Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
1
SOUŘADNICE VEKTORU, VELIKOST VEKTORU
VEKTOR
ORIENTOVANÁ ÚSEČKA je úsečka daná velikostí a směrem,
počátečním a koncovým bodem.
Orientovanou úsečku (vektor) znázorňujeme úsečkou se šipkou
u koncového bodu.
VEKTOR je množina všech orientovaných úseček, které mají
stejnou velikost a stejný směr (jsou stejně orientované).
Vektory označujeme jejich názvem (malým písmenem), nad kterým
znázorňujeme šipku. Např.

u ,

v ,

n .
UMÍSTĚNÍ VEKTORU

 ABu do bodu A je orientovaná
úsečka

AB s počátečním bodem A a koncovým bodem B.
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
2
SOUŘADNICE VEKTORU
SOUŘADNICE VEKTORU

u určíme pro umístění vektoru

 ABu symbolickou rovnicí
ABABu 

SOUŘADNICI VEKTORU NA PŘÍMCE zapisujeme  1uu 

,
pro  1xA a  2xB ji vypočítáme podle vzorce
121 xxu  .
SOUŘADNICE VEKTORU V ROVINĚ zapisujeme
 21;uuu 

, pro  11; yxA a  22 ; yxB je vypočítáme podle vzorců
121 xxu 
122 yyu 
VEKTOR ZNÁZORŇUJEME jako orientovanou úsečku.
Souřadnice vektoru určují souřadnice koncového bodu vektoru,
počáteční bod vektoru je shodný s počátkem soustavy souřadnic.
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
3
PŘÍKLAD 1
Určete souřadnici vektoru

AB , jestliže
a)  7A ,  5B b)  4A ,  2B
ŘEŠENÍ:
Dosadíme do vzorců ABAB 

, 121 xxu 
a)  7A ,  5B b)  4A ,  2B
2751 u rovnou   42 

AB
a) SOUŘADNICE:  2

AB b) SOUŘADNICE  6

AB
PŘÍKLAD 2
Určete souřadnice vektoru

AB , jestliže
a)  1;1 A ,  6;5 B b)  1;6A ,  2;4B
ŘEŠENÍ:
Dosadíme do vzorců ABAB 

, 121 xxu  , 122 yyu  .
a)  1;1 A ,  6;5 B b)  1;6A ,  2;4B
  6151 u nebo počítáme rovnou
  5162 u  12;64 

AB
VEKTOR:  5;6 

AB VEKTOR:  1;2

AB
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
4
PŘÍKLAD 3
Znázorněte v soustavě souřadnic vektory  3;2

u ,  1;3

v ,
 1;1 

w ,  1;0

a ,  0;2

b
ŘEŠENÍ:
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
5
PŘÍKLAD 4
Umístěte vektor  2;3

u do bodu  2;1A tak, aby platilo

 ABu . Vektor

u i jeho umístění

AB znázorněte.
ŘEŠENÍ:
Umístit vektor

u do bodu A znamená určit bod B tak, aby

 ABu .
Ze symbolické rovnice vypočítáme B (postup je stejný jako při
řešení algebraické rovnice, používáme ekvivalentní úpravy).

 ABu
ABu 

výměna stran rovnice

 uAB A
AuB 

Dosadíme  2;3

u ,  2;1A . Počítáme po souřadnicích.
Postupně   213 Bx nebo rovnou   22;13 B
422 By
SOUŘADNICE BODU:  4;2B
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
6
STŘED ÚSEČKY
STŘED S ÚSEČKY AB vypočítáme podle vzorce
2
BA
S


ODVOZENÍ: Střed S rozděluje úsečku AB na dvě stejně dlouhé a
stejně orientované úsečky

AS a

SB tak, že platí

 SBAS .
Ze symbolické rovnice vypočítáme S.

 SBAS
SBAS  SA 
BAS 2 2:
2
BA
S


PŘÍKLAD 5
Určete souřadnice středu S úsečky AB, jestliže a)  2A ,  4B
b)  1;6A ,  3;2B
ŘEŠENÍ:
Dosadíme do vzorce
2
BA
S

 .
a)  2A ,  4B
  1
2
42


S
STŘED:  1S
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
7
b)  1;6A ,  3;2B . Počítáme po souřadnicích.
4
2
26
2




 BA
S
xx
x 2
2
31
2




 BA
S
yy
y
STŘED:  2;4S
VELIKOST VEKTORU
VELIKOST VEKTORU  1uu 

NA PŘÍMCE vypočítáme
podle vzorce
1uu 

VELIKOST VEKTORU  21;uuu 

V ROVINĚ vypočítáme
podle vzorce
2
2
2
1 uuu 

Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
8
PŘÍKLAD 6
Určete velikost vektoru a)  2

u b)  3,4 

u .
ŘEŠENÍ:
Dosadíme do vzorce pro výpočet velikosti vektoru.
a)  2

u b)  3,4 

u
1uu 

2
2
2
1 uuu 

2

u  22
34 

u
2

u 5

u
a) VELIKOST: 2

u b) VELIKOST: 5

u
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
9
PŘÍKLAD 7
Určete velikost vektoru

u , je-li dáno jeho umístění

AB , kde
 3;2A ,  1;2 B .
ŘEŠENÍ:
Vypočítáme souřadnice vektoru

 ABu (po souřadnicích).
 3,2A ,  1,2 B
ABABu 

  31;22 

u
 4;0 

u
Vypočítáme velikost vektoru dosazením do vzorce
2
2
2
1 uuu 

 22
40 

u
4

u
VELIKOST VEKTORU: 4

u
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
10
PŘÍKLAD 8
Vektor  21;aaa 

je jednotkový (velikost vektoru 1

a ). Určete
souřadnici 2a , jestliže
2
1
1 a
ŘEŠENÍ:
Vypočítáme velikost vektoru dosazením do vzorce
2
2
2
1 uuu 









2;
2
1
aa
2
2
2
2
2
4
1
2
1
aaa 







Vektor

a je jednotkový, jeho velikost 1

a . Řešíme rovnici:
1
4
1 2
2  a
1
4
1 2
2  a
4
32
2 a
2
3
21 a
2
3
22

a
Rovnice má dvě řešení, existují dva vektory s danou vlastností.
SOUŘADNICE:
2
3
21 a ,
2
3
22

a
VEKTORY: 









2
3
;
2
1
1a ,







 


2
3
;
2
1
2a