek p: 0243  yx
q: 0486  yx
ŘEŠENÍ A:
Z obecných rovnic přímek určíme normálové vektory přímek p, q.
 4;31 

n  8;62 

n
Zjistíme, zda jsou normálové vektory rovnoběžné, zda

 21 nkn .
63  k 84  k
2
1
k
2
1
k

 21 nkn přímky jsou různoběžné
VZÁJEMNÁ POLOHA: přímky jsou různoběžné
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
7
ŘEŠENÍ B:
Obecné rovnice přímek vynásobíme tak, aby koeficienty u x byly
v obou rovnicích stejné. Pak určíme normálové vektory přímek p, q
a určíme vzájemnou polohu přímek.
p: 0243  yx 2
q: 0486  yx
p: 0486  yx
q: 0486  yx
 8;61 

n  8;62 

n

 21 nn přímky jsou různoběžné
VZÁJEMNÁ POLOHA: přímky jsou různoběžné
PRŮSEČÍK DVOU PŘÍMEK
PRŮSEČÍK DVOU PŘÍMEK p, q je bod, který leží na přímce p
a přímce q zároveň.
Průsečík dvou přímek p: 0111  cybxa , q: 0222  cybxa
určíme tak, že vyřešíme soustavu určenou obecnými rovnicemi
přímek p, q.
Podle počtu společných bodů dvou přímek (řešení soustavy)
můžeme určit vzájemnou polohu přímek.
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
8
PŘÍKLAD 4
Určete průsečík přímek p: 01264  yx
q: 01264  yx
ŘEŠENÍ:
Průsečík určíme vyřešením soustavy dvou rovnic o dvou
neznámých. Použijeme sčítací metodu (soustavu můžeme řešit také
dosazovací metodou).
01264  yx
01264  yx sečteme
024 
Soustava nemá řešení, neexistuje společný bod přímek p, q.
Přímky jsou rovnoběžné různé.
PRŮSEČÍK PŘÍMEK: neexistuje společný bod
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
9
PŘÍKLAD 5
Určete průsečík přímek p: 01264  yx
q: 0632  yx
ŘEŠENÍ:
Průsečík určíme vyřešením soustavy dvou rovnic o dvou
neznámých. Použijeme sčítací metodu (soustavu můžeme řešit také
dosazovací metodou).
01264  yx
0632  yx 2
01264  yx
01264  yx sečteme
00 
Soustava má nekonečně mnoho řešení, všechny body přímek p, q
jsou společné.
Přímky jsou shodné.
PRŮSEČÍK PŘÍMEK: všechny body jsou společné
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
10
PŘÍKLAD 6
Určete průsečík přímek p: 032  yx
q: 023  yx
ŘEŠENÍ:
Průsečík určíme vyřešením soustavy dvou rovnic o dvou
neznámých. Použijeme sčítací metodu (soustavu můžeme řešit také
dosazovací metodou).
032  yx
023  yx sečteme
055 x 5
55 x 5:
1x
Dosadíme 0213  y
023  y
01 y 1
1y
Soustava má jedno řešení, existuje jeden společný bod přímek p, q.
Průsečík má souřadnice  1;1 P . Přímky jsou různoběžné.
PRŮSEČÍK PŘÍMEK:  1;1 P
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
11
PŘÍKLAD 7
Určete vzájemnou polohu přímek p, q:
p: tx 62  q: sx 31
ty 84  sy 42 
ŘEŠENÍ A:
Parametrická vyjádření přímek převedeme na obecné rovnice
a určíme vzájemnou polohu přímek již známým způsobem.
Podrobně si rozepíšeme druhý způsob řešení – řešení B.
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
12
ŘEŠENÍ B:
Z parametrických vyjádření přímek určíme směrové vektory
přímek p, q.
 8;61 

u  4;32 

u
Zjistíme, zda jsou směrové vektory rovnoběžné, zda

 21 uku .
 36  k 48  k
2k 2k

 21 2 un přímky jsou rovnoběžné
Přímky jsou shodné, jestliže bod  2;1B přímky q leží současně
na přímce p. Dosadíme souřadnice bodu  2;1B do parametrického
vyjádření přímky p a z každé rovnice vypočítáme hodnotu
parametru.
p: tx 62 t621  t842 
ty 84 t61  t82 
 2;1B
6
1
t
4
1
t
Hodnota parametru není stejná pro obě rovnice. Bod B neleží
na přímce p.
Přímky jsou rovnoběžné různé.
VZÁJEMNÁ POLOHA: přímky jsou rovnoběžné různé
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
13
PŘÍKLAD 8
Napište rovnici přímky p procházející bodem 




3
2
;
2
1
A , která je
rovnoběžná s přímkou q: 0732  yx .
ŘEŠENÍ:
Normálové vektory rovnoběžných přímek jsou rovnoběžné
(mohou být i shodné). Určíme normálový vektor přímky q.
Normálový vektor přímky p je s ním shodný

 qp nn .
 3;2 

qn  3;2 

pn
Dosadíme do vzorce obecné rovnice 0 cbyax :
 3;2 

pn : 032  cyx





3
2
;
2
1
A : 0
3
2
3
2
1
2 

 c
021  c
03  c
3c
Obecná rovnice: p: 0332  yx
OBECNÁ ROVNICE PŘÍMKY: p: 0332  yx