Matematika
Studijní opora pro kombinované studium
Bakalářský studijní program
Revidovaná verze
Petr Chládek
Dana Smetanová
2017
České Budějovice
Vydala: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, Okružní 10, 370 01
České Budějovice
Za obsahovou a jazykovou správnost odpovídají autoři.
Cíl předmětu
Cílem předmětu je poskytnout studentům základní znalosti z lineární algebry, diferenciálního
a integrálního počtu funkce jedné reálné proměnné potřebné při studiu specializovaných
předmětů a dále podat výklad a objasnění stěžejních metod a algoritmů.
Výstupy z učení
Po absolvování kurzu student samostatně vyřeší základní úlohy z probírané látky (počítání
s vektory, maticemi a determinanty, řešení soustav lineárních rovnic, vlastnosti a grafy
elementárních funkcí, výpočet limity a derivace funkce, vyšetření průběhu funkce, výpočet
primitivní funkce, neurčitého integrálu, metodou přímou, per-partes, substituční, výpočet
určitého integrálu a obsahu rovinného obrazce).
Základní okruhy studia
1. Vektor, vektorový prostor;
2. Matice;
3. Determinanty;
4. Funkce jedné reálné proměnné;
5. Funkce inverzní, skládání funkcí;
6. Limita funkce;
7. Derivace;
8. L’Hospitalovo pravidlo;
9. Primitivní funkce, neurčitý integrál;
10. Per partes;
11. Substituce;
12. Určitý integrál;
3
13. Výpočet rovinného obsahu;
Studijní průvodce
- Klíčové pojmy
- Cíle kapitoly
- Čas potřebný ke studiu kapitoly
- Výklad
- Úkoly k zamyšlení a diskuzi
- Klíč k řešení otázek
- Studijní materiály
4
Kapitola 1: VEKTORY
Klíčové pojmy:
vektor, operace s vektory
Cíle kapitoly:
• pochopení pojmu vektor;
• znalost základních vektorových operací.
Čas potřebný ke studiu kapitoly: 10 hodin
Výklad:
Definice: Vektor v = (v1, v2, . . . , vn) - uspořádaná n-tice prvků.
Prvky v1, . . . , vn nazýváme složky vektoru.
Aritmetické operace s vektory:
Mějme vektory v = (v1, v2, . . . , vn), w = (w1, w2, . . . , wn) a konstantu k
sčítání (odčítání) vektorů
v ± w = (v1 ± w1, . . . , vn ± wn)
5
násobení vektoru konstantou
k.v = (k.v1, . . . , k.vn)
skalární součin
v.w = v1.w1 + v2.w2 + · · · + vn.wn =
n
i=1
vi.wi
norma vektoru
v = v2
1 + v2
2 + · · · + v2
n
odchylka vektorů
cosα =
v.w
v . w
vektorový součin - pouze pro 3-složkové vektory v = (v1, v2, v3), w = (w1, w2, w3)
v × w = (v2.w3 − v3.w2, −v1.w3 + v3.w1, v1.w2 − v2.w1)
vektor v × w je kolmý na oba původní vektory v i w
jednotkový vektor
v = 1
nulový vektor
v = 0
rovnoběžné vektory
v = k.w
kolmé (ortogonální) vektory
v.w = 0
6
Otázky a úkoly:
1. Spočítejme vektorový součin (1, 2, 3) × (4, 5, 6)
2. Spočítejme skalární součin (1, 2, 3).(4, 5, 6)
3. Určete vzájemnou polohu vektorů
(a) (1, 2, 1, −1), (1, 1, −2, 1)
(b) (1, 2, 1, −1), (3, 6, 3, −3)
Klíč k řešení otázek:
1. (1, 2, 3) × (4, 5, 6) = (2.6 − 3.5, −1.6 + 4.3, 1.5 − 2.4) = (−3, 6, −3)
2. (1, 2, 3) × (4, 5, 6) = 1.4 + 2.5 + 3.6 = 32
3. (a) kolmé
(b) rovnoběžné
7
Kapitola 2: VEKTOROVÉ PROSTORY
Klíčové pojmy:
vektorový prostor, lineární závislost a nezávislost, baze a dimenze
Cíle kapitoly:
• pochopení pojmu vektorový prostor;
• porozumění souvislosti mezi bazí a dimenzí
Čas potřebný ke studiu kapitoly: 10 hodin
Výklad:
Definice: Vektorový prostor Vk - množina všech k-složkových vektorů, na této množině
jsou zavedeny operace sčítání vektorů a násobení vektoru konstantou.
• Pro vektory v1, . . . , vn ∈ Vk a konstanty c1, . . . , cn nazýváme vektor
v = c1.v1 + c2.v2 + · · · + cn.vn =
n
i=1
ci.vi
lineární kombinací vektorů v1, . . . , vn s koeficienty c1, . . . , cn.
8
• Vektory v1, . . . , vn ∈ Vk nazveme lineárně nezávislé, jestliže
c1.v1 + c2.v2 + · · · + cn.vn = 0 ⇒ c1 = 0, . . . , cn = 0.
V opačném případě jsou lineárně závislé.
• Množina vektorů M = {v1, . . . , vn ∈ Vk} generuje vektorový prostor Vk, jestliže každý
vektor z vektorového prostoru Vk lze získat jako lineární kombinaci vektorů v1, . . . , vn
• Baze vektorového prostoru Vk - libovolná množina vektorů, která je lineárně nezávislá
a současně generuje prostor Vk.
• Dimenze vektorového prostoru Vk, označujeme dimVk - počet prvků baze.
Pozn. Platí dimVk = k, tzn. každá baze prostoru Vk je tvořena přesně k vektory, které
musí být lineárně nezávislé.
• Je-li u1, . . . , un baze prostoru Vn, pak každý vektor w ∈ Vn
lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů z baze, tj.
w = c1.u1 + · · · + cn.un
Koeficienty c1, . . . , cn se nazývají souřadnice vektoru w v bazi u1, . . . , un
Otázky a úkoly:
1. Jsou vektory (1, 2), (2, 5) lineárně závislé nebo nezávislé?
2. Vytvořte lineární kombinaci v vektorů v1 = (1, 2), v2 = (0, 1), v3 = (3, 0) s koeficienty
c1 = 4, c2 = 1, c3 = −1
9
Klíč k řešení otázek:
1. Ověříme, zda je splněna podmínka lineární nezávislosti
c1.(1, 2) + c2.(2.5) = (0, 0) ⇒ c1 = c2 = 0
Tj. řešíme soustavu dvou rovnic
c1 + 2c2 = 0, 2c1 + 5c2 = 0 ⇒
c1 = 0, c2 = 0 ⇒ vektory jsou nezávislé
2. v = (1, 9)
10
Kapitola 3: MATICE
Klíčové pojmy:
matice, Gaussova eliminace, determinant, inverzní matice, maticové rovnice
Cíle kapitoly:
• pochopení pojmu matice;
• porozumění maticovým výpočtům;
• řešení soustav lineárních rovnic.
Čas potřebný ke studiu kapitoly: 25 hodin
Výklad:
Definice: Matice A typu m × n
A =





a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
...
...
...
...
...
am1 am2 am3 · · · amn





aij prvky matice
i řádkový index
j sloupcový index
11
Čtvercová matice An×n - stejný počet řádků jako sloupců.
Diagonála matice An×n - tvořena všemi prvky aii, i = 1, . . . , n
Jednotková matice E - na diagonále 1, všude jinde 0, tj.
E =





1 0 0 · · · 0
0 1 0 · · · 0
...
...
...
...
...
0 0 0 · · · 1





Aritmetické operace s maticemi:
Mějme matice Am×n = (aij), Bm×n = (bij) a konstantu k
sčítání (odčítání) matic
(A ± B)m×n =



a11 ± b11 · · · a1n ± b1n
...
...
am1 ± bm1 · · · amn ± bmn



násobení matice konstantou
(k.A)m×n =



k.a11 · · · k.a1n
...
...
k.am1 · · · k.amn



matice transponovaná
(AT
)n×m =





a11 a21 · · · am1
a12 a22 · · · am2
...
...
...
...
a1n a2n · · · amn





násobení matic
Je-li Am×p, Bp×n, pak A.B = Cm×n = (cij), přičemž
cij = ai1.b1j + ai2.b2j + · · · + aip.bpj =
p
k=1
aik.bkj
mocnina
pro čtvercové matice A2
= A.A, A3
= A.A.A, ...
12
Zjišťování lineární nezávislosti pomocí matice:
• Hodnost matice A - počet jejích lineárně nezávislých řádků
• Algoritmus výpočtu- úprava na schodovitý tvar (každý následující řádek začíná větším
počtem nul, než předchozí) pomocí Gaussovy eliminace postupným prováděním
tzv. ekvivalentních úprav:
– změnit pořadí řádků
– vynásobit řádek nenulovou konstantou
– přičíst k libovolnému řádku kterýkoli jiný řádek
• Závěr: Ekvivalentní úpravy nemění hodnost matice, přičemž hodnost matice ve schodovitém
tvaru je rovna počtu jejích nenulových řádků.
Čtvercové matice
Determinant - hodnota detA, kterou je možno přiřadit každé čtvercové matici An×n tím,
že se sečte/odečte n! výrazů vzniklých z jednotlivých prvků matice:
n = 1
A = a11
detA = a11
n = 2
A =
a11 a12
a21 a22
detA = a11.a22 − a12.a21
n = 3
A =


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33


Saarusovo pravidlo
detA = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32
−a11.a23.a32 − a13.a22.a31 − a12.a21.a33
13
Platí:
• – vyměníme-li v matici 2 řádky, v determinantu se změní znaménko
– vynásobíme-li řádek matice konstantou c, změní se o tento násobek i hodnota
determinantu
– jestliže k řádku matice přičteme lineární kombinaci některých zbylých řádků,
determinant se nezmění!!!
• determinant matice ve schodovitém tvaru je roven součinu prvků na diagonále
Pro libovolný prvek aij matice An×n definujeme jeho algebraický doplněk Aij = (−1)i+j
.detAij,
kde Aij je matice typu (n − 1) × (n − 1) vzniklá z matice A vynecháním i-tého řádku a
j-tého sloupce.
Platí:
Pro pevně zvolený i-tý řádek (či j-tý sloupec) je
detA = ai1.Ai1 + ai2.Ai2 + · · · + ain.Ain
= a1j.A1j + a2j.A2j + · · · + anj.Anj
Matice An×n se nazve regulární pokud h(A) = n, singulární pokud h(A) < n
Pro matici A definujeme inverzní matici A−1
, která splňuje
A.A−1
= A−1
.A = E
Platí:
• je-li detA = 0, pak A−1
existuje a matice A je regulární
• je-li detA = 0, pak A−1
neexistuje a matice A je singulární
Výpočet inverzní matice:
• Pro matici A získáme matici adjungovanou adjA, když každý prvek matice A nahradíme
jeho algebraickým doplňkem a transponujeme. Pro regulární matici A je
A−1
=
1
detA
.adjA
• Pro získání matice X splňující A.X = E upravujeme ekvivalentními úpravami
(A | E) ∼ . . . ∼ (E | X)
14
Řešení maticových rovnic
A.X = B /.A−1
takto ano:
A−1
.A.X = A−1
.B
X = A−1
.B
takto ne:
A.X.A−1
= B.A−1
Soustavy lineárních rovnic
soustava m lineárních rovnic o n neznámých:
a11.x1 + a12.x2 + a13.x3 + a1n.xn = b1
a21.x1 + a22.x2 + a23.x3 + a2n.xn = b2
...
am1.x1 + am2.x2 + am3.x3 + amn.xn = bm
matice soustavy:
A =





a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
...
...
...
...
...
am1 am2 am3 · · · amn





rozšířená matice soustavy:
A∗
=





a11 a12 a13 · · · a1n | b1
a21 a22 a23 · · · a2n | b2
...
...
...
...
... |
...
am1 am2 am3 · · · amn | bm





15
vektor pravé strany:
b =





b1
b2
...
bm





vektor neznámých:
x =





x1
x2
...
xn





Maticový zápis soustavy
Am×n.xn×1 = bm×1
Platí: Frobeniova věta - soustava lineárních rovnic má řešení právě tehdy když h(A) =h(A∗
).
Podle Frobeniovy věty rozlišujeme následující možnosti:
• h(A) =h(A∗
) ⇒ soustava nemá řešení
• h(A) =h(A∗
) = n ⇒ 1 řešení
• h(A) =h(A∗
) < n ⇒ ∞ řešení
Metody řešení:
• Cramerovo pravidlo
Z matice A vytvoříme pro j = 1, . . . , n matici Aj tak, že v matici A
nahradíme j-tý sloupec vektorem b. Pak řešení
xj =
detAj
detA
• Inverzní matice
Soustavu chápeme jako maticovou rovnici A.x = b, kterou známým způsobem vy-
řešíme
• Gaussova eliminace
Pomocí ekvivalentních úprav rozšířené matice přejdeme ke schodovitému tvaru
a z něj získáme výsledek
16
Otázky a úkoly:
1. Spočítejme hodnost matice
A =


1 0 3
3 1 1
2 1 −2


2. Spočítejme determinant matice
A =


1 2 3
4 5 6
0 −1 −2


3. Spočítejte součin matic 

2 0 1
1 0 1
0 1 2

 .


1 3 1
0 1 1
1 1 0


4. Najděte inverzi k matici


0 1 1
1 0 1
0 0 1


Klíč k řešení otázek:
1. Ekvivalentními úpravami převedeme matici na schodovitý tvar, počet nenulových
řádků ve schodovitém tvaru odpovídá hodnosti matice


1 0 3
3 1 1
2 1 −2

 ∼


1 0 3
0 1 −8
0 1 −8

 ∼


1 0 3
0 1 −8
0 0 0

 ⇒ h(A) = 2
17
2. Podle Saarusova pravidla
det(A) = 1.5.(−2) + 2.6.0 + 3.4.(−1) − 3.5.0 − 2.4.(−2) − 1.6.(−1) = 0
3.


3 7 2
2 4 1
2 3 1


4.


0 1 −1
1 0 −1
0 0 1


18
Kapitola 4: FUNKCE
Klíčové pojmy:
funkce, operace s funkcemi, graf
Cíle kapitoly:
• pochopení pojmu funkce;
• schopnost určit definiční obory;
• konstrukce grafů elementárních funkcí.
Čas potřebný ke studiu kapitoly: 25 hodin
Výklad:
Definice: Funkce f: A → B je předpis y = f(x), který prvku x z množiny A přiřadí
podle daného předpisu hodnotu y z množiny B tak, aby byla splněna podmínka
∀x ∈ A ∃! y ∈ B tak, že y = f(x).
Prvek x nazveme vzorem prvku y, prvek y obrazem prvku x. Množinu A nazýváme definičním
oborem funkce f a označujeme ji D(f). Množinu B nazýváme oborem hodnot funkce
f, označujeme H(f).
19
Reálná funkce jedné reálné proměnné – taková funkce y = f(x),
kde D(f) ⊆ R, H(f) ⊆ R.
x . . . nezávisle proměnná
y . . . závisle proměnná
Analytické vyjádření funkce
• explicitní y = f(x)
• implicitní F(x, y) = 0
• parametrické x = ϕ(t), y = ψ(t)
Každá explicitní funkce se dá vyjádřit v implicitním tvaru (y−f(x) = 0), ale opačně nikoli,
ne každou implicitní funkci lze vyjádřit explicitně.
Příklad
1)
par. f: x = 2t, y = 6t − 1 =⇒
x = 2t ⇒ t =
x
2
⇒ y = 6.
x
2
− 1 =⇒
ex. f: y = 3x − 1 =⇒ im. 3x − y − 1 = 0
2)
im. 3x − y − 1 = 0 =⇒ ex. f: y = 3x − 1
x = t par. f: x = t, y = 3t − 1
20
Graf funkce f = {[x, f(x)]: x ∈ D(f)}
Základní operace s funkcemi:
Mějme funkce f, g definované na možině A, konstantu c
• sčítání (f + g)(x) = f(x) + g(x)
• odčítání (f − g)(x) = f(x) − g(x)
• násobení (f.g)(x) = f(x).g(x)
• dělení (f/g)(x) = f(x)/g(x)
• násobení konstantou (c.f)(x) = c.f(x)
Elementární funkce:
• konstantní
y = k
• lineární
y = ax + b
• kvadratická
y = ax2
+ bx + c
• kubická
y = ax3
+ bx2
+ cx + d
• nepřímá úměrnost
y =
1
x
• lineární lomená
y =
ax + b
cx + d
• racionální lomená
y =
P(x)
Q(x)
kde P(x), Q(x) jsou polynomy nějakého (obecně různého) stupně
21
• druhá odmocnina
y =
√
x
• třetí odmocnina
y = 3
√
x
• exponenciální
y = ax
a > 0, a = 1
• logaritmická
y = logax a > 0, a = 1
• goniometrická
sin, cos, tg, cotg
• cyklometrická
arcsin, arccos, arctg, arccotg
• absolutní hodnota
y =| · · · |
Vlastnosti funkcí:
Máme-li funkci f definovanou na množině A, pak
• f rostoucí na množině A, pokud
∀x1, x2 ∈ A: x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
• f klesající na množině A, pokud
∀x1, x2 ∈ A: x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
• f nerostoucí na množině A, pokud
∀x1, x2 ∈ A: x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2)
• f neklesající na množině A, pokud
∀x1, x2 ∈ A: x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2)
• f omezená (ohraničená) na množině A, pokud
∃c1, c2 ∈ R: ∀x ∈ A c1 < f(x) < c2
22
• f sudá na množině A, pokud
∀x ∈ A: f(x) = f(−x)
• f lichá na množině A, pokud
∀x ∈ A: f(x) = −f(−x)
• f periodická na množině A, pokud
∃p ∈ R, p = 0: ∀x ∈ A f(x) = f(x + p)
• f injektivní (prostá) na množině A, pokud
∀x1, x2 ∈ A: x1 = x2 ⇒ f(x1) = f(x2)
Další operace s funkcemi:
Mějme funkce f: A → B, g: B → C, pak
• inverzní funkce f−1
: B → A je taková, která splňuje podmínku
f−1
(y) = x ⇔ y = f(x)
• složená funkce g ◦ f: A → C je určena vztahem
(g ◦ f)(x) = g(f(x))
Pozn. Aby bylo možno k funkci f definovat funkci inverzní f−1
, musí být funkce f
injektivní!. Je-li f rostoucí, pak i f−1
je rostoucí. Je-li f klesající, pak i f−1
je klesající.
Dále platí D(f) = H(f−1
), H(f) = D(f−1
).
Otázky a úkoly:
1. Najděte definiční obor funkce
y =
1
5x − 15
23
2. Pro funkce f, g vytvořte složenou funkci h(x) = (f ◦ g)(x)
f(x) =
x
3 − 2x
, g(x) = 3x + 1
3. Najděte definiční obor funkce y =
√
1 − x2
4. Zjistěte inverzní funkci k funkci f: y = 5 + 4x
Klíč k řešení otázek:
1. Jmenovatel zlomku nesmí být roven nule. Zjistíme pro která x jmenovatel je roven
nule, a tato x je pak nutno z definičního oboru vyřadit.
5x − 15 = 0 ⇒ 5x = 15 ⇒ x = 3 ⇒ D(f) = R \ {3} = (−∞, 3) ∪ (3, ∞)
2. h(x) = (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(3x + 1) =
3x + 1
3 − 2.(3x + 1)
=
3x + 1
1 − 6x
3. −1, 1
4. f−1
: y =
x − 5
4
24
Kapitola 5: LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
Klíčové pojmy:
limita funkce, neurčité výrazy, spojitost
Cíle kapitoly:
• pochopení pojmu limita;
• znalost početních postupů pro výpočet limit;
• určování spojitosti.
Čas potřebný ke studiu kapitoly: 10 hodin
Výklad:
Definice:
• vlastní limita ve vlastním bodě
limx→x0 f(x) = L
∀ε > 0 ∃δ > 0 tak, že ∀x ∈ R
0 <| x − x0 |< δ ⇒| f(x) − L |< ε
25
• nevlastní limita ve vlastním bodě
limx→x0 f(x) = ∞
∀h ∈ R ∃δ > 0 tak, že ∀x ∈ R
0 <| x − x0 |< δ ⇒ f(x) > h
limx→x0 f(x) = −∞
∀h ∈ R ∃δ > 0 tak, že ∀x ∈ R
0 <| x − x0 |< δ ⇒ f(x) < h
• vlastní limita v nevlastním bodě
limx→∞f(x) = L
∀ε > 0 ∃k ∈ R tak, že ∀x ∈ R
x > k ⇒| f(x) − L |< ε
limx→−∞f(x) = L
∀ε > 0 ∃k ∈ R tak, že ∀x ∈ R
x < k ⇒| f(x) − L |< ε
• nevlastní limita v nevlastním bodě
limx→∞f(x) = ∞
∀h ∈ R ∃k ∈ R tak, že ∀x ∈ R
x > k ⇒ f(x) > h
limx→∞f(x) = −∞
∀h ∈ R ∃k ∈ R tak, že ∀x ∈ R
x > k ⇒ f(x) < h
limx→−∞f(x) = ∞
∀h ∈ R ∃k ∈ R tak, že ∀x ∈ R
x < k ⇒ f(x) > h
26
limx→−∞f(x) = −∞
∀h ∈ R ∃k ∈ R tak, že ∀x ∈ R
x < k ⇒ f(x) < h
Pro bod z zavedeme ε-okolí bodu z jako množinu Oz = (z − ε, z + ε)
Pro bod z zavedeme prstencové δ-okolí bodu z jako množinu Pz = (z − δ, z) ∪ (z, z + δ)
Alternativní definice vlastní limity ve vlastním bodě limx→x0 f(x) = L
∀x ∈ Px0 = (x0 − δ, x0) ∪ (x0, x0 + δ)
je f(x) ∈ OL = (L − ε, L + ε)
Pro počítání limit platí!!!
k + ∞ = ∞, k − ∞ = −∞, ∞ + ∞ = ∞,
−∞ − ∞ = −∞, k.∞ = ±∞, ∞.∞ = ∞,
k
±∞
= 0,
k
0
= ±∞,
√
∞ = ∞
(pokud dané limity existují)
Dále máme tzv. neurčité výrazy, o jejichž hodnotě obecně nelze rozhodnout
∞ − ∞,
0
0
,
∞
∞
, 0.∞, . . .
speciální limita: limx→∞ 1 +
1
x
x
= e
27
Jednostranné limity
limita zprava limx→x+
0
f(x) = L
∀ε > 0 ∃δ > 0 tak, že ∀x ∈ R
x0 < x < x0 + δ ⇒| f(x) − L |< ε
limita zleva limx→x−
0
f(x) = L
∀ε > 0 ∃δ > 0 tak, že ∀x ∈ R
x0 − δ < x < x0 ⇒| f(x) − L |< ε
Platí:
limx→x0 f(x) = L ⇔ limx→x+
0
f(x) = limx→x−
0
f(x) = L
Spojitost funkce
Funkce f je spojitá v bodě x0, pokud
limx→x0 f(x) = f(x0).
Funkce f je spojitá zleva v bodě x0, pokud
limx→x−
0
f(x) = f(x0).
Funkce f je spojitá zprava v bodě x0, pokud
limx→x+
0
f(x) = f(x0).
Funkce f je spojitá na intervalu I, pokud je spojitá v každém vnitřním bodě intervalu
I, spojitá zprava v jeho levém krajním bodě a spojitá zleva v jeho pravém krajním
bodě (pokud tyto body do intervalu I patří).
28
Otázky a úkoly:
1.
limx→2
x2
− 4
x − 2
2.
limx→∞
x2
− 4
2x2 + x − 3
3.
limx→0
x
x2 + 6x
4.
limx→∞
x2
− 4
2x3 + x − 3
Klíč k řešení otázek:
1.
limx→2
x2
− 4
x − 2
=
0
0
= limx→2
(x − 2)(x + 2)
x − 2
= limx→2
x + 2
1
= 4
2.
limx→∞
x2
− 4
2x2 + x − 3
=
∞
∞
= limx→∞
x2
(1 − 4
x2 )
x2(2 + 1
x
− 3
x2 )
=
1 − 0
2 + 0 − 0
=
1
2
3.
1
6
4. 0
29
Kapitola 6: DERIVACE
Klíčové pojmy:
derivace funkce, okamžitá rychlost, rovnice tečny a normály, L’Hospitalovo
pravidlo, průběh funkce
Cíle kapitoly:
• pochopení pojmu derivace;
• početní postupy pro výpočet derivací;
• schopnost uplatnit derivace v praktických úlohách.
Čas potřebný ke studiu kapitoly: 25 hodin
Výklad:
Derivace funkce f v bodě x0
f (x0) = limx→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
=
limh→0
f(x0 + h) − f(x0)
h
30
Geometrický smysl derivace:
Derivace funkce f v bodě x0 udává směrnici tečny ke grafu funkce f v bodě x0, tj.
t: y = kx + q, kde k = směrnice tečny=f (x0) = tangens směrovéhlo úhlu tečny
Fyzikální smysl derivace:
Máme-li funkci y = f(x), pak derivace f (x0) určuje okamžitou rychlost změny veličiny
y v bodě x0. Je-li f (x0) > 0, hodnoty veličiny y v bodě x0 rostou tím více, čím větší je
f (x0); je-li f (x0) < 0, hodnoty veličiny y v bodě x0 klesají tím více, čím menší je f (x0)
Platí: Má-li funkce f v bodě x0 derivaci, potom je v tomto bodě spojitá. Není-li funkce f
v bodě x0 spojitá, potom nemá derivaci v bodě x0.
!Ale není pravda: spojitá ⇒ má derivaci!
např. f: y =| x |, x0 = 0.
Spojitá v bodě 0 je:
f(0) =| 0 |= 0, limx→0 | x |= 0
Derivaci v bodě 0 nemá:
limx→0
| x | − 0
x − 0
= limx→0
| x |
x
= neex,
neboť
limx→0+
| x |
x
= limx→0+
x
x
= 1
limx→0−
| x |
x
= limx→0−
−x
x
= −1
Derivace funkce na intervalu: má-li funkce y = f(x) derivaci v každém bodě otevřeného
intervalu I, pak nová funkce y = f (x) se nazývá derivace funkce f na intervalu I. Říkáme,
že funkce f je na intervalu I diferencovatelná.
Derivace elementárních funkcí
1) y = c y = 0
2) y = xn
y = n.xn−1
31
3) y = sinx y = cosx
4) y = cosx y = −sinx
5) y = tgx y =
1
cos2x
6) y = cotgx y = −
1
sin2
x
7) y = lnx y =
1
x
8) y = ex
y = ex
9) y = logax y =
1
x.lna
10) y = ax
y = ax
.lna
11) y = arcsinx y =
1
√
1 − x2
12) y = arccosx y = −
1
√
1 − x2
13) y = arctgx y =
1
1 + x2
14) y = arccotgx y = −
1
1 + x2
Pravidla pro počítání derivací:
Mějme funkce f, g a konstantu c ∈ R, pak
(c.f) (x) = c.f (x)
(f + g) (x) = f (x) + g (x)
(f − g) (x) = f (x) − g (x)
(f.g) (x) = f (x).g(x) + f(x).g (x)
32
f
g
(x) =
f (x).g(x) − f(x)g (x)
g2(x)
(f ◦ g) (x) = f (g(x)).g (x)
Druhá derivace funkce y = f(x) na otevřeném intervalu I:
y (x) = (f (x)) = f (x)
tj. druhá derivace=derivace první derivace.
Třetí derivace funkce y = f(x) na otevřeném intervalu I:
y (x) = (f (x)) = f (x)
tj. třetí derivace=derivace druhé derivace.
Aplikace diferenciálního počtu
1. Okamžitá rychlost - pro funkci y = f(x) její derivace přímo udává okamžitou změnu
hodnot veličiny y.
2. Tečna a normála - pro funkci y = f(x) a bod A = [x0, y0] derivace vyjadřuje směrnici
tečny ke grafu funkce f v bodě A, z toho lze ke grafu odvodit rovnici tečny a normály:
tečna t má rovnici ve směrnicovém tvaru t : y = kx + q o neznámých k, q. Směrnice
k = f (x0), absolutní člen q získáme s využitím faktu, že bod [x0, y0] leží jak na grafu
funkce f, tak na tečně t, tj. y0 = k.x0 + q ⇒ y0 = f (x0).x0 + q ⇒ q = y0 − f (x0).x0.
Tedy rovnice tečny je
t : y = f (x0).(x − x0) + y0
Normála n je přímka v bodě A kolmá na tečnu, tedy i její směrový vektor je kolmý
na směrový vektor tečny, proto
n : y = −
1
f (x0)
.(x − x0) + y0
3. L’Hospitalovo pravidlo - výpočet limity z neurčitých výrazů 0
0
, ∞
∞
, ∞ − ∞, . . .
33
0
0
,
∞
∞
Mějme funkce f, g takové, že
limx→x0 f(x) = limx→x0 g(x) = 0
nebo
limx→x0 f(x) = limx→x0 g(x) = ±∞.
Pokud
limx→x0
f (x)
g (x)
= L,
pak i
limx→x0
f(x)
g(x)
= L
0.∞
limx→x0 f(x).g(x) =



limx→x0
f(x)
1
g(x)
=
0
0
limx→x0
g(x)
1
f(x)
=
∞
∞
∞ − ∞
limx→x0 [f(x) − g(x)] =
ϕ(x) =
1
f(x)
, ψ(x) =
1
g(x)
⇒
f(x) =
1
ϕ(x)
, g(x) =
1
ψ(x)
=
limx→x0
1
ϕ(x)
−
1
ψ(x)
=
= limx→x0
ψ(x) − ϕ(x)
ϕ(x).ψ(x)
=
0
0
34
4. Průběh funkce - úloha ze zadaného funkčního předpisu vytvořit graf funkce, praktický
výpočet lze rozdělit do několika dílčích kroků
I. Definiční obor
II. Intervaly, na nichž je funkce kladná či záporná
III. Intervaly, na nichž je funkce rostoucí či klesající
IV. Lokální extrémy (lokální minimum, lokální maximum)
V. Intervaly na nichž je funkce konvexní či konkávní
VI. Inflexní body
VII. Asymptoty
Ad I.
OK
Ad II.
f(x) > 0, f(x) < 0
Ad III.
Je-li f (x) > 0 na intervalu I, pak funkce f je na intervalu I rostoucí.
Je-li f (x) < 0 na intervalu I, pak funkce f je na intervalu I klesající.
Ad IV.
Lokální extrémy mohou nastat pouze v bodech, kde derivace f neexistuje (ale samotná
funkce f je definována) nebo v bodech, kde derivace je rovna nule (v tzv. stacionárních
bodech). Platí: Je-li n ∈ N, n > 1, f(n)
(x0) = 0,f(k)
(x0) = 0 pro k = 2, . . . , n − 1, kde x0
je stacionární bod, pak
- je-li n sudé a f(n)
(x0) > 0 ⇒ minimum v bodě x0
- je-li n sudé a f(n)
(x0) < 0 ⇒ maximum v bodě x0
- je-li n liché a f(n)
(x0) > 0 ⇒ funkce je v bodě x0 rostoucí
- je-li n liché a f(n)
(x0) < 0 ⇒ funkce je v bodě x0 klesající
35
Ad V.
Funkce f je na intervalu I konvexní, jestliže ∀x1, x2, x3 ∈ I
x1 < x2 < x3 ⇒
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
<
f(x3) − f(x2)
x3 − x2
Funkce f je na intervalu I konkávní, jestliže ∀x1, x2, x3 ∈ I
x1 < x2 < x3 ⇒
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
>
f(x3) − f(x2)
x3 − x2
Je-li f (x) > 0 na intervalu I, pak funkce f je na intervalu I konvexní.
Je-li f (x) < 0 na intervalu I, pak funkce f je na intervalu I konkávní.
Ad VI.
Inflexní bod funkce f je takový bod, ve kterém se funkce mění z konvexní na konkávní
nebo naopak.
Inflexe může nastat pouze v bodech, kde druhá derivace f neexistuje (ale první derivace
f existuje) nebo v bodech, kde druhá derivace je rovna nule. Platí:
Je-li n ∈ N, n > 2, f(n)
(x0) = 0,f(k)
(x0) = 0 pro k = 3, . . . , n − 1, pak
- je-li n sudé a f(n)
(x0) > 0 ⇒ konvexnost v bodě x0
- je-li n sudé a f(n)
(x0) < 0 ⇒ konkávnost v bodě x0
- je-li n liché ⇒ inflexe v bodě x0
Ad VII.
Přímka x = x0 je asymptota bez směrnice, jestliže některá z limit limx→x+
0
f(x),
limx→x−
0
f(x) je nevlastní. Nejčastěji taková asymptota nastává v izolovaných bodech vyloučených
z definičního oboru.
Přímka y = ax + b je asymptota se směrnicí, jestliže
limx→±∞
f(x)
x
= a, limx→±∞(f(x) − ax) = b
Pozn.
V některých typech příkladů namísto lokálních extrémů zkoumáme extrémy absolutní,
tj. extrémy na nějaké množině (nejčastěji na uzavřeném intervalu).
Platí (Weierstrassova věta): Funkce f(x) spojitá na uzavřeném intervalu I má na tomto
intervalu absolutní extrémy, které se mohou vyskytnout pouze ve stacionárních bodech
funkce f (pokud stacionární body patří do intervalu I) nebo v krajních bodech intervalu I.
36
Otázky a úkoly:
1. Zderivujte funkci y = sin2
(3x + 1)
2. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce f: y = x2
+ 1 v bodě [x0, y0] = [1, ?]
3. Zderivujte y = sin(2x + 4)
4. Najděte stacionární body funkce y = x3
− 9
2
x2
+ 6x
Klíč k řešení otázek:
1.
y = 2sin1
(3x + 1).[sin(3x + 1)] = 2sin(3x + 1).cos(3x + 1).[3x + 1] =
2sin(3x + 1).cos(3x + 1).3 = 6sin(3x + 1).cos(3x + 1)
2. Nejprve dopočítáme bod y0 jako funkční hodnotu v bodě x0
y0 = f(x0) = x2
0 + 1 = 12
+ 1 = 2
Tečna bude mít rovnici t: y = kx + q, k zjistíme jako f (x0)
f (x) = 2x ⇒ k = f (1) = 2.1 = 2
q zjistíme dosazením bodu [x0, y0] do rovnice tečny
2 = 2.1 + q ⇒ q = 0
Tedy tečna má rovnici t: y = 2x
3. 2cos(2x + 4)
4. x = 1, x = 2
37
Kapitola 7: INTEGRÁLY
Klíčové pojmy:
primitivní funkce, neurčitý integrál, určitý integrál, per partes, substituce
Cíle kapitoly:
• pochopení pojmu integrál,
• znalost početních postupů pro výpočet integrálů,
• výpočet obsahu plochy pod křivkou.
Čas potřebný ke studiu kapitoly: 25 hodin
Výklad:
Definice:
Funkce F: I → R se nazývá primitivní funkce k funkci f na intervalu I, jestliže
∀x ∈ I platí F (x) = f(x). Je-li F primitivní funkce k funkci F a c ∈ R, pak i F + c
je primitivní k funkci f. Množinu všech primitivních funkcí {F + c | c ∈ R} k funkci f
označujeme symbolem f(x)dx a nazýváme ji neurčitý integrál. Zapisujeme
f(x)dx = F(x) + c,
konstantu c nazýváme integrační konstanta.
38
Příklad
Funkce F(x) = x3
3
je primitivní k funkci f(x) = x2
, neboť F (x) = 3x2
3
= x2
= f(x).
Stejně tak F(x) = x3
3
+ 1 je primitivní k funkci f(x) = x2
, neboť F (x) = 3x2
3
+ 0 = x2
=
f(x). Tedy
x2
dx =
x3
3
+ c
Integrály elementárních funkcí
1) xn
dx =
xn+1
n + 1
+ c (platí pro n = −1!!!)
2)
1
x
dx = ln|x| + c
3) sinx dx = −cosx + c
4) cosx dx = sinx + c
5)
1
cos2x
dx = tgx + c
6)
1
sin2
x
dx = −cotgx + c
7) ex
dx = ex
+ c
8) ax
dx =
ax
lna
+ c
9)
1
√
1 − x2
dx = arcsinx + c
10)
−1
√
1 − x2
dx = arccosx + c
11)
1
1 + x2
dx = arctgx + c
12)
−1
1 + x2
dx = arccotgx + c
39
Pravidlo pro počítání integrálů:
Mějme funkce f, g a konstanty a, b ∈ R, pak
a.f(x) ± b.g(x) dx = a. f(x) dx ± b. g(x) dx
Integrační metody
Per partes
u.v dx = u.v − u .v dx
Substituce
f(ϕ(x)).ϕ (x) dx =
ϕ(x) = t ⇒ ϕ (x) dx = t dt ⇒ dx =
dt
ϕ (x)
= f(t) dt
Pozn. Typické použití substituce:
f (x)
f(x)
dx =
f(x) = t ⇒ f (x) dx = dt ⇒ dx =
dt
f (x)
=
f (x)
t
dt
f (x)
= ln|t| = ln|f(x)| + c
Určitý integrál
b
a
f(x) dx
určuje obsah plochy P mezi kladnou funkcí f a osou x na intervalu a, b . Číslo a nazýváme
dolní integrační mez, číslo b horní integrační mez.
40
Newton-Leibnitzova formule (způsob výpočtu určitého integrálu):
Je-li F primitivní funkce k funkci f na intervalu a, b , pak
b
a
f(x) dx = F(b) − F(a) = [F(x)]b
a
Metoda per patres pro určitý integrál
b
a
u.v dx = [u.v]b
a −
b
a
u .v dx
Substituce pro určitý integrál
β
α
f(ϕ(x)).ϕ (x) dx =
=
b
a
f(t) dt,
kde a = ϕ(α), b = ϕ(β).
Určitý integrál
b
a
f(x) dx
je geometricky definován pro kladnou funkci f a pro a < b. Lze jej však příslušnými integračními
metodami počítat bez těchto omezení, tedy i pro ’nekladnou’ funkci f, i pro a ≥ b.
Platí
a
a
f(x) dx = [F(x)]a
a = F(a) − F(a) = 0
a
b
f(x) dx = [F(x)]a
b = F(a) − F(b) =
−(F(b) − F(a)) = −
b
a
f(x) dx
Dále platí
c
a
f(x) dx =
b
a
f(x) dx +
c
b
f(x) dx
41
Aplikace integrálního počtu
Obsah plochy
- mezi kladnou funkcí f a osou x
P =
b
a
f(x) dx
- mezi dvěma funkcemi f a g
P =
b
a
f(x) − g(x) dx
- mezi osou x a zápornou funkcí f
P = −
b
a
f(x) dx
Otázky a úkoly:
1.
lnx
x
dx
2. Zjistěte obsah plochy mezi osou x, osou y a přímkou y = 1 − 2x
3.
5x4
− 2x3
dx
4.
1
2x + 3
dx
42
Klíč k řešení otázek:
1.
lnx = t ⇒
1
x
dx = dt ⇒ dx = xdt =
t
x
.x dt = t dt =
t2
2
=
ln2
x
2
+ c
2.
P =
1
2
0
1 − 2x dx = x − x2
1
2
0
=
1
2
−
1
4
=
1
4
3.
x5
−
x4
2
+ c
4.
1
2
ln|2x + 3| + c
43
Povinná literatura
MOUČKA, J., RÁDL, P. Matematika pro studenty ekonomie. 2., uprav.
a dopl. vyd. Praha: Grada Publishing, 2015. Expert (Grada). ISBN
978-80-247-5406-2.
Doporučená literatura
CHARVÁT, J. Matematika 1 - Sbírka příkladů. Praha: ČVUT, 2005. ISBN
80-01-03323-6.
KAŇKA, M., J. COUFAL. a J. KLŮFA. Učebnice matematiky pro ekonomy.
Praha: Ekopress, 2007. ISBN 978-80-86929-24-8.
KLŮFA, J. a J. COUFAL. Matematika 1. Praha: Ekopress, 2003. ISBN
80-86119-76-9.
44