Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 1 PARAMETRICKÉ VYJÁDŘENÍ PŘÍMKY SMĚROVÝ VEKTOR PŘÍMKY je nenulový vektor, který je s danou přímkou rovnoběžný. PARAMETRICKÉ VYJÁDŘENÍ PŘÍMKY p, která je daná směrovým vektorem  u a bodem A, zapíšeme pro libovolný bod X přímky p symbolickou rovnicí   utAX , kde Rt  je parametr. Symbolickou rovnici přímky p rozepíšeme pro směrový vektor  21,uuu   , body  11; yxA ,  yxX ; přímky p a libovolné reálné číslo t po souřadnicích na PARAMETRICKÉ VYJÁDŘENÍ 11 tuxx  21 tuyy  , Rt  ODVOZENÍ: Body A, X určují vektor  AX , který je rovnoběžný se směrovým vektorem  u . Platí tedy   utAX , kde Rt  . Ze symbolické rovnice vypočítáme X.   utAX   utAX A   utAX Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 2 PŘÍKLAD 1 Napište parametrické vyjádření přímky p, která je daná bodem A a směrovým vektorem  u a)  1;2A ,  4;3  u b)  3;2 A ,  5;0  u ŘEŠENÍ: Dosadíme do rovnice   utAX . Rozepíšeme po souřadnicích. a) 32  tx b) 02  tx 41  ty 53  ty Rovnice upravíme. PARAMETRICKÉ VYJÁDŘENÍ PŘÍMKY: a) tx 32  b) 2x ty 41 , Rt  ty 53 , Rt  PŘÍKLAD 2 Určete směrový vektor přímky p zadané parametrickým vyjádřením tx 25 , ty 43 , Rt  ŘEŠENÍ: Z parametrického vyjádření určíme směrový vektor  4;2  u . SMĚROVÝ VEKTOR:  4;2  u Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 3 PŘÍKLAD 3 Napište parametrické vyjádření přímky p, která prochází bodem  1;1A a je rovnoběžná s vektorem  1;2  u . ŘEŠENÍ: Vektor  u je směrovým vektorem přímky p. Dosadíme do rovnice   utAX . Rozepíšeme po souřadnicích.  21  tx 11  ty Rovnice upravíme. PARAMETRICKÉ VYJÁDŘENÍ PŘÍMKY: tx 21 ty 1 , Rt  Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 4 PŘÍKLAD 4 Napište parametrické vyjádření přímky p, která prochází bodem  0;1A a je rovnoběžná s přímkou BC, kde  1;1B ,  2;2C . ŘEŠENÍ: Body B, C určují vektor  BC . Vektor  BC je směrovým vektorem přímky p. Určíme jeho souřadnice.  1;1B BCBC    2;2C  1;3  BC Dosadíme do rovnice   BCtAX . Rozepíšeme po souřadnicích.  0;1A 31  tx  1;3  BC 10  ty Rovnice upravíme. PARAMETRICKÉ VYJÁDŘENÍ PŘÍMKY: tx 31 ty  Rt  Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 5 PŘÍKLAD 5 Napište parametrické vyjádření přímky AB pro  1;1A ,  2;3B . Určete další 3 libovolné body přímky AB. ŘEŠENÍ: Body A, B určují vektor  AB . Vektor  AB je směrovým vektorem přímky AB. Určíme jeho souřadnice.  1;1A ABAB    2;3B  1;2  AB Dosadíme do rovnice   ABtAX . Rozepíšeme po souřadnicích.  1;1A 21  tx  1;2  AB 11  ty Rovnice upravíme. PARAMETRICKÉ VYJÁDŘENÍ PŘÍMKY AB: tx 21 ty 1 Rt  Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 6 Libovolný bod přímky AB určíme tak, že zvolenou libovolnou hodnotu parametru t dosadíme do parametrického vyjádření přímky AB a vypočítáme souřadnice bodu  yx; . Přímka AB: tx 21 ty 1 0t 1021 x 101 y  1;1A 1t 3121 x 211 y  2;3B 2t 5221 x 321 y  3;5C 1t   1121 x   011 y  0;1D 2t   3221 x   121 y  1;3 E DALŠÍ BODY PŘÍMKY AB:  3;5C ,  0;1D ,  1;3 E Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 7 PŘÍKLAD 6 Rozhodněte, zda body A, B leží na přímce p zadané parametrickým vyjádřením ,34 tx  ty 1 . a)  0;1A b)  1;2B ŘEŠENÍ: Pro každý bod na přímce existuje parametr, pro který platí obě rovnice parametrického vyjádření. Dosadíme souřadnice bodu do parametrického vyjádření a z každé rovnice vypočítáme hodnotu parametru. a) p: tx 34  t341  t10 ty 1 t33  1t  0;1A 1t Hodnota parametru je stejná pro obě rovnice. Bod A leží na přímce. b) p: tx 34  t342  t11 ty 1 t32  0t  1;2B 3 2 t Hodnota parametru není stejná pro obě rovnice. Bod B neleží na přímce. BOD A PŘÍMKA: pA , pB