Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
1
SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ
SOUŘADNICE BODU NA PŘÍMCE
ČÍSELNÁ OSA na přímce je určena počátkem O a jednotkou
měření.
Libovolný bod A na číselné ose je určen jednou souřadnicí,
zapisujeme  1xA .
PŘÍKLAD 1
Znázorněte na číselné ose x body  2A ,  4B ,  3C ,  1D ,  0O .
ŘEŠENÍ:
SOUŘADNICE BODU V ROVINĚ
SOUSTAVA SOUŘADNIC v rovině je určena dvěma navzájem
kolmými číselnými osami x, y se společným počátkem O
a jednotkou měření.
Libovolný bod A v soustavě souřadnic je určen dvěma
souřadnicemi, zapisujeme  11, yxA .
Libovolný bod X na ose x má souřadnice  0,xX , kde Rx .
Libovolný bod Y na ose y má souřadnice  yY ,0 , kde Ry .
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
2
PŘÍKLAD 2
Znázorněte v soustavě souřadnic body  1;2A ,  3;4 B ,  4;3C ,
 0;2D ,  0;0O . Určete souřadnice bodů E, F, G, H.
ŘEŠENÍ:
SOUŘADNICE BODŮ:  0;2E ,  3;0F ,  2;2 G ,  1;3 H
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
3
PŘÍKLAD 3
Určete souřadnice bodu B, který je souměrně sdružený s bodem
 2;3 A podle počátku O soustavy souřadnic.
ŘEŠENÍ:
Bod A znázorníme v soustavě souřadnic a znázorníme bod B
souměrný s bodem A podle bodu O.
SOUŘADNICE BODU:  2;3B
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
4
PŘÍKLAD 4
Znázorněte trojúhelník ABC s vrcholy  3;4A ,  2;3B ,  0,2C
a sestrojte jeho obraz trojúhelník DEF ve středové souměrnosti se
středem v počátku O soustavy souřadnic. Určete souřadnice bodů
D, E, F.
ŘEŠENÍ:
Body  3;4A ,  2;3B ,  0,2C znázorníme v soustavě souřadnic
a sestrojíme body D, E, F souměrné s body A, B, C podle bodu O.
SOUŘADNICE BODŮ:  3;4 D ,  2;3 E ,  0;2F
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
5
PŘÍKLAD 5
Určete souřadnice bodu, který je souměrně sdružený s bodem
 11, yxP a) podle osy x
b) podle osy y
c)podle bodu O
ŘEŠENÍ:
Bod  11, yxP znázorníme v soustavě souřadnic a znázorníme také
body souměrné podle osy x, osy y a bodu O.
a) BOD SOUMĚRNÝ podle osy x:  11, yxPx 
b) BOD SOUMĚRNÝ podle osy y:  11, yxPy 
c) BOD SOUMĚRNÝ podle bodu O:  11, yxPO 
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
6
VZDÁLENOST DVOU BODŮ NA PŘÍMCE
VZDÁLENOST BODŮ  1xA a  2xB na přímce vypočítáme
podle vzorce
12 xxAB 
PŘÍKLAD 6
Určete vzdálenost bodů A, B, jestliže
a)  4A ,  1B b)  1A ,  3B
ŘEŠENÍ:
Dosadíme do vzorce 12 xxAB 
a)  4A ,  1B b)  1A ,  3B
41AB  13 AB
3AB 4AB
Výsledek ověříme na číselné ose.
a) VZDÁLENOST: 3AB b) VZDÁLENOST: 4AB
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
7
VZDÁLENOST DVOU BODŮ V ROVINĚ
VZDÁLENOST BODŮ  11; yxA a  22 ; yxB v rovině
vypočítáme podle vzorce
   2
12
2
12 yyxxAB 
ODVOZENÍ: Vzdálenost dvou bodů A, B je stejná jako délka
úsečky AB. Vzorec pro její výpočet odvodíme podle Pythagorovy
věty z pravoúhlého trojúhelníku ABC.
222
CBACAB 
22
CBACAB 
Dosadíme: 12 xxAC  12 yyCB 
2
12
2
12 yyxxAB 
   2
12
2
12 yyxxAB 
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
8
PŘÍKLAD 7
Určete vzdálenost bodů A, B, jestliže a)  1;1 A ,  6;11 B
b)  1;6A ,  1;3B
ŘEŠENÍ:
Dosadíme do vzorce    2
12
2
12 yyxxAB 
ŘEŠENÍ a)  1;1 A ,  6;11 B
     22
16111 AB
 22
512 AB
25144 AB
13AB
VZDÁLENOST: 13AB
ŘEŠENÍ b)  1;6A ,  1;3B
   22
1163 AB
  22
03 AB
09 AB
3AB
VZDÁLENOST: 3AB
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
9
PŘÍKLAD 8
Na ose y najděte bod B vzdálený od bodu  2;3 A
o délku 5.
ŘEŠENÍ:
Bod B leží na ose y, proto má souřadnice  yB ;0 .
Bod B je od bodu  2;3 A vzdálený o délku 5, tedy 5AB
Dosadíme do vzorce    2
12
2
12 yyxxAB  .
    22
230  yAB
   22
23  yAB
449 2
 yyAB
1342
 yyAB
Porovnáme a řešíme rovnici 51342
 yy
51342
 yy
251342
 yy
01242
 yy
   026  yy
61 y 22 y
Rovnice má dvě řešení, existují dva body s danou vlastností.
HLEDANÉ BODY:  6;01 B ,  2;02B
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
10
PŘÍKLAD 9
Rozhodněte, zda trojúhelník s vrcholy  2;3A ,  1;1 B ,  6;11 C
je pravoúhlý.
ŘEŠENÍ:
Vypočítáme délky stran trojúhelníku ABC.
      5259162131
22
AB
     28128646426311
22
AC
        131692514416111
22
BC
Zvýšení matematických a odborných jazykových znalostí
prostřednictvím ICT u žáků středních škol s technickým
zaměřením
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.0021“
11
Pokud je trojúhelník ABC pravoúhlý, splňují délky jeho stran
Pythagorovu větu. Přeponou trojúhelníku je nejdelší strana BC.
Ověříme platnost Pythagorovy věty dosazením.
222
BCACAB 
  222
13285 
16912825 
169153 
Strany trojúhelníku ABC nesplňují Pythagorovu větu.
ZÁVĚR: trojúhelník ABC není pravoúhlý
PŘÍKLAD 10
Vypočítejte obsah čtverce ABCD s vrcholy  0;0A ,  1;3B ,  4;2C ,
 3;1D .
ŘEŠENÍ:
Obsah čtverce 2
aS  , kde a je délka strany čtverce.
Vypočítáme délku strany AB a dosadíme do vzorce pro výpočet
obsahu čtverce.
    100103
22
 ABa
 22
10 aS
10S
OBSAH ČTVERCE: 10S