Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích
Katedra informatiky a přírodních věd
Studijní materiály
Základy popisné statistiky – sbírka
příkladů
Ing. Martin Telecký, Ph.D.
2021
1
Učební materiály poskytují základní vymezené praktické příklady, včetně řešení v rámci
problematiky popisné statistiky. Učební materiály slouží pro studenty technických
a ekonomických oborů.
Za odbornou a jazykovou stránku odpovídá autor práce.
Zpracováno na základě interní grantové soutěže: IGS 8210 - Podpora online vzdělávání
v základních kurzech – fyzika, informatika, matematika a statistika.
2
Kapitola 1: Problematika třídění dat v rámci absolutních a relativních
četností
Kapitola se zabývá funkcí:
• třídění primárních či sekundárních dat do tzv. absolutních a relativních četností,
• vymezení správného počtu disjunktních intervalů,
• vymezení vhodné šířky/délky jednoho disjunktního intervalu,
• tvorby grafického vyjádření absolutních a relativních četností prostřednictvím
histogramu a polygonu.
Příklad 1
U 6 studentů na Vysoké škole technické a ekonomické, oboru Technologie dopravy a přepravy,
jsme zjistili jejich počet chyb za hodinu během zkouškového testu. Statistický soubor obsahuje
údaje o počtu chyb v testu za hodinu. Zjistěte počet a délku disjunktních intervalů. Zjistěte
absolutní a relativní četnosti, kumulované absolutní a relativní četnosti. Dále vytvořte
histogram a polygon u absolutních četností. Graficky znázorněte relativní četnosti tohoto
příkladu.
Student počet chyb v testu za hodinu
1 25
2 29
3 10
4 27
5 14
6 8
Zdroj: autor
Výsledek
• Sturgesovo pravidlo = 1 + 3,3 * log(n) = 1 + 3,3 * log(6) = cca 4 disjunktní intervaly
• Šíře/délka intervalu = cca po 6
3
Výsledná tabulka absolutních a relativních četností:
intervaly absolutní četnosti relativní četnosti
0- 6 0 0%
7- 13 2 33%
14- 20 1 17%
20+ 3 50%
Celkem 6 100%
Výsledná tabulka kumulovaných absolutních a relativních četností:
intervaly kumulované absolutní četnosti kumulované relativní četnosti
0- 6 0 0%
7- 13 2 33%
14- 20 3 50%
20+ 6 100%
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0-6 7-13 14-20 20+
Histogram - absolutní četnosti
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0-6 7-13 14-20 20+
Polygon
0%
33%
17%
50%
Grafické znázornění relativních četností
0-6 7-13 14-20 20+
5
Kapitola 2: Základní charakteristiky úrovně a variability
Kapitola vymezuje základní charakteristiky úrovně či polohy a dále variability. Cílem kapitoly
je efektivně aplikovat vhodný statistický ukazatel jako je například:
• prostý aritmetický průměr,
• medián,
• modus,
• vážený aritmetický průměr,
• geometrický průměr,
• harmonický průměr,
• populační rozptyl,
• výběrový rozptyl,
• populační směrodatná odchylka,
• výběrová směrodatná odchylka,
• variační koeficient.
Příklad 1
Čtyři společnosti vyrábějí identický výrobek. První společnosti trvá vyrobení výrobku 5 minut,
druhé společnosti 4 minuty, třetí společnosti 6 minut a čtvrté společnosti 4 minuty.
Stanovte průměrnou dobu zhotovení jednoho výrobku jednou společností? Kolik výrobků
vyrobí společnosti celkově za jednu hodinu?
Výsledek
• 4,61538 min
Příklad 2
K dispozici máme hodnoty 2, 3, 5, 8, 6. Stanovte prostý aritmetický průměr, geometrický
průměr a harmonický průměr.
Výsledek
• Prostý aritmetický průměr = 4,8
• Geometrický průměr = 4,2823
6
• Harmonický průměr = 3,7736
Příklad 3
Byla stanovena průměrná mzda 26355 Kč. Určete průměrnou mzdu, pokud
a) každý pracovník dostane přidáno 600 Kč,
b) každý pracovník dostane 2násobek platu,
c) každý pracovník dostane přidáno 15 % ze stávajícího platu.
Výsledek
a) 26355 + 600 = 26955 Kč
b) 26355 * 2 = 52710 Kč
c) 26355 * 1,15 = 30308,25 Kč
Příklad 4
Stanovte medián z následujících dat: 18, 21, 22, 17, 15, 23, 12, 14.
Výsledek
• 17,5
Příklad 5
Stanovte modus z následujících dat: 18, 21, 22, 17, 15, 23, 12, 14.
Výsledek
• nelze stanovit
Příklad 6
Byla stanovena průměrná mzda 26355 Kč a rozptyl mezd 810000. Určete směrodatnou
odchylku mezd, pokud
a) každý pracovník dostane přidáno 600 Kč,
b) každý pracovník dostane 2násobek platu,
c) každý pracovník dostane přidáno 15 % ze stávajícího platu.
7
Výsledek
a) směrodatná odchylka se nezmění
b) 1800
c) 1035
Příklad 7
K dispozici máme dva projekty s různými variantami příjmů.
U projektu A:
optimistický odhad 1.000.000 Kč s pravděpodobností 0,6
pesimistický odhad 700.000 Kč s pravděpodobností 0,3
neutrální odhad 850.000 Kč s pravděpodobností 0,1
U projektu B očekáváme:
optimistický odhad 1.200.000 Kč s pravděpodobností 0,4
pesimistický odhad 800.000 Kč s pravděpodobností 0,5
neutrální odhad 900.000 Kč s pravděpodobností 0,1
Jaký projekt je pro Vás výhodnější z hlediska očekávaných příjmů? Jaký projekt je pro Vás
výhodnější z hlediska zahrnutí faktoru rizika? Stanovte variační koeficient a rozhodněte,
který projekt vyberete.
Výsledek
Nezapomeňte, že součet pravděpodobností u jednotlivých projektů musí dát součet 1.
Pravděpodobnosti se stanoví na základě subjektivního či objektivního principu stanovení
pravděpodobnosti, například metodou kvantilů.
Projekt A:
• očekávaný příjem: 895000 Kč
• očekávané riziko: 135000
• variační koeficient:0,150838 (15,0838 %)
Projekt B:
• očekávaný příjem: 970000Kč
• očekávané riziko: 190000
• variační koeficient: 0,19588 (19,588 %)
8
Projekt B je výhodnější z hlediska očekávaného příjmu. Projekt A je výhodnější z hlediska
zohlednění faktoru rizika a zároveň výhodnější z hlediska variačního koeficientu.
Popisná statistika dokáže zohlednit v určitých mezích hodnocení efektivnosti investic.
Avšak ve spojení s finančním řízením projektů a statistiky dokážeme získat velmi cenné
informace a efektivně tak rozhodnout o budoucím vývoji investice v krátkodobém,
střednědobém a dlouhodobém horizontu.
V rámci finančního řízení je vhodné aplikovat:
• čistou současnou hodnotu,
• metodu doby návratnosti,
• ekonomickou přidanou hodnotu (EVA),
• tržní přidanou hodnotu,
• metodu průměrných nákladů celkového kapitálu.
V rámci aplikované matematiky jsou vhodné metody analýzy obalu dat (metoda DEA). Tedy:
• model CCR,
• model BCC – v rámci lineárního programování.
9
Kapitola 3: Základy klasické a statistické pravděpodobnosti
Klasická a statistická pravděpodobnost jsou základními stavebními prvky pro pochopení
detailnější statistické analýzy v podobě dalších pravděpodobnostních rozdělení, jejich
parametrů a vypovídací schopnosti. Příklady znázorňují aplikaci:
• klasické pravděpodobnosti,
• statistické pravděpodobnosti,
• úplné pravděpodobnosti,
• podmíněné pravděpodobnosti,
• průniku a sjednocení dvou jevů,
• Bayesovy pravděpodobnosti – apriorní a aposteriorní pravděpodobnost.
Příklad 1
Jaká je pravděpodobnost, že na hrací kostce padne číslo 6?
Výsledek
• 1/6
Příklad 2
Jaká je pravděpodobnost, že na dvou hracích kostkách padne číslo 6?
Výsledek
• 1/36
Příklad 3
Jaká je pravděpodobnost, že na dvou hracích kostkách padne stejné číslo?
Výsledek
• 6/36 = 1/6
Příklad 4
Jaká je pravděpodobnost, že na dvou hracích kostkách padne součet 7?
10
Výsledek
• 6/36 = 1/6
Příklad 5
Jaká je pravděpodobnost, že na dvou hracích kostkách padne součet 14?
Výsledek
• Na dvou hracích kostkách lze maximálně dosáhnout součtu 12
Příklad 6
Ve váčku je celkově 50 kuliček různých barev. Bílých kuliček je 15, modrých je 10, černých je
20 a 5 žlutých kuliček. Náhodně vybereme tři kuličky (bez vracení). Jaká je pravděpodobnost,
že obdržíme kuličky v následujícím barevném pořadí:
a) P (bílá, bílá, žlutá),
b) P (černá, bílá, žlutá)?
Výsledek
a) 0,00898571429 (0,898571429 %)
b) 0,01275510204 (1,275510204 %)
Příklad 7
V botníku je 13 párů bot. Polovina párů má černou barvu a druhá polovina párů má bílou barvu.
Náhodně vytáhneme dvě boty. Jaká je pravděpodobnost, že vybereme boty stejné barvy?
Výsledek
• 0,24 (24 %)
Příklad 8
V garáži v krabici máme 150 šroubů. Víme při kontrole, že mezi 150 šrouby je 10 šroubů
špatných. Náhodně vybereme 20 šroubů. Jaká je pravděpodobnost, že výběr nebude obsahovat
žádný špatný šroub?
11
Výsledek
• 0,22778 (22,778 %)
Příklad 9
V rámci logistiky dodávky zboží máme k dispozici dva dodavatele. První dodavatel dodává
30 % zboží a z toho je 60 % první jakosti. Druhý dodavatel dodává 70 % zboží a z toho je 75 %
první jakosti. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně nakoupený výrobek je druhé jakosti
od druhého dodavatele?
Výsledek
• 0,593220339 (59,3220339 %)
12
Kapitola 4: Pravděpodobnostní rozdělení diskrétní náhodné veličiny
Kapitola se zabývá problematikou pravděpodobnostního rozdělení diskrétní náhodné veličiny.
Věnována je pozornost:
• binomickému rozdělení,
• Poissonovo rozdělení,
• hypergeometrickému rozdělení, včetně jejich základních parametrů,
• grafickému znázornění pravděpodobnostní a distribuční funkce dané diskrétní náhodné
veličiny,
• Zákonu velkých čísel, včetně výběrového prostoru pravděpodobnosti,
• základním vlastnostem pravděpodobnostní a distribuční funkce diskrétní náhodné
veličiny.
Příklad 1
Jaká je pravděpodobnost, že při 5 hodech hrací kostkou padne:
a) žádná šestka,
b) jedenkrát šestka,
c) dvakrát šestka,
d) třikrát šestka,
e) čtyřikrát šestka,
f) pětkrát šestka,
g) maximálně třikrát šestka,
h) maximálně čtyřikrát šestka?
Graficky znázorněte pravděpodobnostní a distribuční funkci této náhodné veličiny.
Výsledek
a) 0,401878
b) 0,401878
c) 0,160751
d) 0,03215
e) 0,003215
f) 0,000129
g) 0,996656379
13
h) 0,999871399
Následující tabulka představuje výběrový prostor náhodné veličiny pro potřeby grafického
znázornění pravděpodobnostní a distribuční funkce.
Pravděpodobnostní funkce:
Distribuční funkce:
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0 1 2 3 4 5 6
Pravděpodobnostní funkce
0,401877572
0,803755144
0,964506173 0,996656379 0,999871399 1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 1 2 3 4 5 6
Distribuční funkce
xi 0 1 2 3 4 5
P(x) 0,401878 0,401878 0,160751 0,03215 0,003215 0,000129
14
Příklad 2
V domácnosti dochází v průběhu času k výpadkům elektřiny. Z minulosti je známo, že v dané
domácnosti dochází v průměru ke 3 výpadkům elektřiny za 8 měsíců. Určete, jaká je
pravděpodobnost, že za 2 roky dojde v domácnosti maximálně k 6 výpadkům elektřiny.
Výsledek
• 0,20678084 (20,678084 %)
Příklad 3
Obchodník odebírá od dodavatele židle v pravidelných dodávkách po 150 kusech. Po převzetí
každé dodávky vybere obchodník 20 židlí ke kontrole kvality. Obchodník předpokládá,
že v jedné dodávce židlí se nachází 7 vadných židlí. Určete, jaká je pravděpodobnost,
že v dodávce budou maximálně 3 vadné výrobky?
Výsledek
• 0,044028 (4,4028 %)
15
Kapitola 5: Pravděpodobnostní rozdělení spojité náhodné veličiny
Věnována je pozornost spojité náhodné veličině, která je zakládána na tzv. hustotě
pravděpodobnosti vybraných pravděpodobnostních rozdělení, včetně jejich základních
parametrů. Právě tato pravděpodobnostní rozdělení tvoří základ většiny statistických testů.
Příklady se zaměřují na problematiku:
• normálního rozdělení,
• normovaného normálního rozdělení,
• Studentova rozdělení,
• stanovení distribuční funkce normálního a normovaného normálního rozdělení,
• určení příslušných kvantilů normálního rozdělení, normovaného normálního rozdělení
a Studentova rozdělení.
Výše uvedené faktory slouží jako důležité části odhadu populačního průměru v rámci
problematiky teorie odhadu neboli intervalů spolehlivosti.
Pro požadované výpočty musíme mít k dispozici statistické tabulky (viz příloha).
Příklad 1
Zjistěte pravděpodobnost náhodné veličiny U, která má normované normální rozdělení.
P (U < 2)
P (U < -2)
P (U = 1)
F (1)
F (-1)
P (1< U < 2)
P (-1 < U < 2)
16
Výsledek
• P (U < 2) = F (2) = 0,97725
• P (U < -2) = 1 – F (2) = 1 - 0,97725 = 0,02275
• P (U = 1) = 0
• F (1) = 0,84134
• F (-1) = 1 – F (1) = 1 – 0,84134 = 0,15866
• P (1< U < 2) = F (2) – F (1) = 0,97725 – 0,84134 = 0,13591
• P (-1 < U < 2) = F (2) – F (-1) = F (2) – (1 – F (1)) = 0,97725 – (1 – 0,84134) =
0,81859
Příklad 2
Zjistěte kvantil příslušného normovaného normálního rozdělení.
u0,95
u0,75
u0,15
u0,35
Výsledek
• u0,95 = 1,65
• u0,75 = 0,68
• u0,15 = -1,036
• u0,35 = -0,385
17
Příklad 3
Zjistěte pravděpodobnost náhodné veličiny X, která má normální rozdělení se střední hodnotou
9 a rozptylem 25?
P (X < 10)
P (X < -1)
P (10 < X < 19)
P (-1 < X < -0,5)
Výsledek
• P (X < 10) = 𝑃 "𝑈 <	
!"#$
%
& = 𝑃	(𝑈 < 0,2) = 𝟎, 𝟓𝟕𝟗𝟐𝟔
• P (X < -1) = 𝑃 "𝑈 <	
#!#$
%
& = 𝑃	(𝑈 < −2) = 1 − 0,97725 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟐𝟕𝟓	
• P (10 < X < 19) = 𝑃 "
!"#$
%
< 𝑈 <	
!$#$
%
& = 𝑃	(0,2 < 𝑈 < 2) = 𝐹	(2) − 𝐹	(0,2) =
0,97725 − 0,57926 = 𝟎, 𝟑𝟗𝟕𝟗𝟗
• P (-1 < X < -0,5) = 𝑃 "
#!#$
%
< 𝑈 <	
#",%#$
%
& = 𝑃(−2 < 𝑈 <	−1,9) = 𝐹	(−1,9) −
𝐹	(−2) = 1 − 𝐹	(1,9) − ;1 − 𝐹	(2)< = 0,02872 − 0,02275 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟗𝟕
Příklad 4
Zjistěte kvantil příslušného normálního rozdělení.
x0,95
x0,75
x0,15
x0,35
18
Výsledek
• x0,95 = 17,25
• x0,75 = 12,4
• x0,15 = 3,82
• x0,35 = 7,075
Příklad 5
Zjistěte kvantil příslušného studentova rozdělení.
t0,9 [10]
t0,95 [10]
t0,975 [10]
t0,95 [14]
t0,975 [21]
Výsledek
• t0,9 [10] = 1,372
• t0,95 [10] = 1,812
• t0,975 [10] = 2,228
• t0,95 [14] = 1,761
• t0,975 [21] = 2,080
19
Kapitola 6: Základy teorie odhadu (intervaly spolehlivosti)
Populační průměr, podíl či rozptyl lze stanovit na základě předem zvoleného výběrového
souboru. Platí, že vlastnosti a charakteristiky jak výběrového, tak i populačního průměru by
měly být přibližně identické. Teorie odhadu slouží jako další fáze v rámci analýzy a aplikací
statistických testů – především jednovýběrových a dvouvýběrových parametrických
a neparametrických testů. Tato kapitola shrnuje veškeré statistické ukazatele popisné statistiky
a slouží jako podklad pro budoucí detailnější analýzy.
Příklad 1
K dispozici máte výběrový soubor 10 automobilů v rámci jejich spotřeby pohonných hmot
v litrech na 100 kilometrů: 5,5; 5,6; 6,3; 7,2; 5,7; 4,9; 5,1; 6,9; 5,8; 7,1.Uvažujte hladinu
významnosti 5 %. Směrodatnou odchylku populačního souboru neznáme. Stanovte odhad
populačního průměru.
Výsledek
• průměr výběrového souboru = 6,01
• směrodatná odchylka výběrového souboru = 0,82388
• 5,420672699 < µ < 6,599327301
Příklad 2
K dispozici máte výběrový soubor obsahující 35 studentů. Statistický znak vyjadřuje počet
bodů, který studenti obdrželi z testu. Průměr výběrového souboru je 40. Rozptyl populačního
souboru je 324. Uvažujte hladinu významnosti 1 %. Stanovte pravostranný odhad populačního
průměru.
Výsledek
• µ < 47,07698367
20
Příklad 3
K dispozici máte výběrový soubor obsahující 20 studentů. Statistický znak vyjadřuje počet
bodů, který studenti obdrželi z testu. Body jsou uvedeny v tabulce. Rozptyl populačního
souboru neznáme. Uvažujete hladinu významnosti 10 %. Stanovte odhad populačního průměru
podle následující tabulky.
48 63 22 39 70 21 53 12 34 15
22 70 30 33 19 32 55 12 34 41
Dále:
• určete, jakou hodnotu nepřekročí průměr populačního souboru s pravděpodobností
99 %,
• stanovte levostranný odhad populačního průměru s hladinou významnosti 1 %.
Výsledek
• průměr výběrového souboru = 36,25
• směrodatná odchylka výběrového souboru = 18,40445
• 29,13454234 < µ < 43,36545766
• 24,47595464µ < 48,02404533
• 25,80110063 < µ
21
Přílohy
22
Číselné charakteristiky polohy (úrovně) a variability
Aritmetický průměr
V aplikaci Excel funkce: PRŮMĚR.
Modus
Hodnota, která se ve statistickém souboru vyskytuje nejčastěji. (Hodnota s největší absolutní
četností.)
Kvantily
Medián
zn. x0,5 je hodnota, jež dělí řadu podle velikosti seřazených výsledků na dvě stejně početné
poloviny. V aplikaci excel funkce MEDIAN(množina dat).
Kvartily
První kvartil zn. x0,25 je hodnota, jež dělí řadu podle velikosti seřazených výsledků na dvě
části tak, že čtvrtina dat se nachází před a tři čtvrtiny za touto hodnotou. V aplikaci excel
funkce QUARTIL(množina dat; 1) 3.2.2.
Druhý kvartil = medián
Třetí kvartil zn. x0,75 je hodnota, jež dělí řadu podle velikosti seřazených výsledků na dvě
části tak, že tři čtvrtiny dat se nachází před a jedna čtvrtina za touto hodnotou. V aplikaci
excel funkce QUARTIL(množina dat; 3).
23
Percentily
Percentil dělí statistický soubor na setiny. V aplikaci excel příkaz PERCENTIL(množina dat;
číslo percentilu).
Variační rozpětí
Je to rozdíl mezi největší a nejmenší hodnotou kvantitativního znaku neboli R = xmax − xmin.
Kvartilové rozpětí
Je rozdíl třetího a prvního kvartilu. Rq = x0,75 - x0,25 .
Rozptyl
(Též střední kvadratická odchylka, střední kvadratická fluktuace, variance nebo také
disperze). Rozptyl je definován jako střední hodnota kvadrátů odchylek od střední hodnoty.
Zn D(X), var(x), σ2
. V aplikaci excel funkce VAR.VÝBĚR(množina dat).
Směrodatná odchylka
Zn. σ, je odchylka od střední hodnoty, která má rozměr stejný jako daná veličina.
V aplikaci excel funkce SMODCH.VÝBĚR(množina dat).
Variační koeficient
Je definován jako podíl směrodatné odchylky a aritmetického průměru. Je-li absolutní
hodnota variačního koeficientu menší než 0,5, hovoříme o homogenních datech,
pokud je roven 0,5 nebo větší, hovoříme o nehomogenních datech.
24
Vybrané statistické funkce v Excelu
Základní statistické charakteristiky
průměr průměr
výběrová směrodatná odchylka smodch.výběr
výběrový rozptyl var.výběr
medián median
kvartil quartil
maximum max
minimum min
populační rozptyl var
populační směrodatná odchylka smodch
modus mode
max large
min small
četnosti četnosti
Základní pravděpodobnostní modely
binomické rozdělení binom.dist
Poissonovo rozdělení poisson.dist
normální rozdělení norm.dist
hypergeometrické rozdělení hypgeom.dist
Kvantilové funkce
kvantil standardního normálního rozdělení norm.inv
určení kvantilu studentova rozdělení t.inv
určení kvantilu chí kvadrát rozdělení chisq.inv
25
26
Vybraná pravděpodobnostní
rozdělení
Statistické tabulky
27
28
29
Kvantily normovaného normálního rozdělení
30
Kvantily Studentova rozdělení
31
Základní vzorce popisné statistiky a pravděpodobnosti
Sturgesovo pravidlo
1 + 3,3 * log (n)
populační aritmetický průměr
𝑚í =
1
𝑁
D 𝑥'
(
')!
výběrový aritmetický průměr	
𝑥̅ =
1
𝑛
D 𝑥'
*
')!
	
vážený průměr pro absolutní četnosti
𝑥̅ =
1
𝑛
D 𝑥' 𝑛'
+
')!
vážený průměr pro relativní četnosti
𝑥̅ = D 𝑥' 𝑝'
+
')!
obecně
32
harmonický průměr dle povahy zadaných hodnot
geometrický průměr
medián
lichý počet dat
𝑥,
*-!
.
/
sudý počet dat
𝑥,
*
.
/
2
+
𝑥,
*-.
.
/
2
rozptyl pro výběrový soubor
𝑠.
=
1
𝑛 − 1
D(𝑥̅ − 𝑥').
*
')!
33
rozptyl pro populační soubor
𝑠.
=
1
𝑁
D(𝑥̅ − 𝑥').
(
')!
směrodatná odchylka pro výběrový soubor
𝑠 = K
1
𝑛 − 1
D(𝑥̅ − 𝑥').
*
')!
směrodatná odchylka pro populační soubor
𝑠 = K
1
𝑁
D(𝑥̅ − 𝑥').
(
')!
variační koeficient
𝑣 =
𝑠
𝑥̅
klasická pravděpodobnost
P(X) = m/n
statistická pravděpodobnost
P(X) ≈ m/n
podmíněná pravděpodobnost
P(AÇB) = P(A) * P(B|A) = P(B) * P(A|B)
34
Úplná pravděpodobnost
P(A) = P(B) × P(A∣B) + P(B) × P(A∣B)
𝑃(𝐴) = 	 D 𝑃(𝐵𝑖)×	𝑃(𝐴 ∣ 𝐵𝑖)
*
')!
Bayesův vzorec
𝑃( 𝐵 ∣ 𝐴 ) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴)
= 	
𝑃(𝐵)×	𝑃(𝐴 ∣ 𝐵)
𝑃(𝐴)
𝑃( 𝐵' ∣∣ 𝐴 ) = 	
𝑃(𝐵')×	𝑃(𝐴 ∣ 𝐵')
∑ 𝑃;𝐵0<×	𝑃(𝐴 ∣ 𝐵0)*
0)!
Binomické rozdělení
P(X = k) = ;*
+
< ∗ 𝑝𝑘 ∗ (1 − 𝑝)𝑛 − 𝑘
Poissonovo rozdělení
P(X = x) =
(2∗λ)+
+!
∗ 𝑒#2∗λ
Hypergeometrické rozdělení
P(x) =
6!
" 7∗6#$!
%$" 7
6#
%7
Rovnoměrné rozdělení
F(X) =
8#9
:#9