Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 1 ÚHEL DVOU VEKTORŮ, SKALÁRNÍ SOUČIN VEKTORŮ ÚHEL DVOU VEKTORŮ Dva nenulové vektory  u ,  v můžeme vždy umístit do společného počátečního bodu a určit velikost úhlu  , který svírají. Pro jeho velikost platí  1800  . ÚHEL  DVOU NENULOVÝCH VEKTORŮ  21;uuu   ,  21;vvv   vypočítáme podle vzorce 2 2 2 1 2 2 2 1 2211 cos vvuu vuvu    Zkráceně      vu vu cos , kde 2211 vuvuvu   2 2 2 1 uuu   velikost vektoru  u 2 2 2 1 vvv   velikost vektoru  v Poznámka: Vzorec lze odvodit pomocí kosinové věty. Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 2 PŘÍKLAD 1 Určete úhel  vektorů  2;1  u ,  3;1  v . ŘEŠENÍ: Vektory  2;1  u ,  3;1  v jsou nenulové. Dosadíme do vzorce 2 2 2 1 2 2 2 1 2211 cos vvuu vuvu      2222 3121 3211 cos    2 2 2 1 25 5 105 5 cos    2 2 cos   45 ÚHEL VEKTORŮ:  45 Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 3 PŘÍKLAD 2 Určete úhel  vektorů  2;1  u ,  4;2   v . ŘEŠENÍ: Vektory  2;1  u ,  4;2   v jsou nenulové. Dosadíme do vzorce 2 2 2 1 2 2 2 1 2211 cos vvuu vuvu         2222 4221 4221 cos    1 10 10 205 10 cos       1cos  180 ÚHEL VEKTORŮ: 180 Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 4 PŘÍKLAD 3 Určete úhel  vektorů  1;2  u ,  2;1  v . ŘEŠENÍ: Vektory  1;2  u ,  2;1  v jsou nenulové. Dosadíme do vzorce 2 2 2 1 2 2 2 1 2211 cos vvuu vuvu      2222 2112 2112 cos    0 55 0 cos    0cos   90 Vektory  u ,  v jsou navzájem kolmé (   vu ). ÚHEL VEKTORŮ:  90 Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 5 PŘÍKLAD 4 Trojúhelník ABC určují vrcholy  2;1A ,  1;0B ,  1;2C . Vypočítejte délky stran AB, AC a úhel  při vrcholu A. ŘEŠENÍ: Délky stran AB a AC vypočítáme podle vzorce pro vzdálenost dvou bodů    2 12 2 12 yyxxAB  .  2;1A ,  1;0B  2;1A ,  1;2C    22 2110 AB    22 2112 AC    22 11 AB  22 11 AC 2AB 2AC Úhel  při vrcholu A určují vektory  AB a  AC . Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 6 Určíme souřadnice vektorů  AB a  AC .  2;1A ,  1;0B  2;1A ,  1;2C ABAB   ACAC    21;10   AB  21;12   AC  1;1   AB  1;1   AC Velikost úhlu  vypočítáme jako velikost úhlu vektorů  AB a  AC . Dosadíme do vzorce:      ACAB ACAB cos  1;1   AB  1;1   AC 2  ABAB 2  ACAC     22 1111 cos    0 22 0 cos    0cos   90 Trojúhelník ABC je pravoúhlý. DÉLKY STRAN: 2AB , 2AC ÚHEL PŘI VRCHOLU A:  90 Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 7 SKALÁRNÍ SOUČIN VEKTORŮ SKALÁRNÍ SOUČIN   vu dvou nenulových vektorů  u a  v je reálné číslo cos  vuvu SKALÁRNÍ SOUČIN   vu dvou nenulových vektorů  21;uuu   ,  21;vvv   vypočítáme podle vzorce 2211 vuvuvu   Poznámka: Odvozeno ze vzorce pro výpočet úhlu dvou vektorů. PŘÍKLAD 5 Určete skalární součin vektorů   vu , je-li 2  u , 1  v a svírají-li vektory  u ,  v úhel  o velikosti 120°. ŘEŠENÍ: Dosadíme do vzorce: cos  vuvu   120cos12vu          2 1 12vu 1  vu SKALÁRNÍ SOUČIN: 1  vu Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 8 PŘÍKLAD 6 Určete skalární součin vektorů  3;2   u ,  2;3  v . ŘEŠENÍ: Dosadíme do vzorce 2211 vuvuvu     2332   vu 0  vu SKALÁRNÍ SOUČIN: 0  vu PŘÍKLAD 7 Určete skalární součin vektorů  7;4  u ,  5;3   v . ŘEŠENÍ: Dosadíme do vzorce 2211 vuvuvu    5734   vu 23  vu SKALÁRNÍ SOUČIN: 23  vu Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 9 KOLMOST VEKTORŮ Dva nenulové vektory  u ,  v jsou navzájem kolmé (   vu ) právě tehdy, když úhel vektorů  u ,  v je 90°. Dosadíme  90 do vzorce pro skalární součin. 0090cos   vuvuvu 0  vu KOLMOST VEKTORŮ: Dva nenulové vektory  u ,  v jsou navzájem kolmé (   vu ) právě tehdy, když skalární součin   vu vektorů  u ,  v je roven nule ( 0  vu ). PŘÍKLAD 8 Ověřte, že vektory  1;2   u a  6;3  v jsou navzájem kolmé. ŘEŠENÍ: Ověříme, že skalární součin   vu je roven nule ( 0  vu ). Dosadíme do vzorce 2211 vuvuvu   .   6132   vu 0  vu SKALÁRNÍ SOUČIN: 0  vu , VEKTORY JSOU KOLMÉ Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým zaměřením Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“ 10 PŘÍKLAD 9 Určete souřadnici 2u vektoru  u tak, aby vektory  2;3 uu   a  3;1   v byly navzájem kolmé. ŘEŠENÍ: Vektory  u ,  v jsou navzájem kolmé právě tehdy, když je skalární součin   vu roven nule ( 0  vu ). 02211  vuvu Dosadíme do rovnice souřadnice vektorů  2;3 uu   ,  3;1   v a vypočítáme souřadnici 2u .   0313 2  u 033 2  u 33 2  u 12 u SOUŘADNICE: 12 u