Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 1 OBECNÁ ROVNICE PŘÍMKY NORMÁLOVÝ VEKTOR PŘÍMKY je nenulový vektor, který je na danou přímku kolmý. OBECNOU ROVNICI PŘÍMKY p, která je daná normálovým vektorem  ban ;  a bodem  11; yxA , zapíšeme pro libovolný bod  yxX ; přímky p ve tvaru 0 cbyax . ODVOZENÍ: Body  11; yxA ,  yxX ; přímky p určují vektor  11; yyxxAX   , který je kolmý na normálový vektor  ban ;  . Platí tedy 0  AXn . Dosadíme a upravíme. 0  AXn     011  yybxxa 011  bybyaxax 011  byaxbyax 0 cbyax , kde 11 byaxc  Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 2 PŘÍKLAD 1 Napište obecnou rovnici přímky p, která je daná bodem  1;2A a normálovým vektorem  7;2  n . ŘEŠENÍ: Dosadíme do vzorce obecné rovnice 0 cbyax . Dosadíme  7;2  n : 072  cyx Rovnice musí platit pro pA . Dosadíme  1;2A : 01722  c Vypočítáme c: 074  c 011  c 11c Dosadíme do obecné rovnice 11c : 01172  yx OBECNÁ ROVNICE PŘÍMKY: 01172  yx Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 3 PŘÍKLAD 2 Napište obecnou rovnici přímky p, která je daná bodem  3;4A a normálovým vektorem  2;5   n . ŘEŠENÍ: Dosadíme do vzorce obecné rovnice 0 cbyax .  2;5   n :   025  cyx  3;4A :     03245  c 0620  c 026  c 26c Obecná rovnice: 02625  yx OBECNÁ ROVNICE PŘÍMKY: 02625  yx PŘÍKLAD 3 Určete normálový vektor přímky p: 0153  yx . ŘEŠENÍ: Z obecné rovnice určíme normálový vektor  3;1   n . NORMÁLOVÝ VEKTOR:  3;1   n Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 4 PŘÍKLAD 4 Přímka p je dána parametrickým vyjádřením tx 53 , ty 22 . Napište její obecnou rovnici. ŘEŠENÍ: Parametrické rovnice vynásobíme tak, aby při následném sečtení vypadl parametr t. tx 53 2 ty 22 5 tx 1062  rovnice ty 10105  sečteme 1652  yx 16 01652  yx OBECNÁ ROVNICE PŘÍMKY: 01652  yx UVĚDOMTE SI: Směrový vektor přímky p:  2;5   u Normálový vektor přímky p:  5;2  n Skalární součin:   010105225   nu Vektory  u ,  n jsou kolmé (   nu ). Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 5 PŘÍKLAD 5 Napište obecnou rovnici přímky p, která je daná bodem  1;3 A a směrovým vektorem  2;3   u . ŘEŠENÍ A: Přímku p zapíšeme parametrickým vyjádřením a následně převedeme na obecnou rovnici.  1;3 A ,  2;3   u směrový vektor Parametrické vyjádření: tx 33 ty 21 , Rt  Převedení na obecnou rovnici: tx 33 2 ty 21 3 tx 662  ty 633  sečteme 332  yx 3 0332  yx OBECNÁ ROVNICE PŘÍMKY: 0332  yx Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 6 ŘEŠENÍ B: Směrový vektor převedeme na normálový a přímku p zapíšeme obecnou rovnicí. Převedení vektoru:  2;3   u směrový vektor  3;2  n normálový vektor (zaměníme souřadnice a u jedné souřadnice změníme znaménko tak, aby 0  nu ) Dosadíme do vzorce obecné rovnice 0 cbyax :  3;2  n : 032  cyx  1;3 A :   01332  c 036  c 03  c 3c Obecná rovnice: 0332  yx OBECNÁ ROVNICE PŘÍMKY: 0332  yx Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 7 PŘÍKLAD 6 Napište obecnou rovnici přímky AB pro  1;2 A ,  3;1B . ŘEŠENÍ: Body A, B určují vektor  AB . Vektor  AB je směrovým vektorem přímky AB. Určíme jeho souřadnice.  1;2 A ABAB    3;1B  4;1  AB Směrový vektor převedeme na normálový.  4;1  AB směrový vektor  1;4   n normálový vektor Dosadíme do vzorce obecné rovnice 0 cbyax .  1;4   n : 04  cyx  1;2 A :     0124  c 018  c 07  c 7c Obecná rovnice: 074  yx OBECNÁ ROVNICE PŘÍMKY: 074  yx Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 8 PŘÍKLAD 7 Přímka p je určená obecnou rovnicí 042  yx . Určete tři libovolné body přímky a přímku znázorněte. ŘEŠENÍ: Pro každý bod přímky platí obecná rovnice. Libovolný bod přímky určíme tak, že zvolenou libovolnou hodnotu jedné ze souřadnic x, y dosadíme do obecné rovnice přímky a vypočítáme druhou souřadnici bodu  yx; . My zvolíme hodnotu souřadnice y. Přímka p: 042  yx 1y 0412 x 02 x 2x  1;2A 2y 0422 x 0x  2;0B 3y 0432 x 02 x 2x  3;2C BODY PŘÍMKY:  1;2A ,  2;0B ,  3;2C Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 9 PŘÍKLAD 8 Určete průsečíky přímky p: 0632  yx s osami soustavy souřadnic. Přímku znázorněte. ŘEŠENÍ: Průsečík přímky p s osou x je bod  0;xPx , Průsečík přímky p s osou y je bod  yPy ;0 . Průsečíky určíme tak, že dosadíme do obecné rovnice přímky. Přímka p: 0632  yx 0y 06032 x 062 x 3x  0;3xP 0x 06302  y 063 y 2y  2;0yP PRŮSEČÍKY S OSAMI:  0;3xP ,  2;0yP Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 10 PŘÍKLAD 9 Rozhodněte, zda body A, B leží na přímce p: 01043  yx a)  1;2A b)  2;4B ŘEŠENÍ: Pro každý bod přímky p platí obecná rovnice 01043  yx . Dosadíme souřadnice bodu do obecné rovnice a ověříme její platnost. a)  1;2A 0101423  01046  00  Rovnice platí. Bod A leží na přímce. b)  2;4B 0102443  010812  010  Rovnice neplatí. Bod B neleží na přímce. BOD A PŘÍMKA: pA , pB