1
Vysoká škola technická a ekonomická
v Českých Budějovicích
Aplikovaná matematika
Studijní opora pro kombinovanou formu studia
Garant: doc. RNDr. Zdeněk Dušek, Ph.D.
Ústav technicko-technologický
Katedra informatiky a přírodních věd
Autor: doc. RNDr. Zdeněk Dušek, Ph.D.
2
Obsah
1 Anotace...........................................................................................................................4
2 Příprava na přednášky ....................................................................................................9
2.1 Základní pojmy z finanční matematiky, posloupnosti a řady, součet řady.............9
2.2 Úročení. Typy úročení. Jednoduché úročení, polhůtní, základní rovnice.
Diskont.............................................................................................................................12
2.3 Složené úročení, základní rovnice. Smíšené úročení. Výpočet úrokové sazby a
úroku ...............................................................................................................................15
2.4 Spoření krátkodobé a dlouhodobé.........................................................................18
2.5 Důchody jako pravidelné platby z investice, splácení úvěru s konstantní anuitou,
úmor ...............................................................................................................................21
2.6 Směnky a směnečné obchody. Skonto. Běžné účty. Hypoteční úvěry.
Spotřebitelské úvěry. Forfaiting, faktoring a leasing.......................................................24
2.7 Dluhopisy, durace, konvexita, imunizace .............................................................27
2.8 Akcie, devizové obchody, finanční a termínové obchody, výkonosti portfolia,
dvousložkové a vícesložkové portfolio............................................................................30
2.9 Měnové kurzy........................................................................................................33
2.10 Úvod do analýzy časových řad, klouzavý průměr, diference a index růstu..........36
2.11 Modelování časových řad, složky časových řad...................................................39
2.12 Trendová složka, modely trendových složek........................................................42
2.13 Využití časových řad k prognózování...................................................................45
3 Příprava na semináře ....................................................................................................48
3.1 Základní pojmy z finanční matematiky, posloupnosti a řady ...............................48
3.2 Součet řady, speciální případy posloupností.........................................................50
3.3 Jednoduché úročení, polhůtní, základní rovnice...................................................53
3.4 Diskont..................................................................................................................56
3.5 Složené úročení, základní rovnice.........................................................................59
3
3.6 Smíšené úročení. Výpočet úrokové sazby a úroku ...............................................62
3.7 Spoření krátkodobé, využití součtu řady...............................................................64
3.8 Spoření dlouhodobé, využití součtu řady..............................................................66
3.9 Důchody jako pravidelné platby z investice .........................................................68
3.10 Splácení úvěru s konstantní anuitou, podobnosti mezi splácením úvěru
a důchodem ......................................................................................................................70
3.11 Splácení úvěru nestejnou splátkou, úmor..............................................................73
3.12 Směnky a směnečné obchody. Skonto. Běžné účty. .............................................75
3.13 Hypoteční úvěry. Spotřebitelské úvěry. Forfaiting, faktoring a leasing ...............79
3.14 Oceňování dluhopisů.............................................................................................83
3.15 Durace, konvexita .................................................................................................86
3.16 Imunizace dluhopisu .............................................................................................89
3.17 Akcie, devizové obchody, finanční a termínové obchody, výkonosti portfolia....91
3.18 Akcie, devizové obchody, finanční a termínové obchody, výkonosti portfolia,
dvousložkové a vícesložkové portfolio............................................................................94
3.19 Měnové kurzy........................................................................................................97
3.20 Úvod do analýzy časových řad, klouzavý průměr ................................................99
3.21 Diference a index růstu .......................................................................................102
3.22 Diference a index růstu .......................................................................................105
3.23 Složky časových řad............................................................................................108
3.24 Modelování časových řad ...................................................................................112
3.25 Trendová složka, modely trendových složek......................................................116
3.26 Využití časových řad k prognózování.................................................................120
4
1 Anotace
Období 1. semestr/ 1. ročník
Název
předmětu
Aplikovaná matematika
Vyučovací
jazyk
český
Garant
předmětu
doc. RNDr. Zdeněk Dušek, Ph.D.
Garanční ústav Ústav technicko-technologický
Katedra Katedra informatiky a přírodních věd
Vyučující
(přednášející)
doc. RNDr. Zdeněk Dušek, Ph.D.
Vyučující
(cvičící)
doc. RNDr. Zdeněk Dušek, Ph.D.
Mgr. Vladislav Biba, Ph.D.
Ukončení
předmětu
zkouška
Poznámka
k ukončení
docházka na semináře 70 % včetně dalších poznámek garanta předmětu
Rozsah 2/4
Počet kreditů 7
Cíle předmětu
výstupy z učení
Předmět je zaměřen na pokročilé matematické metody používané ve
finanční teorii. Cílem je seznámit studenty s posloupnostmi a řadami,
principy časové hodnoty peněz a základními principy finančních trhů.
Výstupy z učení Po úspěšném absolvování předmětu student:
4.1 využívá posloupnosti při řešení matematických problémů,
4.2 pracuje s časovými řadami, sčítá a analyzuje jejich konvergenci,
4.3 využívá různé druhy úročení s různou frekvencí,
4.4 stanoví efektivní a reálnou úrokovou sazbu,
4.5 vypočítá současnou a budoucí hodnotu anuity, sestaví umořovací
schéma dluhu,
4.6 využívá matematické postupy při hodnocení deterministických toků
cash flow,
4.7 ocení dluhopisy, akcie a pracuje s měnovými kurzy,
4.8 provádí analýzu citlivosti cen dluhopisů na změnu úrokové míry
(durace, konvexita),
4.9 analyzuje výnos a riziko portfolia.
Osnova
předmětu
Přednášky
1.Základní pojmy z finanční matematiky, posloupnosti a řady, součet řady.
(4.1)
2.Úročení. Typy úročení. Jednoduché úročení, polhůtní, základní rovnice.
Diskont. (Opakování a prohloubení znalostí.). (4.3)
5
3.Složené úročení, základní rovnice. Smíšené úročení. Výpočet úrokové
sazby a úroku. (Opakování a prohloubení znalostí.). (4.3, 4.4)
4.Spoření krátkodobé a dlouhodobé. (Opakování a prohloubení znalostí.).
(4.5, 4.7)
5.Důchody jako pravidelné platby z investice, splácení úvěru s konstantní
anuitou, úmor. (Opakování a prohloubení znalostí.). (4.5)
6. Směnky a směnečné obchody. Skonto. Běžné účty. Hypoteční úvěry.
Spotřebitelské úvěry. Forfaiting, faktoring a leasing. (4.5)
7.Dluhopisy, durace, konvexita, imunizace. (4.7, 4.8)
8.Akcie, devizové obchody, finanční a termínové obchody, výkonosti
portfolia, dvousložkové a vícesložkové portfolio. (4.7)
9.Měnové kurzy. (4.7)
10. Úvod do analýzy časových řad, klouzavý průměr, diference a index
růstu. (4.1, 4.2)
11. Modelování časových řad, složky časových řad. (4.1, 4.2)
12. Trendová složka, modely trendových složek. (4.2)
13. Využití časových řad k prognózování. (4.2)
Semináře
1. Základní pojmy z finanční matematiky, posloupnosti a řady. (4.1)
2. Součet řady, speciální případy posloupností. (4.1)
3. Jednoduché úročení, polhůtní, základní rovnice. (4.3)
4. Diskont. (Opakování a prohloubení znalostí.). (4.3)
5. Složené úročení, základní rovnice. (4.3, 4.4)
6. Smíšené úročení. Výpočet úrokové sazby a úroku. (4.3, 4.4)
7. Spoření krátkodobé, využití součtu řady. (4.1, 4.5, 4.7)
8. Spoření dlouhodobé, využití součtu řady. (4.1, 4.5, 4.7)
9. Důchody jako pravidelné platby z investice. (4.5)
10. Splácení úvěru s konstantní anuitou, podobnosti mezi splácením úvěru
a důchodem. (4.5)
11. Splácení úvěru nestejnou splátkou, úmor. (4.5)
12. Směnky a směnečné obchody. Skonto. Běžné účty. (4.5)
13. Hypoteční úvěry. Spotřebitelské úvěry. Forfaiting, faktoring a leasing.
(4.5)
14. Oceňování dluhopisů. (4.7, 4.8)
15. Durace, konvexita. (4.7, 4.8)
16. Imunizace dluhopisu. (4.7, 4.8)
17. Akcie, devizové obchody, finanční a termínové obchody, výkonosti
portfolia. (4.7)
18. Akcie, devizové obchody, finanční a termínové obchody. Výkonosti
portfolia, dvousložkové a vícesložkové portfolio. (4.7)
19. Měnové kurzy. (4.7)
20. Úvod do analýzy časových řad, klouzavý průměr. (4.1, 4.2)
21. Diference a index růstu. (4.1, 4.2)
22. Diference a index růstu. (4.1, 4.2)
23. Složky časových řad. (4.1, 4.2)
24. Modelování časových řad. (4.1, 4.2)
25. Trendová složka, modely trendových složek. (4.2)
26. Využití časových řad k prognózování. (4.2)
6
Organizační
formy výuky
přednáška, seminář
Komplexní
výukové
metody
frontální výuka
skupinová výuka - kooperace
kritické myšlení
samostatná práce – individuální nebo individualizovaná činnost
Studijní zátěž
Aktivita
Počet hodin za semestr
Prezenční
forma
Kombinovaná
forma
Příprava na průběžný test 20 0
Příprava na přednášky 26 0
Příprava na seminář, cvičení, tutoriál 26 114
Příprava seminární práce 0 0
Účast na přednáškách 26 0
Účast na
semináři/cvičeních/tutoriálu/exkurzi
52 24
Příprava na závěrečný test 26 38
Účast na testech (průběžném a
závěrečném)
6 6
Celkem: 182 182
Metody
hodnocení a
jejich poměr
2 průběžné testy, 2x 15%
závěrečný test 70 %
Podmínky pro
úspěšné
absolvování
předmětu včetně
jejich hodnocení
Účast na seminářích.
Zisk alespoň 70 % bodů z průběžného a závěrečného testu.
Informace
učitele
Účast na výuce ve všech formách řeší samostatná vnitřní norma VŠTE
(Evidence docházky studentů na VŠTE). Pro studenty prezenční formy
studia je na seminářích a cvičeních povinná 70% účast.
Literatura
povinná
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola
ekonomie a managementu. ISBN 978-80-86730-17-2.
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika
v praxi. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-4636-4.
Literatura
doporučená
ARLT, J. a M. ARTLOVÁ, 2009. Ekonomické časové řady. Praha:
Professional Publishing. ISBN 978-80-86946-85-6.
7
ARLT, J., M. ARLTOVÁ a E. RULÍKOVÁ, 2004. Analýza ekonomických
časových řad s příklady, 2. vyd. Praha: Vysoká škola ekonomická,
Oeconomica. ISBN 80-245-0777-3.
CIPRA, T., 2008. Finanční ekonometrie. Praha: Ekopress. ISBN 978-80-
86929-43-9.
DOŠLÁ, Z. a P. LIŠKA, 2014. Matematika pro nematematické obory.
Praha: Grada. ISBN 978-80-247-5322-5.
EPPING, R. CH., 2004. Průvodce globální ekonomikou. Praha: Portál.
ISBN 978-80-7178-825-6.
JÍLEK, J., 2013. Finance v globální ekonomice II – Měnová a kurzová
politika. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-8822-7.
RADOVÁ, J., P. DVOŘÁK a J. MÁLEK, 2013. Finanční matematika pro
každého. 8., rozš. vyd. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-4831-3.
RADOVÁ, J., J. MÁLEK, P. JABLONSKÝ a M. RADA, 2011. Finanční
matematika pro každého – příklady + CD-ROM. Praha: Grada. ISBN 978-
80-247-3584-9.
ŠOBA O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2017. Finanční matematika
v praxi. 2. vyd. Praha: Grada. ISBN 978-80-271-0250-1.
Webové stránky http://www.finmat.cz/
http://oldwww.upol.cz/fileadmin/user_upload/knihovna/Skripta_FF/finan.
pdf
http://kbp.vse.cz/wp-
content/uploads/2012/12/St%C3%A1dn%C3%ADk_Teorie_a_Praxe_dlu
hopis%C5%AF.pdf
http://mdg.vsb.cz/wiki/public/Excel7.pdf
http://www.karlin.mff.cuni.cz/~zichova/FinMat/Sbirka%20uloh%20z%20
financni%20matematiky%20-%20Klara%20Jelenova.pdf
Publikační
činnost
Garant předmětu a přednášející (doc. RNDr. Zdeněk Dušek, Ph.D.)
DUŠEK, Z., 2015. The existence of light-like homogeneous geodesics in
homogeneous Lorentzian manifolds. Mathematische Nachrichten. 288(8-
9), 872-876. ISSN 1522-2616.
DUŠEK, Z. a O. KOWALSKI, 2015. Transformations between SingerThorpe
bases in 4-dimensional Einstein manifolds. Hokkaido Math. J.
44(3), 441-458. ISSN 0385-4035.
DUŠEK, Z., 2015. Singer-Thorpe bases for special Einstein curvature
tensors in dimension 4. Czechoslovak Mathematical Journal. 65(4), 1101-
1115. ISSN 0011-4642.
8
DUŠEK, Z. a O. KOWALSKI, 2016. How many Ricci flat affine
connections are there with arbitrary torsion? Publ. Math. Debrecen. 88(3-
4), 511-516. ISSN 0033-3883.
Dušek, Z., 2016. Differential invariants of the metric field and a 1-form.
International Journal of Geometric Methods in Modern Physics. 13(10), 1-
20. ISSN 0219-8878.
Cvičící (Mgr. Vladislav Biba, Ph.D.)
SMETANOVÁ, D., V. BIBA a M. VARGOVÁ, 2017. Aplikovaná
matematika pro techniky. Media4u Magazine. 14(2), 48-51. ISSN 1214-
9187.
SMETANOVÁ, D., M. VARGOVÁ a V. BIBA, 2016. Funkce dvou
proměnných ve 3D náhledu. Trendy ve vzdělávání. 9(1), 229-233. ISSN
1805-8949.
BIBA, V., Š. HUSÁR a M. VARGOVÁ, 2016. Numerical methods in
teaching of mechanical engineering. In: APLIMAT 2016: 15th Conference
on Applied Mathematics. Bratislava: Slovak University of Technology in
Bratislava, 66-74. ISBN 978-80-227-4531-4.
SMETANOVÁ, D. et al., 2016. Mercator’s Projection – a Breakthrough in
Maritime Navigation. Naše More. 63(3), 182-184. ISSN 0469-6255.
BIBA, V. a M. KLEPANCOVÁ, 2015. Názor študentov na predmet
chémia - skúmanie pomocou testu nezávislosti. Trendy ve vzdělávání. 8(1),
22-26. ISSN 1805-8949.
Témata
diplomových
prací
Základní principy investování do akcií
Matematické vlastnosti časových řad
Analýza investičních strategií
9
2 Příprava na přednášky
2.1 Základní pojmy z finanční matematiky, posloupnosti a
řady, součet řady
Klíčová slova
aritmetická posloupnost, geometrická posloupnost, součet řady, konvergence nekonečné
řady
Cíle kapitoly
Cílem kapitoly je seznámit studenty s obecnými číselnými řady, speciálními typy řad ve
finanční matematice a s pojmem nekonečné řady a její konvergence.
Výstupy z učení
 4.1 využívá posloupnosti při řešení matematických problémů
Abstrakt
Posloupnosti
Posloupnost je funkce definována na množině 𝑀 ⊆ 𝑁. Posloupnost označujeme zpravidla
{𝑎 𝑛} 𝑛=1
𝑘
, nebo, u nekonečné posloupnosti {𝑎 𝑛} 𝑛=1
∞
. Člen neboli n-tý prvek posloupnosti
označujeme 𝑎 𝑛.
Aritmetická posloupnost je taková posloupnost, že každé dva po sobě následující členy se
odlišují o stejnou hodnotu d (d se nazývá diference)
𝑎 𝑛 − 𝑎 𝑛−1 = 𝑑, 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 + 𝑑
Geometrická posloupnost je taková, že podíl každých dvou po sobě následujících členů je
stejná hodnota q (q nazýváme kvocient geometrické posloupnosti)
𝑎 𝑛
𝑎 𝑛−1
= 𝑞, 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 ⋅ 𝑞
Číselné řady
Když {𝑎 𝑛} 𝑛=1
∞
je posloupnost reálných čísel, nazveme
∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1
= 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎 𝑘 + ⋯
10
nekonečnou číselnou řadou. Posloupností částečných součtů pak nazveme posloupnost
{𝑠 𝑛} 𝑛=1
∞
𝑠1 = 𝑎1, 𝑠2 = 𝑎1 + 𝑎2 , … 𝑠 𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 , …
Říkáme, že nekonečná řada konverguje, když posloupnost částečných součtů má konečnou
limitu
𝑠 = lim
𝑛→∞
𝑠 𝑛
Součet n členů aritmetické posloupnosti s 1. členem 𝑎1 a diferencí 𝑑 je
𝑠 𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 = 𝑎1 + (𝑎1 + 𝑑) + (𝑎1 + 2 ⋅ 𝑑) + ⋯ (𝑎1 + (𝑛 − 1) ⋅ 𝑑)
= 𝑛 ⋅ 𝑎1 +
𝑛 ⋅ (𝑛 − 1)
2
⋅ 𝑑
Součet n členů geometrické posloupnosti s 1. členem 𝑎1 a kvocientem 𝑞 je
𝑠 𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 = 𝑎1 + 𝑎1 ⋅ 𝑞 + 𝑎1 ⋅ 𝑞2
+ ⋯ + 𝑎1 ⋅ 𝑞 𝑛−1
= 𝑎1 ⋅
𝑞 𝑛
− 1
𝑞 − 1
Nekonečná geometrická řada konverguje (má konečný součet) když 𝑞 < 1, její součet je
pak
𝑠 𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 + ⋯ = 𝑎1 ⋅
1
1 − 𝑞
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2.
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4.
Doporučená literatura
DOŠLÁ, Z. a P. LIŠKA, 2014. Matematika pro nematematické obory. Praha: Grada. ISBN
978-80-247-5322-5. (s. 143-154)
Kontrolní otázky
1. Jakými způsoby může být zadána posloupnost? (popište alespoň 3)
2. Co je řada? Co je posloupnost částečných součtů?
3. Popište příklad z finančnictví, kde se můžeme setkat s posloupnostmi.
4. Popište příklad z finančnictví, kde se můžeme setkat s konečnou řadou.
11
5. Může nekonečná posloupnost mít konečný součet?
6. Co je to konvergence řady?
7. Jaké znáte kritéria konvergence (tj. podmínky, kdy řada konverguje)? (uveďte
alespoň 2)
8. Jaký je součet geometrické posloupnosti?
9. Za jakých podmínek je součet geometrické posloupnosti konečný, i když posloupnost
sama má nekonečně mnoho členů?
10. Může nekonečná aritmetická posloupnost mít konečný součet? Uveďte příklad.
Odkaz na praktickou část
3.1 Základní pojmy z finanční matematiky, posloupnosti a řady
3.2 Součet řady, speciální případy posloupností
12
2.2 Úročení. Typy úročení. Jednoduché úročení, polhůtní,
základní rovnice. Diskont
Klíčová slova
jednoduché úročení, úroková sazba, diskont, srážková daň
Cíle kapitoly
Cílem kapitoly je připomenout studentům postupy u jednoduchého úročení, seznámit je
s rozdíly mezi úročením a bankovním diskontem a s postupem započtení srážkové daně do
finančních vzorců.
Výstupy z učení
 4.3 využívá různé druhy úročení s různou frekvencí
Abstrakt
Jednoduché úročení
Jednoduché úročení se používá v případech, že doba uložení kapitálu je kratší, než je délka
jednoho úrokového období. Připsaný úrok bude činit
u = K0 ⋅ i ⋅ τ
K0 je počáteční hodnota kapitálu
τ je doba uložení kapitálu, vyjádřena jako část délky úrokového období, tedy 0 ≤ τ ≤
1
i je roční úroková míra (sazba) vyjádřena desetinným číslem, pro případ úrokové
míry vyjádřené v procentech platí i =
p
100
Celková hodnota kapitálu po uplynutí doby τ bude tedy
K = K0 + u = K0 ⋅ (1 + i ⋅ τ)
K určení doby uložení kapitálu (tedy τ v předešlých vzorcích) se používá několik standardů.
Standard ACT/365 uvažuje skutečný počet dní, které uběhli mezi uložením a výběrem (u
přestupného roku se pak počítá 366 dní). Standardy ACT/360, 30E/360 a 30A/360 uvažují o
něco jednodušší počítání, uvažuje se zde 360 denní rok, případně i každý měsíc jako 30
denní.
13
Srážková daň z výnosů
Výnos z kapitálu může být zdaněn srážkovou daní. Pokud uvažujeme srážkovou daň ve výši
d (je vyjádřena desetinným číslem, nikoli procentuálně), bude tedy budoucí hodnota kapitálu
K = K0 + u ⋅ (1 − d) = K0 ⋅ (1 + i ⋅ (1 − d) ⋅ τ)
Pokud bychom počítali s úrokovou mírou i∗
, kde i∗
= i ⋅ (1 − d) a výnos nepodléhá
srážkové dani, dostaneme se ke stejnému vzorci. Srážkovou daní se proto dále nebudeme
zabývat.
Diskont
Obchody s některými typy krátkodobých cenných papírů jsou založeny na principu
obchodního (nebo bankovního) diskontu. Diskont D se (na rozdíl od úroku) počítá z budoucí
hodnoty kapitálu Kn. Současná hodnota kapitálu je proto budoucí hodnotu snížená o diskont
D
K0 = Kn − D = Kn ⋅ (1 − d ⋅ τ)
Kn je budoucí hodnota kapitálu (tj. splatná částka)
d je roční diskontní míra
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2. (s. 20-41)
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4.
Doporučená literatura
RADOVÁ, J., P. DVOŘÁK a J. MÁLEK, 2013. Finanční matematika pro každého. 8., rozš.
vyd. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-4831-3. (s. 7-29)
Kontrolní otázky
1. Je doba uložení kapitálu (z pohledu finančních vzorců) stejná pro všechny bankovní
standardy?
2. Uveďte příklad situace, kdy je doba určená pomocí standardu 30E/360 stejná jako u
standardu ACT/365.
14
3. Uveďte příklad situace, kdy jsou doby určené pomocí standardů 30E/360 a ACT/365
odlišné.
4. Uveďte příklad situace, kdy jsou doby určené pomocí standardů ACT/365 a ACT/360
odlišné.
5. Který standard by (hypoteticky) byl pro mě nejvýhodnější, pokud mám prostředky
uloženy od 15. února do 31. března?
6. Jaké jsou rozdíly v případech úročení a diskontování?
7. Má diskont stejný význam jako odúročení?
8. Když uvažujeme úrokovou a diskontní sazbu ve stejné výši, bude vycházet připsaný
úrok stejný jako poskytnutý diskont?
9. Když uvažujeme úrokovou a diskontní sazbu ve stejné výši, která varianta je
výhodnější pro dlužníka?
10. Jaký vztah by platil pro úrokovou a diskontní sazbu, pokud by budoucí hodnoty byly
stejné?
Odkaz na praktickou část
3.3 Jednoduché úročení, polhůtní, základní rovnice
3.4 Diskont
15
2.3 Složené úročení, základní rovnice. Smíšené úročení.
Výpočet úrokové sazby a úroku
Klíčová slova
složené úročení, úrokové období, úročitel, efektivní úroková sazba, smíšené úročení
Cíle kapitoly
Cílem kapitoly je připomenout studentům vzorce pro složené úročení, seznámit je
s počítáním pro různé délky úrokových období a porovnáváním finančních produktů
s různou délkou úrokových období.
Výstupy z učení
 4.3 využívá různé druhy úročení s různou frekvencí
 4.4 stanoví efektivní a reálnou úrokovou sazbu
Abstrakt
Složené úročení
Složené úročení se používá pro případ kdy je doba delší než jedno úrokové období (pro
jednoduchost uvažujme rok) a představuje násobek délky úrokového období. Pro případ
úrokového období délky jednoho roku počítáme hodnotu kapitálu jako
Kn = K0 ⋅ (1 + i)n
K0 je počáteční hodnota kapitálu
Kn je hodnota kapitálu po n letech
i je roční úroková míra (úroková sazba), člen 1 + i se nazývá úročitel
n je doba uložení kapitálu vyjádřena počtem let uložení kapitálu
Úrok může být připisován i s jinou periodicitou než 1 rok. I v těchto případech se však
(zpravidla) uvádí roční úroková míra i. Pokud úroky jsou připsány m krát ročně, připíše se
za každé období úrok dle míry i/m. Obecně za n úrokových období bude připsán úrok
Kn = K0 ⋅ (1 +
i
m
)
n
i je roční úroková míra (neboli nominální úroková míra)
16
m je počet úrokových období za jeden rok (tj. m = 12 pro měsíční konverzi, m = 4 pro
kvartální, …)
n je doba uložení kapitálu, je vyjádřena jako počet úrokových období (ne počet let!)
Efektivní roční úroková míra je taková úroková míra, že úrok připsán 1x ročně s touto mírou
by byl stejný, jako celkový úrok za 1 rok s úrokovou mírou i (a jinou než roční konverzí).
Platí proto
K0 ⋅ (1 +
i
m
)
m
= K0 ⋅ (1 + ief), ief = (1 +
i
m
)
m
− 1
Smíšené úročení
Kapitál obvykle není uložen po dobu, která je násobkem délky úrokového období. V těchto
případech je potřeba použít smíšené úročení, které je kombinací jednoduchého a složeného:
𝐾 = 𝐾0 ⋅ (1 +
𝑖
𝑚
)
𝑛
⋅ (1 +
𝑖
𝑚
⋅ 𝜏)
𝑛 je počet ukončených celých úrokových období
𝜏 je příslušná část posledního (necelého) období
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2. (s. 37-41)
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4.
Doporučená literatura
RADOVÁ, J., P. DVOŘÁK a J. MÁLEK, 2013. Finanční matematika pro každého. 8., rozš.
vyd. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-4831-3. (s. 29-52)
Kontrolní otázky
1. Jsou z hlediska dlužníka následující varianty stejné? (předpokládejte, že dluh bude
splacen až po 1 roce)
a) připisování úroků ve výši 8 % 1x ročně, nebo
b) připsání úroků 2 % 4x za rok (nominální úroková míra je tedy 8 %)
17
2. Je výhodnější uložit kapitál na účet s nominální úrokovou mírou 4 % a půlroční
konverzi, nebo 4 % a měsíční konverzi? (předpokládejte uložení kapitálu po dobu
min. 1 rok)
3. Která možnost u předešlého příkladu bude výhodnější, když doba uložení kapitálu
bude jenom 2 měsíce?
4. Která možnost bude výhodnější, když doba uložení kapitálu bude 15 dní?
5. Je výhodnější uložit kapitál na účet s nominální úrokovou mírou 4 % a půlroční
konverzi, nebo 3,8 % a měsíční konverzi? Jakým způsobem to zjistíte?
6. Jaký je rozdíl mezi nominální a efektivní úrokovou mírou?
7. Budou nominální a efektivní úroková míra mít stejnou hodnotu pro případ roční
konverze úroků? Budou mít stejnou hodnotu pro případ kvartální konverze?
8. Bylo by možné do vzorců pro složené úročení zahrnout srážkovou daň stejně jako u
jednoduchého úročení?
9. Půjčka ve výši 100 000 Kč má být splacena jednorázovou splátkou ve výši 125 000
Kč za tři roky. Jakým způsobem zjistím úrokovou sazbu pro případ roční konverze
úroků? (Pro zjednodušení zde neuvažujme žádné poplatky).
10. Pokud banka používá úrokovou míru i, za jak dlouhý čas vzroste hodnota vkladu na
dvounásobek? Jaký způsobem to zjistím?
Odkaz na praktickou část
3.5 Složené úročení, základní rovnice
3.6 Smíšené úročení. Výpočet úrokové sazby a úroku
18
2.4 Spoření krátkodobé a dlouhodobé
Klíčová slova
spoření krátkodobé, spoření dlouhodobé, področnost, poplatek za vedení účtu
Cíle kapitoly
Cílem kapitoly je seznámit studenty s výpočty pro případ pravidelných vkladů, poukázat na
rozdíly pro případ vkladů 1x nebo vícekrát za úrokové období a ukázat, proč tyto rozdíly
vznikají.
Výstupy z učení
 4.5 vypočítá současnou a budoucí hodnotu anuity, sestaví umořovací schéma dluhu
 4.7 ocení dluhopisy, akcie a pracuje s měnovými kurzy
Abstrakt
Krátkodobé spoření
Krátkodobé spoření je pravidelné ukládání stejné částky po dobu kratší než je délka
úrokového období (pro jednoduchost uvažujme 1 rok). Pro případ předlhůtních vkladů (tj.
vklad na začátku každého měsíce) bude naspořená suma *
a = X ⋅ m ⋅ (1 +
m + 1
2m
⋅ i)
X je výše jednoho vkladu
i je roční úroková míra
m je počet vkladů
Dlouhodobé spoření
Dlouhodobé spoření je pravidelné ukládání stejné částky po dobu delší, než je délka
úrokového období. Předpokládejme nejdřív vklad pouze 1x za úrokové období a to na
začátku období (předlhůtně). Po n úrokových obdobích (letech) bude naspořená částka činit
𝑆 𝑛 = 𝑎 ⋅ (1 + 𝑖) ⋅
(1 + 𝑖) 𝑛
− 1
𝑖
kde 𝑛 je počet úrokových období po které se spoří.
19
Nejobecnějším případem je ukládání více vkladů v každém úrokovém období. V tomto
případě se naspořená částka vypočte skombinováním předešlých vzorců. Po n úrokových
obdobích bude naspořená částka na konci posledního úrokového období (pro předlhůtní
vklady)
Sn = X ⋅ m ⋅ (1 +
m + 1
2m
⋅ i) ⋅
(1 + i)n
− 1
i
kde m je počet vkladů za úrokové období a n je počet úrokových období po které se spoří.
Poplatky spojené s vedením účtu, které finanční instituce ze spořicího účtu stahuje, se do
vzorce zahrnou následovně:
Sn = X ⋅ m ⋅ (1 +
m + 1
2m
⋅ i − P) ⋅
(1 + i)n
− 1
i
kde P je výše všech poplatků za jedno úrokové období, přepočtena ke konci úrokového
období.
*
vzorce uváděné na této straně jsou odvozeny pomocí součtu řady.
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2.
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4.
Doporučená literatura
RADOVÁ, J., P. DVOŘÁK a J. MÁLEK, 2013. Finanční matematika pro každého. 8., rozš.
vyd. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-4831-3. (s. 71-88)
Kontrolní otázky
1. Odvoďte vzorec pro případ spoření kvartálními vklady (ve stejné výši) po dobu 1 rok
a ročního připisování úroků, využijte součet řady.
2. Odvoďte vzorec pro případ spoření kvartálními vklady po dobu 1 rok a kvartálního
připisování úroků, využijte součet řady.
3. Popište hlavní důvod, proč je potřeba mezi předešlými dvěma případy rozlišovat
4. Bylo by možné do uvedených vzorců zahrnout i srážkovou daň z úroků?
20
5. Je možné porovnávat dvě spoření s různou délkou úrokového období (např. kvartální
a roční) pomocí efektivní úrokové sazby?
6. Jaké problémy vznikají u porovnávání v předešlé otázce? Analyzujte případ
kvartálních vkladů a případ měsíčních vkladů.
7. Po dobu 6 let pravidelně vkládám na spoření 2 000 Kč měsíčně. Přesně po 3 letech
mimořádně vložím dalších 10 000 Kč. Jakým postupem spočítáte sumu naspořenou
po 6 letech? (Poplatky a zdanění neuvažujte, uvažujte roční připisování úroků.)
8. Po dobu 6 let pravidelně vkládám na spoření 2 000 Kč měsíčně. Po 3 letech zvýším
vklady na 3 000 Kč. Jakým postupem spočítáte sumu naspořenou po 6 letech?
(Poplatky a zdanění neuvažujte.)
9. Po dobu 6 let pravidelně vkládám na spoření 2 000 Kč měsíčně. Po 3 letech změním
vklady na kvartální ve výši 6 000 Kč. Jakým postupem spočítáte sumu naspořenou
po 6 letech? (Poplatky a zdanění neuvažujte, uvažujte roční připisování úroků.)
10. Po dobu 6 let pravidelně vkládám na spoření 6 000 Kč kvartálně. Jakým postupem
zjistíte, po jakém čase bude naspořená suma činit 100 000 Kč? Uvažujte kvartální
připisování úroků.
Odkaz na praktickou část
3.7 Spoření krátkodobé, využití součtu řady
3.8 Spoření dlouhodobé, využití součtu řady
21
2.5 Důchody jako pravidelné platby z investice, splácení
úvěru s konstantní anuitou, úmor
Klíčová slova
důchod, anuita, úmor, poplatek za vedení účtu
Cíle kapitoly
Cílem kapitoly je seznámit studenty s výpočty pro současnou hodnotu příštích výplat, ukázat
podobnosti a rozdíly oproti případu pravidelných vkladů, a ukázat podobnosti a rozdíly
s případem splácení dluhu.
Výstupy z učení
 4.5 vypočítá současnou a budoucí hodnotu anuity, sestaví umořovací schéma dluhu
Abstrakt
Důchod
Důchodem (anuitou) rozumíme pravidelné vyplácení stejných částek z uloženého kapitálu.
Jedná se tedy o případ podobný jako u dlouhodobého spoření. Současná hodnota důchodu
pro případ jedné výplaty za úrokové období (pro jednoduchost rok) a předlhůtní výplatu je
D = (a ⋅ (1 + i) + P) ⋅
1 − vn
i
a je výše jedné výplaty
v je odúročitel, platí v =
1
1+i
n je počet úrokových období, během kterých bude důchod vyplácen
P je výše poplatků přepočtena ke konci úrokového období (oproti spoření je zde je „+“,
protože poplatky platí příjemce důchodu a tudíž uložená suma musí poplatky již
zohledňovat)
Pro (obvyklý) případ více než jedné výplaty v úrokovém období je současná hodnota výplat
D = (X ⋅ m ⋅ (1 +
m + 1
2 ⋅ m
⋅ i) + P) ⋅
1 − vn
i
X je výše jedné výplaty
m je počet výplat za úrokové období
22
Umořování (splácení) dluhu
Proberme dvě možnosti splácení dluhu: s konstantní splátkou (anuitou) a s konstantním
úmorem. U případu konstantních splátek jednou za úrokové období budou splátka ar a úmor
Mr v r-tém období činit
ar = D ⋅
i
1 − vn
Mr = D ⋅
i ⋅ vn−r+1
1 − vn
Pro případ splácení se stejným úmorem v každém období bude
ar =
D
n
((n − r + 1) ⋅ i + 1)
Mr =
D
n
D je počáteční hodnota dluhu
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2. (s. 39-60)
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4.
Doporučená literatura
RADOVÁ, J., P. DVOŘÁK a J. MÁLEK, 2013. Finanční matematika pro každého. 8., rozš.
vyd. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-4831-3. (s. 89-131)
Kontrolní otázky
1. Odvoďte vzorec pro případ důchodu vypláceného jednou ročně (ve stejné výši) po
dobu 10 let a ročního připisování úroků, využijte součet řady. (Pozn.: všimněte si, že
v odvození se u všech členů vyskytuje zlomek
1
1+𝑖
, tudíž je vhodné využít odúročitel
𝑣.)
2. Odvoďte vzorec pro případ důchodu vypláceného 12 krát ročně po dobu 10 let a
ročního připisování úroků, využijte součet řady.
3. Popište hlavní důvod, proč je potřeba mezi předešlými dvěma případy rozlišovat
23
4. Odvoďte vzorec pro 𝑎 𝑟 pro případ splácení dluhu roční splátkou ve stejné výši po
dobu 10 let a ročního připisování úroků, využijte součet řady.
5. Odvoďte vzorec pro 𝑎 𝑟 pro případ splácení dluhu měsíční splátkou ve stejné výši po
dobu 10 let a ročního připisování úroků, využijte součet řady (pozn. tento vzorec není
výše uveden).
6. Je možné porovnávat dva úvěry s různou délkou úrokového období (např. kvartální
a roční) pomocí efektivní úrokové sazby?
7. Jakým způsobem se do vzorce pro výši konstantní splátky zahrnou poplatky spojené
s vedením účtu?
8. Odvoďte vzorec pro 𝑎 𝑟 pro případ splácení dluhu nestejnými ročními splátkami
avšak se stejným úmorem v každém období po dobu 10 let a ročního připisování
úroků, využijte součet řady.
9. Jakým způsobem poplatky spojené s vedením účtu projeví ve vzorcích pro úmor?
10. Bylo by možné do vzorců pro splácení dluhu zahrnout i srážkovou daň z úroků? Má
tento postup smysl?
Odkaz na praktickou část
3.9 Důchody jako pravidelné platby z investice
3.10 Splácení úvěru s konstantní anuitou, podobnosti mezi splácením úvěru a důchodem
3.11 Splácení úvěru nestejnou splátkou, úmor
24
2.6 Směnky a směnečné obchody. Skonto. Běžné účty.
Hypoteční úvěry. Spotřebitelské úvěry. Forfaiting,
faktoring a leasing
Klíčová slova
Směnka, skonto, úvěr, forfaiting, faktoring, leasing
Cíle kapitoly
Student získá znalosti v oblasti jednotlivých úvěrů a leasingu. Je schopen si stanovit
jednotlivé výše splátek. Dokáže posoudit, zda jaké formy financování jsou pro něj
nejvýhodnější. Na základě studia je schopen sestavit platnou směnku.
Výstupy z učení
 4.5 vypočítá současnou a budoucí hodnotu anuity, sestaví umořovací schéma dluhu
Abstrakt
Směnka
Směnka je cenný papír, který splňuje zákonem předepsané závazné náležitosti. Směnkou se
výstavce směnky bezpodmínečně buď u směnky vlastní sám zavazuje, nebo u směnky cizí
přikazuje určité osobě (směnečníkovi) zaplatit ve stanoveném termínu právoplatnému
majiteli směnky na směnce uvedenou finanční částku.
Skonto
V případech kdy prodávající firma dává možnost zaplatit zboží kupující firmě až po určitém
období (prodává tedy na obchodní úvěr), poskytuje někdy současně možnost získání slevy
na dohodnuté ceně za předpokladu, že kupující zaplatí okamžitě.
Běžný účet
Představuje jednu ze základních bankovních produktů, který stojí velmi často na počátku
vzájemných vztahů mezi klientem a bankou.
25
Hypoteční úvěry
Základní charakteristický rys hypotečních úvěrů je jejich zajištění zástavním právem
k nemovitosti.
Spotřební úvěry
Spotřebitelský úvěr je zpravidla poskytován fyzickým osobám na nepodnikatelské účely.
Forfaiting
Představuje odkup střednědobých až dlouhodobých pohledávek, které obvykle vznikají při
vývozu, eventuálně dovozu na dodavatelský úvěr.
Faktoring
Smluvně sjednaný odkup krátkodobých pohledávek, které vznikli dodavateli v důsledku
poskytnutí nezajištěného dodavatelského úvěru.
Leasing
Leasing přestavuje další alternativní variantu financování ve vztahu k bankovním úvěrům.
Lze jej také charakterizovat jako určitou formu pronájmu, kdy pronajímatel – leasingová
společnost – pronajímá předmět leasingu nájemci na určitou dobu a ten se zavazuje platit
dohodnuté leasingové splátky.
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2. (s. 77-81)
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4.
Doporučená literatura
RADOVÁ, J., P. DVOŘÁK a J. MÁLEK, 2013. Finanční matematika pro každého. 8., rozš.
vyd. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-4831-3. (s. 152-201)
26
Kontrolní otázky
1. Započítává se den eskontu do zbytkové doby splatnosti směnky?
2. Jakým způsobem lze převést rektasměnku?
3. Kdy je pro kupujícího výhodnější využít skonto a zaplatit sníženou cenu ihned, nebo
odsunout zaplacení na pozdější dobu s tím, že zaplatí plnou cenu?
4. V jakém případě bude vyšší výše anuity, když bude úroková sazba 10% nebo 15%.
5. V jakých případech dohází u forfaitingu ke zvýšení sraženého diskontu?
6. Jaký je rozdíl mezi finančním a operativním leasingem?
7. Jaké charakteristiky musím brát v úvahu, pokud se rozhoduji, jestli pohledávku budu
financovat faktoringem nebo úvěrem.
8. Jakými způsoby se počítají úroky na běžném účtu?
9. Ovlivňuje výši hypotečního úvěru cena zástavy?
10. Jakým způsobem se stanoví výše státní podpory a co ji ovlivňuje.
Odkaz na praktickou část
3.12 Směnky a směnečné obchody. Skonto. Běžné účty
3.13 Hypoteční úvěry. Spotřebitelské úvěry. Forfaiting, faktoring a leasing
27
2.7 Dluhopisy, durace, konvexita, imunizace
Klíčová slova
dluhopis, vnitřní hodnota dluhopisu, rendita, durace dluhopisu
Cíle kapitoly
Student získá znalosti v oblasti oceňování různých typů dluhopisů pomocí vnitřní hodnoty,
výnosnosti dluhopisu, citlivosti vnitřní hodnoty na požadovanou výnosnost.
Výstupy z učení
 4.7 ocení dluhopisy, akcie a pracuje s měnovými kurzy
 4.8 provádí analýzu citlivosti cen dluhopisů na změnu úrokové míry (durace,
konvexita)
Abstrakt
Vnitřní hodnota dluhopisu
Dluhopis je cenný papír, který vyjadřuje dlužní závazek vystavujícího (eminenta) vůči
držiteli (oprávněnému). Držitel dluhopisu je oprávněn po eminentovi požadovat (v době
splatnosti) splacení jmenovité hodnoty, na kterou je dluhopis vystaven a taky ve stanovených
dobách požadovat splacení stanovených výnosů (kupónů). Z uvedeného plyne, že dluhopis
můžeme ocenit pomocí současné hodnoty všech budoucích plateb. Vnitřní hodnota
dluhopisu je proto
VH = JH ⋅
1
(1 + i)n
+ C ⋅
1 − vn
i
JH je jmenovitá hodnota, na kterou je dluhopis vystaven
C je výše kupónové platby (zde předpokládáme platby ve stejné výši)
i je požadovaná výnosnost za jedno úrokové období, v je odúročitel
n je počet úrokových období, která zbývají do splatnosti dluhopisu
V této kapitole záměrně používáme termín vnitřní hodnota, abychom se vyhnuli termínu
cena. Cena dluhopisu je určena trhem cenných papírů. Z hlediska počtu výplat z dluhopisu
existují: kupónový dluhopis (držitel má i nárok na výplatu kupónové platby), zerobond
(dluhopis bez kupónové platby) a konzole (věčný dluhopis přinášející pouze kupónovou
platbu ve stanovených intervalech).
28
Durace, konvexita
𝐷 𝑀 =
𝐽𝐻 ⋅ 𝑛 ⋅ 𝑣 𝑛
+ 𝐶 ⋅ (1 ⋅ 𝑣 + 2 ⋅ 𝑣2
+ ⋯ + 𝑛 ⋅ 𝑣 𝑛)
𝐽𝐻 ⋅ 𝑣 𝑛 + 𝐶 ⋅ (𝑣 + 𝑣2 + ⋯ + 𝑣 𝑛)
Durace dluhopisu je ukazatelem toho, za jak dlouho se investorovi vrátí cena zaplacená za
dluhopis (cena je vlastně postupně splácena kupónovými platbami).
Durace taky poskytuje informaci, jak se změní vnitřní hodnota dluhopisu při malé změně
úrokové míry (o Δ𝑖)
Δ𝑉𝐻 ≈ −𝐷 𝑀 ⋅
𝑃
1 + 𝑖
⋅ Δ𝑖
Tento odhad může být dále zpřesněn využitím konvexity:
Δ𝑉𝐻 ≈ −𝐷 𝑀 ⋅
𝑉𝐻
1 + 𝑖
⋅ Δ𝑖 +
1
2
𝐶 𝑀 ⋅ 𝑉𝐻 ⋅ (Δ𝑖)2
𝐶 𝑀 =
𝐽𝐻 ⋅ 𝑛 ⋅ (𝑛 + 1) ⋅ 𝑣 𝑛+2
+ 𝐶 ⋅ (2 ⋅ 𝑣3
+ 6 ⋅ 𝑣4
+ ⋯ + 𝑛 ⋅ (𝑛 + 1) ⋅ 𝑣 𝑛+2)
𝐽𝐻 ⋅ 𝑣 𝑛 + 𝐶 ⋅ (𝑣 + 𝑣2 + ⋯ + 𝑣 𝑛)
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2.
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4.
Doporučená literatura
RADOVÁ, J., P. DVOŘÁK a J. MÁLEK, 2013. Finanční matematika pro každého. 8., rozš.
vyd. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-4831-3. (s. 131-195)
Kontrolní otázky
1. Dluhopis se jmenovitou hodnotou 100 000 Kč splatný (přesně) za 5 let přináší navíc
kupónové platby ve výši 6 % JH, 2x ročně. Jak určíte míru výnosnosti, kterou
dosáhneme, pokud dluhopis koupíme dnes za 100 000 Kč?
2. Který z dluhopisů má nejvyšší současnou hodnotu, když požadujeme výnosnost 8 %
p.a.? Může se tato volba změnit pro jinou požadovanou výnosnost? Proč?
A, JH = 10 000 Kč, splatný (přesně) za 5 let, kupónová platba 2 000 Kč 1x ročně
B, JH = 20 000 Kč, splatný za 4 roky
29
3. Dluhopis se jmenovitou hodnotou 100 000 Kč splatný (přesně) za 5 let přináší navíc
kupónovou platbu ve výši 12 %, 1x ročně. V případě požadované výnosnosti 8 % p.a.
činí jeho současná hodnota 115 970 Kč. Jakým postupem lze odhadnout výnosnost,
kterou dosáhneme, pokud dnes dluhopis koupíme za 120 000 Kč?
4. Bylo by v předchozím příkladu možné využít pro odhad duraci dluhopisu? Jak?
5. Jaký je vztah mezi durací a dobou splatnosti dluhopisu?
6. Bylo by možné, aby durace přesáhla dobu splatnosti?
7. Jaká je durace pro případ zerobondu (bezkupónového dluhopisu)?
8. Pokuste se určit vzorec pro duraci pro případ věčného dluhopisu. (Využijte
nekonečnou řadu.)
9. Co je rendita dluhopisu?
10. Z jakého důvodu u dluhopisů neuvažujeme o srážkové dani?
Odkaz na praktickou část
3.14 Oceňování dluhopisů
3.15 Durace, konvexita
3.16 Imunizace dluhopisu
30
2.8 Akcie, devizové obchody, finanční a termínové obchody,
výkonosti portfolia, dvousložkové a vícesložkové
portfolio
Klíčová slova
Akcie, ážio, devizový trh, riziko, střední hodnota, rozptyl, výnosy, faktory,
Cíle kapitoly
Student se během předmětu seznámí s problematikou devizových trhů, vztahů mezi nimi.
Dále se podrobně seznámí s akciemi. Dokáže odhadnout rizika spojená s portfoliem a
faktory, které jej ovlivňují.
Výstupy z učení
 4.7 ocení dluhopisy, akcie a pracuje s měnovými kurzy
Abstrakt
Akcie
Akcie je cenný papír, který představuje podíl na základním kapitálu akciové společnosti.
Majitel akcie je akcionář. Akcionář má právo podílet se zákonem a stanovami společnosti
vymezeným způsobem na jejím řízení, jejím zisku a likvidačním zůstatku při případném
zániku společnosti.
Devizové obchody
Trh je tvořen především obchodováním mezi bankami, po síti Reuters nebo podobném
elektronickém spojení. Kromě bank se jej účastní několik typů dalších finančních institucí
jako exportéři, importéři, zprostředkovatelé a specializovaní obchodníci, kteří obchodují ve
velkých objemech. Trh je globální. Tento trh existuje jako neorganizovaný trh s volným
přístupem.
Finanční a termínované obchody
Za termínové obchody je možno považovat takové obchodní transakce, kdy mezi
okamžikem jejich uzavření a dohodnutým termínem vypořádání existuje delší, mnohdy
31
i mnohaměsíční časová prodleva. Termínové obchody se uzavírají na tzv. termínových
trzích.
Výnosnosti portfolia
Jestliže chceme vypočítat výnosnost jednotlivé investice, stačí znát hodnotu vložené peněžní
částky na počátku a koncovou hodnotu. K hodnocení výnosnosti portfolia se používá
nejčastěji časově vážená metoda a peněžně vážená metoda.
Dvousložkové a vícesložkové portfolio
Efektivní portfolio je takové, které z množiny portfolií se stejným rizikem má nejvyšší
očekávaný výnos. Těchto faktorů, může být velké množství. Nejjednodušším případem je
jednofaktorový model.
𝑅𝑖 = 𝑏𝑖0 + 𝑏𝑖1 ⋅ 𝐹1 + 𝜀𝑖
𝑅𝑖 výnosnost i-tého aktiva (portfolia),
𝐹1 je hodnota faktoru,
𝑏𝑖0 je absolutní člen,
𝑏𝑖1 je koeficient citlivosti výnosnosti aktiva na faktor F1,
𝜀𝑖 je náhodná chyba.
Dvousložkové portfolio oproti jednofaktorovým modelům je zřejmě počet faktorů, které
vysvětlují výnosnost aktiva.
𝑅𝑖 = 𝑏𝑖0 + 𝑏𝑖1 ⋅ 𝐹1 + 𝑏𝑖2 ⋅ 𝐹2 + ⋯ + 𝑏𝑖 𝐾 ⋅ 𝐹𝐾 + 𝜀𝑖
𝑅𝑖 je výnosnost i-tého aktiva (portfolia),
𝐹𝑗 jsou hodnoty vybraných faktorů,
𝑏𝑖0 je absolutní člen, bij jsou citlivosti výnosnosti i-tého aktiva na faktory Fj ,
𝜀𝑖 je náhodná chyba.
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2. (s. 77-81)
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4.
32
Doporučená literatura
RADOVÁ, J., P. DVOŘÁK a J. MÁLEK, 2013. Finanční matematika pro každého. 8., rozš.
vyd. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-4831-3. (s. 207-225)
Kontrolní otázky
1. Jak se nazývá rozdíl mezi tržní a nominální hodnotou akcie?
2. Jaké máme druhy akcií?
3. Z čeho se akcie skládá?
4. Jaké motivy vedou subjekty ke sjednávání termínovaných vkladů?
5. Jak nazýváme diferenci mezi termínovým a promptním kurzem?
6. Vysvětlete forwardové obchody?
7. Vysvětlete opční obchody?
8. Jakými metodami lze měřit výnosnost portfolia?
9. Popište modifikovanou Dietzovu metodu?
10. Co jsou to termínované obchody?
Odkaz na praktickou část
3.17 Akcie, devizové obchody, finanční a termínové obchody, výkonosti portfolia
3.18 Akcie, devizové obchody, finanční a termínové obchody. Výkonosti portfolia,
dvousložkové a vícesložkové portfolio
33
2.9 Měnové kurzy
Klíčová slova
Měnový kurz, měnový trh, dovoz, vývoz, revalvace, devalvace
Cíle kapitoly
Student se během předmětu seznámí s problematikou mezinárodních měnových systémů a
vztahů mezi nimi. Seznámí se s pojmy měnového systému. Naučí se stanovit měnový kurz.
Výstupy z učení
 4.7 ocení dluhopisy, akcie a pracuje s měnovými kurzy
Abstrakt
Měnový kurz
Měnový kurz je z kvantitativního hlediska poměr, v jakém se směňují dvě navzájem cizí
měny neboli cena jedné měny vyjádřená v jiné měně.
Měnový kurz se rozlišuje podle dvou forem peněz následovně:
 devizový kurz, který je cenou deviz, tj. bezhotovostních cizích peněz ve formě
zůstatků na bankovních účtech nebo směnek, šeků aj.;
 valutový kurz, který je cenou valut, to znamená hotovostních cizích peněz ve formě
bankovek a mincí.
Měnový kurz je možno dále rozlišovat z hlediska lhůty, ve které dochází k realizaci obchodu
na základě daného kurzu následovně:
 promptní kurz, který se týká obchodů vypořádaných do dvou obchodních dnů po
jejich sjednání;
 termínový kurz, který se naproti tomu vztahuje k obchodům sjednaným dnes, jejichž
plnění však nastává až ve stanoveném termínu v budoucnosti.
Kotace měnových kurzů
Subjekty, které provádějí obchody s cizími měnami, musejí měnové kurty stanovit, tzv.
kotovat, v určité formě. V praxi jsou možné dva způsoby kotace:
 při přímé kotaci se vyjadřuje počet jednotek domácí měny za jednotku cizí měny,
34
 při nepřímé kotaci se naopak vyjadřuje počet jednotek cizí měny za jednotku měny
domácí.
Při kotaci kurzu uvádějí banky pro každou měnu dva kurzy. Kurz nákup a kurz prodej.
Kurz nákupu můžeme vyjádřit:
𝐾𝑑𝑜𝑚 = 𝐾𝑐𝑖𝑧í ∗ 𝑃𝐾,
𝐾𝑑𝑜𝑚 je částka v domácí měně;
𝐾𝑐𝑖𝑧í je směnovaná částka v cizí měně,
𝑃𝐾 je promptní měnový kurz, vyjádřený přímou kotací.
Kurz prodeje můžeme vyjádřit:
𝐾𝑐𝑖𝑧í =
𝐾𝑑𝑜𝑚
𝐾
,
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2.
Doporučená literatura
JÍLEK J., 2013. Finance v globální ekonomice II – Měnová a kurzová politika. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-8822-7. (s. 333-345)
RADOVÁ, J., P. DVOŘÁK a J. MÁLEK, 2013. Finanční matematika pro každého. 8., rozš.
vyd. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-4831-3. (s. 152-201)
ŠOBA O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2017. Finanční matematika v praxi. 2. vyd. Praha:
Grada. ISBN 978-80-271-0250-1. (s. 263-281)
Kontrolní otázky
1. Co je to Exchange Rate Deviation Index (ERDI)?
2. V jakém rozmezí se pohybuje ERDI ve vyspělých ekonomikách?
3. Je nadměrná volatilita kurzu zejména pro malou otevřenou ekonomiku škodlivá?
4. Co zabezpečuje rovnovážný kurz?
5. V zemi dochází k rychlému růstu peněžní zásoby (vyššímu než v zahraničí).
Centrální banka přitom nechává měnový kurz volně plavat. Co to udělá s měnovým
kurzem?
6. Co jsou to křížové kurzy?
35
7. Popište kurz na střed.
8. Co je to měnový kurz?
9. Jaké faktory se promítají do měnového kurzu?
10. Skutečný kurz se může od rovnovážného kurzu odchylovat po dosti dlouhé období
z jakých důvodů?
Odkaz na praktickou část
3.19 Měnové kurzy
36
2.10 Úvod do analýzy časových řad, klouzavý průměr,
diference a index růstu
Klíčová slova
časové řady, klouzavý průměr, diference, index růstu
Cíle kapitoly
Cílem kapitoly je seznámit studenty se základem problematiky časových řad a ukazatelů
jejich průběhu.
Výstupy z učení
 4.1 využívá posloupnosti při řešení matematických problémů
 4.2 pracuje s časovými řadami, sčítá a analyzuje jejich konvergenci
Abstrakt
Časové řady
Časová řada je numerická řada, jejíž hodnoty podstatně závisí na čase, v němž byly získány
(posloupnost chronologicky uspořádaných pozorování). Časové okamžiky, kdy byla data
získána, jsou od sebe většinou stejně vzdáleny.
Časové řady lze klasifikovat podle různých hledisek, např.:
podle charakteru dat, jejichž hodnoty tvoří časovou řadu
- časové řady intervalové - data závisí na délce intervalu, který je sledován (např. měsíční
výroba cementu v ČR)
- časové řady okamžikové - data se vztahují k určitému okamžiku (počet zaměstnanců v
podniku v r. 2008 – 2018)
Klouzavý průměr:
Klouzavý průměr, nebo také „simple moving average" (MA) patří k jedné ze základních,
časem prověřených a spoustou obchodníků používaných vstupních a výstupních strategií
(většinou však v kombinaci ještě s dalšími strategiemi či podmínkami pro vstup a výstup do
trhů/z trhů např. výše ceny). Jedná se o strategii poměrně silnou a spolehlivou.
37
𝑀𝐴 =
𝑃1 + 𝑃2 + ⋯ + 𝑃𝑛
𝑛
𝑃𝑛 je uzavírací cena (close) n-intervalu obchodních dnů,
𝑛 je počet dnů, na jehož základě klouzavý průměr počítáme,
Diference:
Zkoumáním závislosti dvou řad je diference (dif). Tento přístup, jak z názvu vyplývá,
vychází z rozdílu hodnot. První diference je u analýzy časových řad prostým rozdílem hodnot
ve dvou po sobě jdoucích časech. Nově vzniklá časová řada respektive její určitý úsek
vyjadřuje vzájemný pohyb původních hodnot. Vztah je matematicky definován následovně:
𝑑𝑖𝑓 = 𝑎 𝑡 − 𝑎 𝑡−1
𝑎 𝑡 je - hodnota časové řady v čase t,
𝑎 𝑡−1 je hodnotu časové řady v čase t-1
Index růstu:
Index růstu představuje poměrné číslo, tj. porovnání podílem. Nejčastěji se tím vyjadřuje
změna veličiny v běžném období proti základnímu. Indexy dělíme na individuální
jednoduché, složené a souhrnné. Dále je dělíme na indexy objemu a indexy úrovně.
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2.
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada
ISBN 978-80-247-4636-4.
Doporučená literatura
ARLT, J. a M. ARTLOVÁ, 2009. Ekonomické časové řady. Praha: Professional Publishing.
ISBN 978-80-86946-85-6. (s. 25-42)
CIPRA, T., 2008. Finanční ekonometrie. Praha: Ekopress. ISBN 978-80-86929-43-9.
(s. 257-259)
Kontrolní otázky
1. Charakterizujte časovou řadu.
38
2. Uveďte příklady využití analýzy časových řad.
3. Jaké druhy časových řad znáte?
4. Charakterizujte časové řady intervalové.
5. Charakterizujte a uveďte příklady časové řady okamžikové.
6. K čemu slouží klouzavý průměr?
7. Jaký ukazatel je s ohledem na spolehlivost hodnocení časové řady významný?
8. K čemu je výhodný ukazatel diference časové řady?
9. Proč se vyplatí sledovat index růstu?
10. Charakterizujte dělení indexů a stručně je charakterizujte.
Odkaz na praktickou část
3.20 Úvod do analýzy časových řad, klouzavý průměr
3.21 Diference a index růstu
39
2.11 Modelování časových řad, složky časových řad
Klíčová slova
časové řady, modelování časové řady, složky časové řady
Cíle kapitoly
Cílem kapitoly je seznámit studenty se základními složkami časových řad a ukazatelů jejich
průběhu, jejich modelováním.
Výstupy z učení
 4.1 využívá posloupnosti při řešení matematických problémů
 4.2 pracuje s časovými řadami, sčítá a analyzuje jejich konvergenci
Abstrakt
Modelování časových řad
Při hledání nejvhodnějšího typu trendu vycházíme především z předpokládaných vlastností
trendové funkce, vyplývajících z teoretického rozboru. Výběr usnadní grafické znázornění
časové řady. Kromě toho lze využít testů založených na jednoduchých charakteristikách
časové řady. Za základní považujeme jednorozměrný model časové řady ve tvaru
yt = f(t, β, εt)
kde yt je hodnota modelovaného ukazatele v čase t, t je časová proměnná, t = 1, 2, … , n a
εt je hodnota náhodné složky v čase t, 𝛽 je vektorový parametr, jeho hodnoty je třeba
odhadnout. Typ funkce 𝑓 je třeba zvolit nebo vybrat.
Složky časových řad
Klasický (formální) model, kde jde pouze o popis forem pohybu a nikoliv o poznání věcných
příčin dynamiky časové řady, vychází z dekompozice řady na čtyři formy (složky) časového
pohybu:
1. trendovou, Tt 2. sezónní, St 3. cyklickou, Ct 4. náhodnou, εt přičemž vlastní tvar
rozkladu může být dvojího typu:
a) aditivního
𝑦𝑡 = 𝑇𝑡 + 𝑆𝑡 + 𝐶𝑡 + 𝜀𝑡 = 𝑌𝑡 + 𝜀𝑡
40
kde 𝑌𝑡 je teoretická (modelová, systematická, deterministická) složka t t tT S C  ,
b) multiplikativního
yt = Tt ⋅ St ⋅ Ct ⋅ εt,
Tento tvar lze logaritmickou transformací převést snadno na aditivní tvar. (Při jakékoliv
transformaci je ovšem nutno dát pozor na rozložení chyb εt.)
Souběžná existence všech složek Tt, St, Ct, εt však není nutná a je podmíněna věcným
charakterem zkoumaného ukazatele.
Trend - trendem rozumíme hlavní tendenci dlouhodobého vývoje hodnot ukazatele v čase.
Trend může být rostoucí, klesající nebo se jedná o časovou řadu bez trendu. Může mít také
složitější průběh.
Sezónní složka - je pravidelně se opakující odchylka od trendové složky s periodou kratší
než jeden rok.
Cyklická složka je kolísání okolo trendu v důsledku dlouhodobého cyklického vývoje
s délkou vlny delší než jeden rok. Jedná se o cykly demografické, inovační, plánovací, atd.
Náhodná složka zbývá po vyloučení sezónní a cyklické složky. Jejím zdrojem jsou drobné a
v jednotlivostech nepostižitelné příčiny. Její chování lze popsat pravděpodobnostně.
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2.
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4.
Doporučená literatura
ARLT, J. a M. ARTLOVÁ, 2009. Ekonomické časové řady. Praha: Professional Publishing.
ISBN 978-80-86946-85-6. (s. 25-42)
CIPRA, T., 2008. Finanční ekonometrie. Praha: Ekopress. ISBN 978-80-86929-43-9. (s.
257-259)
Kontrolní otázky
1. Charakterizujte model časové řady.
41
2. Uveďte příklady využití modelů časových řad.
3. Jaké druhy modelů časových řad znáte?
4. Charakterizujte složky časových řad.
5. Co je to trend časové řady?
6. Charakterizujte sezónní složku časové řady?
7. Charakterizujte důvod sledování cyklické složky časové řady.
8. Doplňte: Demografické křivky lze charakterizovat jako …
9. K čemu slouží náhodná složka časové řady?
10. Lze popsat chování náhodné složky deterministicky?
Odkaz na praktickou část
3.23 Složky časových řad
3.24 Modelování časových řad
42
2.12 Trendová složka, modely trendových složek
Klíčová slova
časové řady, trend, průběh trendu časové řady
Cíle kapitoly
Cílem kapitoly je seznámit studenty s průběhem časové řady a jednotlivými modely
trendových složek časových řad.
Výstupy z učení
 4.2 pracuje s časovými řadami, sčítá a analyzuje jejich konvergenci
Abstrakt
Trend časové řady
Nejužívanější metodou odhadu parametrů trendových funkcí je metoda nejmenších čtverců,
která je použitelná v případě, kdy trendová funkce je lineární v parametrech (jedná se o
lineární regresní model).
Lineární trend
Je nejčastěji používaným typem trendové funkce. Můžeme ji použít vždy, chceme-li alespoň
orientačně určit základní směr vývoje časové řady a rovněž může sloužit v omezeném
časovém intervalu jako vhodná aproximace jiných trendových funkcí.
Má tvar
𝑇𝑡 = 𝑎0 + 𝑎1 ⋅ 𝑡,
kde 𝑎0, 𝑎1 jsou parametry a 𝑡 = 1,2, … , 𝑛 je časová proměnná. K odhadu 𝑎0, 𝑎1 používáme
metodu nejmenších čtverců.
Parabolický trend
𝑇𝑡 = 𝑎0 + 𝑎1 ⋅ 𝑡 + 𝑎2 ⋅ 𝑡2
,
kde a0, a1, a2 jsou parametry a t = 1,2, … , n je časová proměnná, je poměrně často
používaný typ trendové funkce. Je lineární z hlediska parametrů a proto se k jejich odhadu
používá metody nejmenších čtverců.
43
Exponenciální trend
𝑇𝑡 = 𝑎 ⋅ 𝑏 𝑡
,
kde 𝑡 = 1,2, … , 𝑛, 𝑏 > 0 .
Danou rovnici budeme nejprve logaritmovat a pak lze k odhadu parametrů využít metody
nejmenších čtverců.
Logistický trend
𝑇𝑡 =
𝑦
1 + 𝑎 ⋅ 𝑏 𝑡
,
kde 𝑡 = 1,2, … , 𝑛, 𝑏 > 0
Logistická trendová funkce byla původně odvozena jako křivka vyjadřující biologický růst
populací za podmínek omezených zdrojů. V ekonomické oblasti se tato křivka začala
používat v modelech poptávky po předmětech dlouhodobé spotřeby a s úspěchem se také
používá např. při modelování vývoje, výroby a prodeje některých druhů výrobků. Patří mezi
trendové funkce s kladnou horní asymptotou a jedním inflexním bodem. Pole typického
průběhu se této skupině křivek říká S-křivky.
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2.
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4.
Doporučená literatura
ARLT, J. a M. ARTLOVÁ, 2009. Ekonomické časové řady. Praha: Professional Publishing.
ISBN 978-80-86946-85-6. (s. 25-42)
CIPRA, T., 2008. Finanční ekonometrie. Praha: Ekopress. ISBN 978-80-86929-43-9. (s.
257-259)
44
Kontrolní otázky
1. Charakterizujte co je to trend časové řady.
2. Uveďte příklady využití trendů časových řad.
3. Jaké druhy trendů časových řad znáte?
4. Charakterizujte nejčastěji využívaný trend?
5. Nakreslete lineární trend časové řady.
6. Charakterizujte a nakreslete trend exponenciální?
7. Charakterizujte parabolický trend.
8. K čemu lze využít metody nejmenších čtverců při trendové analýze časové řady?
9. Nakreslete parabolický trend.
10. Charakterizujte logistický trend časové řady.
Odkaz na praktickou část
3.25 Trendová složka, modely trendových složek
45
2.13 Využití časových řad k prognózování
Klíčová slova
časové řady, trend, průběh trendu časové řady, využití časových řad
Cíle kapitoly
Cílem kapitoly je seznámit studenty s vhodností používání a využitím časových řad pro
předpovídání a prognózování.
Výstupy z učení
 4.2 pracuje s časovými řadami, sčítá a analyzuje jejich konvergenci
Abstrakt
Časové řady pracují s chronologicky uspořádanými statistickými daty. Setkáváme se s nimi
v různých oblastech života. Stále většího významu však nabývá práce s časovými řadami v
ekonomii. Lze konstatovat, že téměř každý řídící pracovník přichází často do kontaktu
s časovými řadami ekonomických ukazatelů. Jednou se může zabývat vývojem tržeb,
podruhé zas vývojem inflace. Popis ekonomických ukazatelů využitím časových řad je tedy
velkým pomocníkem při analýzách vývoje a z toho některých vyplývajících konjunkturních
souvislostech a prognózách do budoucnosti.
Hlavní funkce analýzy časových řad pro budoucnost
Objektivní metody používané v prognostické činnosti vycházejí z poznatků statistiky a
aplikované matematiky, nebo jsou jejich kombinací. Ze statistických metod se jedná zejména
o zkoumání založené na analýze trendových funkcí, modelů časových řad a regresních
modelů.
Analýza trendových funkcí
Analýza trendových funkcí - lze ji rozdělit do dvou navazujících etap. První etapou je
stanovení trendové funkce. V ekonomických prognózách se jedná zpravidla o neperiodické
časové řady s náhodným kolísáním. K jejich vyrovnání se používá řady funkcí, z nichž
46
největšího rozšíření doznaly funkce lineární, mocninný, exponenciální, kvadratický a
hyperbolický.
Lineární trendová funkce lze pro její jednoduchost využít pro vyjádření vývoje
prognózovaných veličin, jestliže absolutní přírůstky meziročních změn dané proměnné jsou
přibližně konstantní a jestliže jsou předpoklady pro obdobný vývoj i vně intervalu
napozorovaných hodnot.
Mocninná funkce umožňuje vyjádřit nelineární průběh vývoje prognózovaného jevu, a to jak
progresivně, tak degresivně rostoucí anebo klesající. Relativní přírůstky jsou konstantní.
Semilogaritmická funkce se používá zejména v těch případech, kdy rychlý pokles nebo růst
příslušné proměnné je následován poklesem nebo růstem pozvolným, který v budoucnu bude
znamenat spíše stagnaci.
Exponenciála je vhodnou trendovou funkcí v těch případech, kdy absolutní přírůstky rostou,
a vývoj probíhá geometrickou řadou. Poněvadž se hodnota prognózované proměnné s délkou
prognostického horizontu výrazně mění, případná extrapolace pro toto období musí být
doložena podrobným věcným rozborem. Z těchto důvodů se používá zejména ke
krátkodobým nebo střednědobým prognózám.
Kvadratická trendová funkce se s odpovídajícími výsledky používá pro vyjádření základní
změny ve vývoji, kdy se pozitivní přírůstky mění v negativní a naopak. Pokud tato změna
nenastane, i když v intervalu napozorovaných hodnot může být kvadratická funkce vhodná,
případně extrapolace vede k nesprávným nebo ekonomicky bezobsažným výsledkům.
Hyperbolická trendová funkce se při prognózách uplatňuje tehdy, jestliže se průběh časové
řady zezdola nebo seshora asymptoticky blíží k určité konstantní hodnotě. V ekonomických
prognózách se zpravidla jedná o hodnotu, která udává závislosti na předmětu prognózy.
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2.
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4.
47
Doporučená literatura
ARLT, J. a M. ARTLOVÁ, 2009. Ekonomické časové řady. Praha: Professional Publishing.
ISBN 978-80-86946-85-6. (s. 49-69)
CIPRA, T., 2008. Finanční ekonometrie. Praha: Ekopress. ISBN 978-80-86929-43-9. (s.
362-376)
Kontrolní otázky
1. Charakterizujte význam prognózování.
2. Jaké spatřujete výhody pro předpověď prostřednictvím analýzy časových řad.
3. Vyjmenujte hlavní funkce analýzy časových řad.
4. K čemu slouží analýza trendových funkcí?
5. Nakreslete hyperbolický trend.
6. V čem spočívá význam semilogaritmická funkce?
7. Jaká trendová funkce je vhodná pro předpověď pro střednědobý horizont?
8. V jakém trendu jsou konstantní přírůstky sledovaného jevu?
9. Nakreslete mocninnou funkci a charakterizujte její význam pro budoucí prognózy.
10. Jaký je význam časových řad pro prognózování?
Odkaz na praktickou část
3.26 Využití časových řad k prognózování
48
3 Příprava na semináře
3.1 Základní pojmy z finanční matematiky, posloupnosti
a řady
Klíčová slova
aritmetická posloupnost, geometrická posloupnost, součet řady, konvergence nekonečné
řady
Cíle kapitoly
Cílem kapitoly je seznámit studenty s obecnými číselnými řady, speciálními typy řad ve
finanční matematice a s pojmem nekonečné řady a její konvergence.
Výstupy z učení
 4.1 využívá posloupnosti při řešení matematických problémů
Příklad, uvedení vzorového úkolu
Příklad 1: Odvoďte vzorce pro součet konečné aritmetické řady.
Řešení:
a, členy aritmetické posloupnosti jsou:
𝑎1
𝑎2 = 𝑎1 + 𝑑
𝑎3 = 𝑎2 + 𝑑 = 𝑎1 + 2 ⋅ 𝑑
…
𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 + 𝑑 = ⋯ = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ⋅ 𝑑
Hledaný součet proto bude
𝑆 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 = 𝑎1 + (𝑎1 + 𝑑) + ⋯ + (𝑎1 + (𝑛 − 1) ⋅ 𝑑)
Vhodným uzávorkováním můžeme výraz přepsat jako
49
𝑆 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 = 𝑎1 + 𝑎1 + ⋯ + 𝑎1 + 𝑑 + 2 ⋅ 𝑑 + … + (𝑛 − 1) ⋅ 𝑑
= 𝑛 ⋅ 𝑎1 + 𝑑 ⋅ (1 + 2 + ⋯ + 𝑛 − 1)
= 𝑛 ⋅ 𝑎1 + 𝑑 ⋅ ((1 + 𝑛 − 1) + (2 + 𝑛 − 2) + ⋯ ) = 𝑛 ⋅ 𝑎1 + 𝑑 ⋅
𝑛
2
⋅ (𝑛 − 1)
Zadání samostatné práce (úkolu)
Příklad 2: Napište prvních pět členů geometrické posloupnosti, je-li dáno:
a3 = √5, a5 = 5.
Příklad 3: O kolik procent ročně je třeba během deseti let zvyšovat výrobu, aby se za deset
let při konstantním procentuálním přírůstku zvýšila dvojnásobně?
Příklad 4: Objem výroby v jistém roce dosáhl 90 jednotek produkce. Při kolika procentním
ročním přírůstku se za 4 roky objem produkce zdvojnásobil?
Příklad 5: Současné náklady na produkci určitého výrobku jsou 450 Kč. Za jakou dobu se
náklady zmenší na třetinu, pokud každoročně klesnou náklady o 15 %?
Příklad 6: O kolik procent třeba každý rok zvýšit výrobu, aby během pěti let vzrostla o 60
%?
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2.
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4.
Doporučená literatura
DOŠLÁ, Z. a P. LIŠKA, 2014. Matematika pro nematematické obory. Praha: Grada. ISBN
978-80-247-5322-5. (s. 143-154)
50
3.2 Součet řady, speciální případy posloupností
Klíčová slova
aritmetická posloupnost, geometrická posloupnost, součet řady, konvergence nekonečné
řady
Cíle kapitoly
Cílem kapitoly je seznámit studenty s obecnými číselnými řady, speciálními typy řad ve
finanční matematice a s pojmem nekonečné řady a její konvergence.
Výstupy z učení
 4.1 využívá posloupnosti při řešení matematických problémů
Příklad, uvedení vzorového úkolu
Příklad 1: Zjistěte, zda je součet nekonečné řady ∑
1
2 𝑛−1
∞
𝑛=1 konečné číslo.
Řešení:
Nejdřív zkusíme vypsat několik prvních členů řady:
∑
1
2n−1
∞
n=1
= 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ ⋯
Obecně, n-tý člen je ve tvaru
1
2n−1
. Platí přitom
lim
n→∞
1
2n−1
= 0.
Tato skutečnost sice nestačí, abychom s určitostí věděli, že hledaný součet je konečný, avšak
kdyby lim
n→∞
an nebyla 0, řada by nekonvergovala. S určitostí můžeme říct, že řada
konverguje, pokud například
lim
n→∞
|
an
an−1
| < 1
Posloupnost má jenom kladné členy, proto absolutní hodnotu můžeme vynechat:
lim
n→∞
an
an−1
= lim
n→∞
1
2n−1
1
2n−2
= lim
n→∞
2n−2
2n−1
=
1
2
51
Protože uvedená limita je menší než 1, řada konverguje, tj. hledaný součet je konečné číslo.
Ponecháme na čtenáři, aby toto číslo zjistil, je zde možno využít geometrickou posloupnost.
Tvrzení, že řada určitě konverguje, když
lim
n→∞
|
an
an−1
| < 1,
se nazývá kritérium konvergence.
Z dalších používaných kritérii uveďme ještě, že řada konverguje, když
lim
n→∞
√an
n
< 1.
Zadání samostatné práce (úkolu)
Příklad 2: Mějme nekonečnou posloupnost
1
3
,
1
9
,
1
27
, … Jak vypadá posloupnost částečných
součtů?
Příklad 3: Je součet
1
3
+
1
9
+
1
27
+ ⋯ +
1
3n
+ ⋯ konečné číslo? Jakou má hodnotu?
Příklad 4: Jakou hodnotu má součet
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+ ⋯ +
1
n
+ ⋯
Příklad 5: Určete součet řady 1 ⋅
1
2
+ 2 ⋅
1
4
+ 3 ⋅
1
8
+ 4 ⋅
1
16
+ ⋯ + 100 ⋅
1
2100. Využijte
vzorců pro součet aritmetické a geometrické řady.
Příklad 6: V lese je přibližně 75 000 m3
dřeva. Roční přírůstek se odhaduje na 3%. Na
konci každého roku se vykácí 3 500 m3
dřeva. Vypočtěte, kolik dřeva zůstane v lese
a) po jednom roce
b) po dvou letech
c) po deseti letech.
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2.
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4.
52
Doporučená literatura
DOŠLÁ, Z. a P. LIŠKA, 2014. Matematika pro nematematické obory. Praha: Grada. ISBN
978-80-247-5322-5. (s. 143-154)
53
3.3 Jednoduché úročení, polhůtní, základní rovnice
Klíčová slova
jednoduché úročení, úroková sazba, diskont, srážková daň
Cíle kapitoly
Cílem kapitoly je připomenout studentům postupy u jednoduchého úročení, seznámit je
s rozdíly mezi úročením a bankovním diskontem a s postupem započtení srážkové daně do
finančních vzorců.
Výstupy z učení
 4.3 využívá různé druhy úročení s různou frekvencí
Příklad, uvedení vzorového úkolu
Příklad 1: Na účet s roční úrokovou sazbou 4 % p.a. a pololetním úrokovým obdobím jsme
uložili 100 000 Kč. Jakou částku si můžeme vybrat za 2 měsíce, pokud jsou úroky zdaňovány
srážkovou sazbou daně z příjmů ve výši 20 %?
Řešení:
Úrokové období je pololetní, to znamená, že jak úroková sazba (i), tak počet úrokových
období (τ) musí být tomuto formátu přizpůsobeny. Jelikož jsou rovněž úroky zdaňovány
srážkovou sazbou daně z příjmů, je nutno aplikovat čistou úrokovou sazbu.
Úrokové období = pololetí
i = 4 % p. a. = 2 % p. s.
Vliv zdanění = 0,02 ∙ (1 − 0,20) = 1,60 % p. s. = 0,016 p. s.
τ = 2 měsíce = 2/6 pololetí = 1/3 pololetí
K0= 100 000 Kč
K = ? (Kč)
K = K0 ⋅ (1 + i ⋅ τ)
K = 100 000 ⋅ (1 + 0,016 ⋅ 1/3)
54
K = 100 533,33 Kč
Za 2 měsíce si můžeme vyzvednout 100 533,33 Kč.
Zadání samostatné práce (úkolu)
Příklad 2:Jakou částku budete vracet bance, jestliže jste si od ní půjčili 55 000 Kč na 6
měsíců při roční úrokové míře 9 %?
Příklad 3: Za kolik dnů vzroste vklad 1 500 Kč na 1 600 Kč při roční úrokové míře 8 % a
použitém standardu 1 rok = 360 dní.
Příklad 4: Uložili jste na vkladní knížku u peněžního ústavu 2 000 Kč. Úroková sazba je 4
% p.a. a úroky z vkladu jsou daněny srážkovou daní ve výši 15 %. Jakou částku si můžete
vybrat za 3 měsíce?
Příklad 5: Odběratel nezaplatil dodavateli fakturu znějící na 150 000 Kč splatnou 3. 3. 2011.
Podle smlouvy má odběratel právo účtovat penále ve výši 0,05 % z fakturované částky za
každý den prodlení. Jak velké bude penále 11. 11. 2011?
Příklad 6: Banka nabízí dvě varianty placení úroku u ročního úvěru:
a, Sazba 10 % p.a. splatných při splatnosti úvěru,
b, Sazba 9,5 % p.a. splatných k datu poskytnutí úvěru.
Která varianta je pro dlužníka výhodnější?
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2. (s. 23-28)
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4.
Doporučená literatura
RADOVÁ, J., J. MÁLEK, P. JABLONSKÝ a M. RADA, 2011. Finanční matematika pro
každého – příklady + CD-ROM. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-3584-9. (s. 17-28)
55
RADOVÁ, J., P. DVOŘÁK a J. MÁLEK, 2013. Finanční matematika pro každého. 8., rozš.
vyd. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-4831-3. (s. 7-29)
56
3.4 Diskont
Klíčová slova
jednoduché úročení, úroková sazba, diskont, srážková daň
Cíle kapitoly
Cílem kapitoly je připomenout studentům postupy u jednoduchého úročení, seznámit je
s rozdíly mezi úročením a bankovním diskontem a s postupem započtení srážkové daně do
finančních vzorců.
Výstupy z učení
 4.3 využívá různé druhy úročení s různou frekvencí
Příklad, uvedení vzorového úkolu
Příklad 1: Stavební firma vydala směnku znějící na částku 1 650 000 Kč se splatností 1. 6.
2011. Obchodní společnost zakoupila tuto směnku 8. 3. 2011 při diskontní sazbě 9,5 % a 5.
4. 2011 směnku prodala při diskontní sazbě 9,3 %. Jaká byla míra zisku pro tuto obchodní
společnost?
Řešení:
a) Spočteme nákupní cenu směnky – částku po srážce obchodního diskontu
(mezi 8. 3. a 1. 6. uplyne 85 dnů):
K0 = KN ∙ (1 − d ∙
τ
360
)
K0 = 1 650 000 ∙ (1 − 0,095 ∙
85
360
) = 1 612 990 Kč
b) Spočteme prodejní cenu směnky – částku po srážce obchodního diskontu
(mezi 5. 4. a 1. 6. uplyne 57 dnů):
K0 = KN ∙ (1 − d ∙
τ
360
)
K0 = 1 650 000 ∙ (1 − 0,093 ∙
57
360
) = 1 625 704 Kč
57
c) Nyní můžeme spočítat míru zisku
(míra zisku je pouze jiný název pro roční úrokovou sazbu; mezi 8. 3. a 5. 4. uplyne 28 dnů):
K0 = KN ∙ (1 + i ∙ n)
i =
KN − K0
n ∙ K0
n =
τ
360
i =
1 625 704 − 1 612 990
1 612 990 ∙
28
360
= 10,13 %
Míra zisku pro obchodní firmu činila 10,13 %.
Zadání samostatné práce (úkolu)
Příklad 2: Osoba eskontovala na banku směnku znějící na 50 000 Kč s dobou splatnosti půl
roku.
a) Jakou používá banka diskontní sazbu, jestliže osoba za směnku obdržela 45 000 Kč?
b) Jaká byla míra zisku pro banku z této operace? (Použijte n =
183
360
).
Příklad 3: Kolik dnů zbývalo do splatnosti směnky znějící na částku 500 000 Kč, jestliže za
ni banka vyplatila částku 490 000 Kč při diskontní sazbě 10 % p.a.
Příklad 4: Určete datum splatnosti směnky znějící na 100 000 Kč, jestliže 10. 9. 2010 došlo
k eskontu. Banka vyplatila 99 250 Kč při d = 0,075 a použila konvenci 30/360.
Příklad 5: Pokladniční poukázka o jmenovité hodnotě JH splatná za 9 měsíců je v aukci
upsána s výnosem 5,28 %. Jaká je její cena, jestliže srážková daň z výnosu činí 25 %.
Příklad 6: Jakou diskontní sazbu má směnka znějící na částku 230 000 Kč, je-li aktuální cena
200 000 Kč a zbývá-li jí 10 měsíců do splatnosti?
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2. (s. 75-91)
58
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4.
Doporučená literatura
RADOVÁ, J., J. MÁLEK, P. JABLONSKÝ a M. RADA, 2011. Finanční matematika pro
každého – příklady + CD-ROM. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-3584-9. (s. 17-28)
RADOVÁ, J., P. DVOŘÁK a J. MÁLEK, 2013. Finanční matematika pro každého. 8., rozš.
vyd. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-4831-3. (s. 7-29)
59
3.5 Složené úročení, základní rovnice
Klíčová slova
složené úročení, úrokové období, úročitel, efektivní úroková sazba, smíšené úročení
Cíle kapitoly
Cílem kapitoly je připomenout studentům vzorce pro složené úročení, seznámit je
s počítáním pro různé délky úrokových období a porovnáváním finančních produktů
s různou délkou úrokových období.
Výstupy z učení
 4.3 využívá různé druhy úročení s různou frekvencí
 4.4 stanoví efektivní a reálnou úrokovou sazbu
Příklad, uvedení vzorového úkolu
Příklad 1: Kolik let je nutno ponechat peníze na účtu, aby částka 10 000 Kč narostla na 15
000 Kč? Uvažujte pololetní úrokové období, úrokovou sazbu 5 % p. a. a sazbu daně z příjmů
20 %.
Řešení:
Úrokové období je pololetí, to znamená, že je nutno proměnnou (i) tomuto formátu
přizpůsobit a proměnná (n) bude vypočtena v pololetích. Proto je nutno ji poté převést do
let.
i = 5 % p.a. = 2,5 % p.s.
vliv zdanění = 0,025 · (1 − 0,20) = 0,020 p.s.
n = ? (pololetí)
Kn = K0 ⋅ (1 +
i
m
)
n
Kn
K0
= (1 +
i
m
)
n
60
ln
Kn
K0
= ln (1 +
i
m
)
n
ln KN − ln K0 = n ∙ ln (1 +
i
m
)
n =
ln KN − ln K0
ln (1 +
i
m
)
=
ln 15 000 − ln 10 000
ln (1 + 0,02)
n = 20,48 pololetí = 10,24 let
Peníze na účtu musí ležet 10,24 let.
Zadání samostatné práce (úkolu)
Příklad 2: Při jaké úrokové sazbě se čtvrtletním připisování úroků se nám za dobu 5 let zúročí
částka 50 000 EUR na 70 EUR.
Příklad 3: Který systém splátek je lepší pro věřitele:
a) 5 000 Kč za 4 roky,
b) 1 000 Kč za rok a 3 800 Kč za 4 roky?
Příklad 4: Jaký byl počáteční kapitál a úroková sazba, při které byl uložen, víme-li že po
roce byl jeho stav 100 000 Kč a po dvou letech 110 000 Kč. Úrokové období bylo pololetní.
Příklad 5: Vklad ve výši 20 000 000 Kč vzrostl za dva roky na částku 22 900 000 Kč (po
zdanění). Úroky byly připisovány jednou ročně, ponechány na účtu a dále spolu s vkladem
úročeny. Daň placena srážkou ve výši 15 %. Jakou sazbou je vklad úročen?
Příklad 6: Pavel uložil 50 000 Kč u banky na termínovaný vklad s roční úrokovou mírou
3%. Úrokovací období vkladu je 1 den. Jakou částku našetří Pavel za pět let? Přestupnost
některého z roků zanedbejte.
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2. (s. 37-41)
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4. (s. 45-52)
61
Doporučená literatura
RADOVÁ, J., J. MÁLEK, P. JABLONSKÝ a M. RADA, 2011. Finanční matematika pro
každého – příklady + CD-ROM. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-3584-9. (s. 29-42)
RADOVÁ, J., P. DVOŘÁK a J. MÁLEK, 2013. Finanční matematika pro každého 8., rozš.
vyd. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-4831-3. (s. 29-52)
62
3.6 Smíšené úročení. Výpočet úrokové sazby a úroku
Klíčová slova
složené úročení, úrokové období, úročitel, efektivní úroková sazba, smíšené úročení
Cíle kapitoly
Cílem kapitoly je připomenout studentům vzorce pro složené úročení, seznámit je
s počítáním pro různé délky úrokových období a porovnáváním finančních produktů
s různou délkou úrokových období.
Výstupy z učení
 4.3 využívá různé druhy úročení s různou frekvencí
 4.4 stanoví efektivní a reálnou úrokovou sazbu
Příklad, uvedení vzorového úkolu
Příklad 1: Chcete si koupit televizor za 20 000 Kč za 9 měsíců. Kolik musíte dnes uložit,
jestliže úroková sazba je 12 % p.a. a úrokové období 6 měsíců?
Řešení:
Kn = K0 ⋅ (1 +
i
m
)
n
⋅ (1 + i ⋅ τ)
K0 =
Kn
(1 +
i
m
)
n
⋅ (1 + i ⋅ τ)
K0 =
20000
(1 +
0.12
2
)
n
⋅ (1 + 0,12 ⋅
3
12
)
= 18318,37
Abychom si mohli za 9 měsíců koupit televizor za 20 000 Kč, musíme dnes složit 18 318
Kč.
Zadání samostatné práce (úkolu)
Příklad 2: Na kolik se zúročí 20 000 Kč za 8 let a 3 měsíce při úrokové sazbě 12 % p.a. a
ročním úročením?
63
Příklad 3: Jaká je doba splatnosti vypočtená přesně na dny, kdy je potřebná pro zúročení
částky 200 000 Kč na 350 000 Kč při smíšeném úročení s roční úrokovou sazbou 7 % p.a. a
při ročním připisování úroků?
Příklad 4: Za jakou dobu spočtenou přesně na dni vzroste vklad 120 000 Kč na 140 000 Kč?
Banka používá úrokovou sazbu 4 % p.a. s pololetním připisováním úroků.
Příklad 5: Za 7 měsíců byste si chtěli zakoupit horské kolo za 15 000 Kč. Kolik musíte dnes
uložit do banky, jestliže nabízí 4 % úrokovou sazbu s pololetním připisováním úroků? Úroky
podléhají srážkové dani 15 %.
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2. (s. 37-41)
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4. (s. 57-62)
Doporučená literatura
RADOVÁ, J., J. MÁLEK, P. JABLONSKÝ a M. RADA, 2011. Finanční matematika pro
každého – příklady + CD-ROM. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-3584-9. (s. 42-48)
RADOVÁ, J., P. DVOŘÁK a J. MÁLEK, 2013. Finanční matematika pro každého. 8., rozš.
vyd. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-4831-3. (s. 29-52)
64
3.7 Spoření krátkodobé, využití součtu řady
Klíčová slova
spoření krátkodobé, spoření dlouhodobé, področnost, poplatek za vedení účtu
Cíle kapitoly
Cílem kapitoly je seznámit studenty s výpočty pro případ pravidelných vkladů, poukázat na
rozdíly pro případ vkladů 1x nebo vícekrát za úrokové období a ukázat, proč tyto rozdíly
vznikají.
Výstupy z učení
 4.1 využívá posloupnosti při řešení matematických problémů
 4.5 vypočítá současnou a budoucí hodnotu anuity, sestaví umořovací schéma dluhu
 4.7 ocení dluhopisy, akcie a pracuje s měnovými kurzy
Příklad, uvedení vzorového úkolu
Příklad 1: Jaká bude naspořená částka na konci roku, jestliže ukládáme měsíčně 800 Kč při
úrokové sazbě 4,6 % p.a., a to
a) počátkem každého měsíce,
b) koncem každého měsíce?
Řešení:
Za jedno úrokové období (v tomto případě 1 rok) uložíme 12 úložek ( 12 m ). Protože
spoříme pouze v rámci jednoho úrokového období (rok), jde o krátkodobé spoření:
a) ukládáme počátkem měsíce, jedná se proto o předlhůtní spoření
S = m ⋅ X ⋅ (1 +
m + 1
2m
⋅ i)
S = 12 ⋅ 800 ⋅ (1 +
12 + 1
24
⋅ 0.046) = 9839.2
b) ukládáme koncem měsíce, jedná se proto o polhůtní spoření;
S = m ⋅ X ⋅ (1 +
m − 1
2m
⋅ i)
65
S = 12 ⋅ 800 ⋅ (1 +
12 − 1
24
⋅ 0.046) = 9802.4
Při předlhůtním spoření uspoříme za rok 9 839,20 Kč, při polhůtním pouze 9 802,40 Kč.
Zadání samostatné práce (úkolu)
Příklad 2: Kolik uspoříme včetně úroků do konce roku, ukládáme-li od 1.1. tohoto roku na
začátku měsíce 1.500 Kč při úrokové sazbě 2 % p.a.?
Příklad 3: Na konci každého měsíce ukládáme na spořicí účet 2 000 Kč, úroková sazba je 2
% p.a. Kolik budeme mít na konci roku na účtu naspořeno?
Příklad 4: Kolik musíme na začátku každého měsíce ukládat, abychom při úrokové míře 5
% p.a. měli na konci roku naspořeno 50 000 Kč?
Příklad 5: Kolik musíme spořit na počátku každého měsíce, abychom za rok našetřili 25 000
Kč při úrokové sazbě 2,1 % p.a.? Předpokládejme roční úrokové období. Dále uvažujme daň
z úroků ve výši 15 %.
Příklad 6: Kolik budeme mít naspořeno za 6 měsíců, pokud ukládáme vždy na konci měsíce
1000 Kč při úrokové míře 6 % p.a. a čtvrtletním připisováním úroků?
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2. (s. 66-75)
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4. (s. 63-85)
Doporučená literatura
RADOVÁ, J., J. MÁLEK, P. JABLONSKÝ a M. RADA, 2011. Finanční matematika pro
každého – příklady + CD-ROM. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-3584-9. (s. 71-89)
RADOVÁ, J., P. DVOŘÁK a J. MÁLEK, 2013. Finanční matematika pro každého. 8., rozš.
vyd. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-4831-3. (s. 71-88)
66
3.8 Spoření dlouhodobé, využití součtu řady
Klíčová slova
spoření krátkodobé, spoření dlouhodobé, področnost, poplatek za vedení účtu
Cíle kapitoly
Cílem kapitoly je seznámit studenty s výpočty pro případ pravidelných vkladů, poukázat na
rozdíly pro případ vkladů 1x nebo vícekrát za úrokové období a ukázat, proč tyto rozdíly
vznikají.
Výstupy z učení
 4.1 využívá posloupnosti při řešení matematických problémů
 4.5 vypočítá současnou a budoucí hodnotu anuity, sestaví umořovací schéma dluhu
 4.7 ocení dluhopisy, akcie a pracuje s měnovými kurzy
Příklad, uvedení vzorového úkolu
Příklad 1: Kolik uspoříme za tři roky, budeme-li ukládat na počátku každého roku 15 000
Kč při neměnné 2,4 % sazbě p.a. a ročním připisování úroků? Od poplatků a daně z úroků
abstrahujme.
Řešení:
Využijeme vzoreček pro předlhůtní dlouhodobé spoření:
S = a ⋅ (1 + i) ⋅
(1 + i)n
− 1
i
S = 15 000 ⋅ (1 + 0,024) ⋅
(1 + 0,024)3
− 1
0.024
= 47 194,8
Za tři roky našeho spoření uspoříme 47 194,80 Kč.
Zadání samostatné práce (úkolu)
Příklad 2: Kolik uspoříme za tři roky, spoříme-li začátkem každého měsíce 1 500,- Kč při
neměnné 2 % roční úrokové sazbě? Předpokládejme roční úrokové období. Dále uvažujme
daň z úroků ve výši 15 %.
67
Příklad 3: Kolik musíme spořit počátkem každého čtvrtletí, abychom za pět let uspořili
částku 450 000 Kč při neměnné roční úrokové sazbě 1,5 % a ročním připisováním úroků?
Předpokládejme daň z úroků ve výši 15 %.
Příklad 4: Za šest let plánujeme nákup nového automobilu. Značka, kterou jsme si vybrali,
má podle vývoje cen stát v té době 580 000 Kč. Kolik musíme spořit na počátku každého
roku, abychom za šest let uspořili 580 000 Kč? Úspory dáváme na účet úročený sazbou 2,6
% p.a. s měsíčním připisováním úroků. Předpokládejme daň z úroků ve výši 15 %.
Příklad 5: Spoříme 10 let vždy koncem měsíce 1 000 Kč při 7 % p.a. a pololetním připisování
úroků. Jaká bude naspořená částka, když banka strhává na začátku každého čtvrtletí poplatek
ve výši 100 Kč a úroky jsou zdaněny srážkou u zdroje ve výši 15 %.
Příklad 6: Kolik peněz jsme měli uloženo na účtu k 1. 1. 2001, jestliže na konci roku 2008
budeme disponovat částkou 2 350 000 Kč? Účet je úročen úrokovou sazbou 7,4 % p.a.
s ročním připisováním úroků a vždy počátkem měsíce ukládáme pravidelně 5 000 Kč. Úroky
jsou daněny 15 % srážkovou daní.
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2. (s. 66-75)
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4. (s. 63-84)
Doporučená literatura
RADOVÁ, J., J. MÁLEK, P. JABLONSKÝ a M. RADA, 2011. Finanční matematika pro
každého – příklady + CD-ROM. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-3584-9. (s. 71-88)
RADOVÁ, J., P. DVOŘÁK a J. MÁLEK, 2013. Finanční matematika pro každého. 8., rozš.
vyd. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-4831-3. (s. 71-88)
68
3.9 Důchody jako pravidelné platby z investice
Klíčová slova
důchod, anuita, úmor, poplatek za vedení účtu
Cíle kapitoly
Cílem kapitoly je seznámit studenty s výpočty pro současnou hodnotu příštích výplat, ukázat
podobnosti a rozdíly oproti případu pravidelných vkladů, a ukázat podobnosti a rozdíly
s případem splácení dluhu.
Výstupy z učení
 4.5 vypočítá současnou a budoucí hodnotu anuity, sestaví umořovací schéma dluhu
Příklad, uvedení vzorového úkolu
Příklad 1: Jaká částka nám zajistí důchod 7 000 Kč vyplácený na začátku každého roku po
dobu 12 let při úrokové sazbě 3,5% p.a. s ročním připisováním úroků?
Řešení:
Hledáme současnou hodnotu budoucích plateb. Platby budou vypláceny pouze 1x za úrokové
období, postačí proto použít dlouhodobý vzorec (popř. do složitějšího tvaru dosadit m = 1).
Zadání abstrahuje od poplatků, tudíž od nich také abstrahujeme.
D = a ⋅ (1 + i) ⋅
1 − vn
i
D = 7000 ⋅ (1 + 0.035) ⋅
1 − (
1
1 + 0.035
)
12
0.035
Současná hodnota důchodu je 70 011 Kč.
Zadání samostatné práce (úkolu)
Příklad 2: Kolik jsme museli naspořit, jestli-že si nyní chceme nechat z naspořené částky
vyplácet měsíčně polhůtně důchod ve výši 5 900 Kč po dobu 15 let? Úroková sazbu 4,8 %
p.a. se čtvrtletním připisováním úroků, úroky jsou zdaněny 15 % srážkovou daní.
69
Příklad 3: Jak vysoká dnes složená částka nám zajistí výplatu věčného předlhůtního důchodu
ročního ve výši 10 000 Kč od pětašedesáti let věku, je-li nám dnes třicet jedna a uvažujeme
neměnnou úrokovou sazbu 5 % p.a.?
Příklad 4: Absolvent VŠE chce začít ve 25 letech spořit na důchod (65). V důchodu si chce
nechat vyplácet po dobu 15 let měsíčně polhůtně 10 000 Kč s růstem výše této platby vždy
o 0,2% oproti předchozímu měsíci. Kolik musí spořit na konci každého měsíce, pokud po
celou dobu spoření i vyplácení důchodu bude účet úročen roční úrokovou sazbou 6 %
s měsíčním připisováním úroků a z úroků bude strhávána srážková daň 15 %?
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2. (s. 49-75)
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4. (s. 85-105)
Doporučená literatura
RADOVÁ, J., J. MÁLEK, P. JABLONSKÝ a M. RADA, 2011. Finanční matematika pro
každého – příklady + CD-ROM. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-3584-9. (s. 89-109)
RADOVÁ, J., P. DVOŘÁK a J. MÁLEK, 2013. Finanční matematika pro každého. 8., rozš.
vyd. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-4831-3. (s. 89-131)
70
3.10 Splácení úvěru s konstantní anuitou, podobnosti mezi
splácením úvěru a důchodem
Klíčová slova
důchod, anuita, úmor, poplatek za vedení účtu
Cíle kapitoly
Cílem kapitoly je seznámit studenty s výpočty pro současnou hodnotu příštích výplat, ukázat
podobnosti a rozdíly oproti případu pravidelných vkladů, a ukázat podobnosti a rozdíly
s případem splácení dluhu.
Výstupy z učení
 4.5 vypočítá současnou a budoucí hodnotu anuity, sestaví umořovací schéma dluhu
Příklad, uvedení vzorového úkolu
Příklad 1: Pan Novák si při koupi bytu půjčil na hypotéční úvěr 1 000 000 Kč. Banka úvěr
poskytla na 25 let, s roční úrokovou mírou fixovanou na celou dobu splácení na 5,7 % a
měsíčním úrokovým obdobím. Úvěr je splácen formou měsíčních splátek, první po měsíci
od jeho poskytnutí, poslední po uplynutí 25 let. Určete výšku jedné splátky. (Abstrahujte od
poplatků.)
Řešení:
Během 25 let bude splaceno 25 ⋅ 12 = 300 splátek. Roční úrokovou míru musíme
přepočítat na jeden měsíc:
i
m
=
0,057
12
= 0,00475
Můžeme využít budoucí hodnotu všech plateb – v okamžiku splacení poslední splátky
platí:
D ⋅ (1 +
i
m
)
300
= a ⋅ (1 +
i
m
)
299
+ a ⋅ (1 +
i
m
)
298
+ ⋯ + a ⋅ (1 +
i
m
)
1
+ a
71
D ⋅ (1 +
i
m
)
300
= a ⋅ ((1 +
i
m
)
299
+ (1 +
i
m
)
298
+ ⋯ + (1 +
i
m
)
1
+ 1)
D ⋅ (1 +
i
m
)
300
= a ⋅
(1 +
i
m
)
300
− 1
(1 +
i
m
) − 1
= a ⋅ m ⋅
(1 +
i
m
)
300
− 1
i
Po dosazení dostáváme:
1 000 000 ⋅ (1 + 0,00475)300
= a ⋅ 12 ⋅
(1 + 0,00475)300
− 1
0,057
Odtud vychází a = 6 260,90Kč.
Zadání samostatné práce (úkolu)
Příklad 2: Řešte předchozí příklad pomocí současné hodnoty příštích plateb.
Příklad 3: Určete v předchozím příkladu, jak by se splátky hypotéky změnily, jestliže by se
doba splatnosti prodloužila na 30 let.
Příklad 4: Banka poskytla podnikateli koncem roku 2007 úvěr na 10 let ve výši 1 000 000
Kč. Roční úroková míra úvěru je 15 % (úrokovací období je jeden rok) a podnikatel ho má
splatit v deseti stejných splátkách vždy na konci roku. Určete výši jedné splátky. Kolik peněz
zaplatí podnikatel na úrocích?
Příklad 5: Manželé Lošákovi si na koupi automobilu rozhodli vzít spotřebitelský úvěr ve
výši 300 000 Kč. Úvěrová společnost jim nabídla půjčku za následujících podmínek:
měsíčně po dobu 10 let budou splácet 3 000 Kč, za vedení účtu společnosti zaplatí 60 Kč
měsíčně, za schválení žádosti 0,9 % z vypůjčené částky, přičemž minimální výše poplatku
za schválení úvěru je 2800 Kč. Kolik zaplatí Lošákovi navíc na úrocích a poplatcích? Kolik
celkově zaplatí manželé za tento úvěr?
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2. (s. 91-101)
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4. (s. 121-146)
72
Doporučená literatura
RADOVÁ, J., J. MÁLEK, P. JABLONSKÝ a M. RADA, 2011. Finanční matematika pro
každého – příklady + CD-ROM. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-3584-9. (s. 89-130)
RADOVÁ, J., P. DVOŘÁK a J. MÁLEK, 2013. Finanční matematika pro každého. 8., rozš.
vyd. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-4831-3. (s. 89-131)
73
3.11 Splácení úvěru nestejnou splátkou, úmor
Klíčová slova
důchod, anuita, úmor, poplatek za vedení účtu
Cíle kapitoly
Cílem kapitoly je seznámit studenty s výpočty pro současnou hodnotu příštích výplat, ukázat
podobnosti a rozdíly oproti případu pravidelných vkladů, a ukázat podobnosti a rozdíly
s případem splácení dluhu.
Výstupy z učení
 4.5 vypočítá současnou a budoucí hodnotu anuity, sestaví umořovací schéma dluhu
Příklad, uvedení vzorového úkolu
Příklad 1: Jak vypadá úmor během 1. roku u příkladu 1 z předešlé kapitoly? Jaký je zůstatek
dluhu po 12 splátkách?
Pan Novák si při koupi bytu půjčil na hypotéční úvěr 1 000 000 Kč. Banka úvěr poskytla na
25 let, s roční úrokovou mírou fixovanou na celou dobu splácení na 5,7 % a měsíčním
úrokovým obdobím. Úvěr je splácen formou měsíčních splátek, první po měsíci od jeho
poskytnutí, poslední po uplynutí 25 let. Určete výšku jedné splátky. (Abstrahujte od
poplatků.)
Řešení:
Z předchozího řešení již víme, že splátka vychází a = 6 260,90 Kč. Pro úmor v každém
období platí
Mr = a ⋅ vn−r+1
V 1. měsíci byl proto úmor
Mr = a ⋅ v300−1+1
= a ⋅ (
1
1 +
i
m
)
300−1+1
= 6260,90 ⋅ (
1
1 + 0,00475
)
300
= 1 510,89Kč
Úmor se v každém měsíci o něco zvyšuje, ve 12. měsíci dosáhne hodnotu 1591,73Kč.
Zůstatek dluhu můžeme počítat postupně po každé splátce (zkuste to s pomocí Excelu
vypočítat). Druhá možnost je využít vzorec
74
Dr = a ⋅
1 − vn−r
i
m
Odkud
D12 = 6 260,90 ⋅
1 − v289
0,00475
= 982 982,33Kč.
Za 1. rok tedy bylo splacenou asi 17 000Kč z původního dluhu.
Zadání samostatné práce (úkolu)
Příklad 2: Spočtete úmor v prvním a posledním období u příkladů z minulé kapitoly.
Příklad 3: Banka poskytla podnikateli koncem roku 2007 úvěr na 10 let ve výši 1 000 000
Kč. Roční úroková míra úvěru je 15 % (úrokovací období je jeden rok) a podnikatel ho má
splatit v deseti splátkách vždy na konci roku, tak, aby úmor byl v každém roku stejný. Určete
výši splátek. Kolik peněz zaplatí podnikatel na úrocích?
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2. (s. 91-101)
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4. (s. 121-146)
Doporučená literatura
RADOVÁ, J., J. MÁLEK, P. JABLONSKÝ a M. RADA, 2011. Finanční matematika pro
každého – příklady + CD-ROM. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-3584-9. (s. 109-131)
RADOVÁ, J., P. DVOŘÁK a J. MÁLEK, 2013. Finanční matematika pro každého. 8., rozš.
vyd. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-4831-3. (s. 89-131)
75
3.12 Směnky a směnečné obchody. Skonto. Běžné účty.
Klíčová slova
Směnka, skonto, úvěr, forfaiting, faktoring, leasing
Cíle kapitoly
Student získá znalosti v oblasti jednotlivých úvěrů a leasingu. Je schopen si stanovit
jednotlivé výše splátek. Dokáže posoudit, zda jaké formy financování jsou pro něj
nejvýhodnější. Na základě studia je schopen sestavit platnou směnku.
Výstupy z učení
 4.5 vypočítá současnou a budoucí hodnotu anuity, sestaví umořovací schéma dluhu
Příklad, uvedení vzorového úkolu
Příklad 1: Firma odprodala dne 2. 9. 2017 směnku bance, znějící na částku 150 000 Kč, se
splatností 2. 10. 2017. Jaká byla při diskontní sazbě 10 % p.a. částka, kterou banka firmě
vyplatila?
Řešení:
Diskontovanou směnečnou částku, kterou banka firmě vyplatí, určíme podle vzorce
SčD = SčD − Dob = SčD ⋅ (1 −
tz − PD
36 000
)
Dob je výše obchodního diskontu směnky;
Sč je směnečná částka;
tz je zbytková doba do splatnosti směnky ve dnech;
PD je diskontní sazba v p.a.
SčD = 150 000 ⋅ (1 −
30 ⋅ 10
36 000
) = 148 750
Banka vyplatí klientovi částku 148 750 Kč.
Příklad 2: Prodávající firma dodala zboží v celkové prodejní ceně 200 000 Kč. Částka je
splatná do čtyř týdnů, přičemž při zaplacení do jednoho týdne nabízí prodávající firma
76
možnost skonta ve výši 2 % z prodejní ceny. V případě okamžitého zaplacení by musela
kupující firma nákup financovat krátkodobým úvěrem, úroková sazba činí 12 % p.a. Je pro
kupující firmu za daných podmínek výhodné využít skonta a zaplatit zboží do týdne či
nikoliv?
Řešení:
Absolutní výši skonta určíme podle vzorce:
Sk =
rsk ⋅ PC
100
=
2 ⋅ 200 000
100
= 4 000
Výše úroků u z potencionálního úvěru použitého na okamžité zaplacení do sedmi dnů
zjistíme:
U =
(PC − Sk) ⋅ t ⋅ p
360 ⋅ 100
=
(200 000 − 4 000) ⋅ 21 ⋅ 12
360 ⋅ 100
= 1 372
Protože je absolutní výše skonta vyšší než úroky z alternativního úvěrového financování, je
okamžité zaplacení při využití skonta a refinancování úvěrem výhodnější než odložené
zaplacení plné ceny.
Shodný výsledek dostaneme i při přepočtu skonta na relativní roční bázi a jeho porovnání
s úrokovou sazbou z úvěru. Skonto na relativní roční bázi vypočítáme:
Psk =
Sk ⋅ 100 ⋅ 360
(PC − Sk) ⋅ t
=
4 000 ⋅ 100 ⋅ 360
(200 000 − 4 000) ⋅ 21
= 34,99 %
Zadání samostatné práce (úkolu)
Příklad 3: Vypočítejte, kolik dostane vyplaceno klient, jemuž banka eskontuje směnku s
nominální hodnotou 100 000 Kč 35 dní před dobou splatnosti při diskontní sazbě 12 % p.a.
Příklad 4: Dodavatel se dohodl s odběratelem, že mu dodá technologické zařízení za 1 mil.
Kč na roční obchodní úvěr, krytý směnkou. Dodavatel (majitel směnky) tuto směnku
eskontuje u banky, banka požaduje roční diskontní sazbu 12 % p.a. Jakou výši
eskontovaného úvěru dodavatel obdrží, jestliže směnku eskontuje: a) ihned? b) po 8
měsících?
Příklad 5: Firma eskontovala dne 8. 9. 2007 na banku směnku na částku 115 000 Kč se
splatností 6. 12. 2007. Jaká byla při diskontní sazbě 6 % p.a. výše částky, kterou banka firmě
připsala dne 8. 9. 2007 na účet za eskontovanou směnku?
77
Příklad 6: Prodávající dodává zboží v ceně 20 000 Kč, částka je splatná do čtyř týdnů. Při
zaplacení do jednoho týdne poskytuje prodávající skonto 2 % z ceny. Úroková sazba činí 12
%. Vypočítejte, zda se kupujícímu vyplatí zaplatit dříve.
Příklad 7: Platební podmínky pro dodávky zboží jsou mezi výrobcem a obchodním
podnikem dojednány tak, že platba za zboží se uskuteční do 36 dnů netto pokladna a pokud
je účet vyrovnán do 8 dnů, bude dodavatelem poskytnuta sleva (skonto) 2 %. Pozn.: Netto
pokladna = zaplatit stanovenou cenu zboží v účtované částce.
a) Zjistěte ekvivalentní úrokovou sazbu v případě, že odběratel využije tzv. placení na cíl
(zaplatí tedy do stanovené lhůty splatnosti).
b) Jak dalece je výhodné pro odběratele platit účty (faktury) až po 46 dnech (dodavatel
reaguje totiž na nezaplacené účty – faktury až 10 dnů po termínu splatnosti).
Příklad 8: Žadatel mladší 36 let chce získat hypoteční úvěr na koupi rodinného domu
s jednou bytovou jednotkou, jehož cena je 2 500 000 Kč. Jakou částku mu banka poskytne?
Jak vysoké budou měsíční anuity při úrokové sazbě 5 %p.a., počítá-li, že úvěr splatí za 15
let. Jak vysoké budou anuity v případě poskytnutí státní podpory?
Příklad 9: Rodina Zochova bude potřebovat na rekonstrukci chalupy 750 000 Kč. Úřednice
jim nabídla 2 možnosti – hypoteční úvěr a americkou hypotéku. Hypoteční úvěr by spláceli
20 let při úroku 4,89 % p.a. a měsíční splátce 4 904 Kč, poplatek za schválení úvěru je 0,9
% z vypůjčené částky (minimálně 6 000,- Kč, maximálně 25 000 Kč), poplatek za vedení
účtu 100 Kč/měsíc. 5 300 Kč zaplatí za odhad tržní ceny bytu a každoročně 2 800 Kč za
pojištění bytu. Americkou hypotéku by spláceli 10 let při úroku 4,39 % p.a. a měsíční splátce
7 733 Kč, poplatek za schválení úvěru je 0,87 % z vypůjčené částky (minimálně 10 000 Kč,
maximálně 35 000 Kč), poplatek za vedení účtu 150 Kč/měsíc. Částku 3 100 Kč zaplatí za
odhad tržní ceny bytu a každoročně 4 300 Kč za pojištění bytu. Vypočítejte, na kolik vyjde
rekonstrukce v případě klasického hypotečního úvěru a americké hypotéky. Pokud mohou
Zochovi využít daňovou úsporu, vypočítejte, jaká bude její výše?
78
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2. (s. 75-83)
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4. (s. 45-52)
Doporučená literatura
EPPING, R. CH., 2004. Průvodce globální ekonomikou. Praha: Portál. ISBN 978-80-7178-
825-6.
RADOVÁ, J., J. MÁLEK, P. JABLONSKÝ a M. RADA, 2011. Finanční matematika pro
každého – příklady + CD-ROM. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-3584-9. (s. 152-201)
RADOVÁ, J., P. DVOŘÁK a J. MÁLEK, 2013. Finanční matematika pro každého. 8., rozš.
vyd. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-4831-3. (s. 152-201)
79
3.13 Hypoteční úvěry. Spotřebitelské úvěry. Forfaiting,
faktoring a leasing
Klíčová slova
Směnka, skonto, úvěr, forfaiting, faktoring, leasing
Cíle kapitoly
Student získá znalosti v oblasti jednotlivých úvěrů a leasingu. Je schopen si stanovit
jednotlivé výše splátek. Dokáže posoudit, zda jaké formy financování jsou pro něj
nejvýhodnější. Na základě studia je schopen sestavit platnou směnku.
Výstupy z učení
 4.5 vypočítá současnou a budoucí hodnotu anuity, sestaví umořovací schéma dluhu
Příklad, uvedení vzorového úkolu
Příklad 1: Porovnejte z hlediska klienta dvě varianty spotřebitelských úvěrů a rozhodněte,
která pro něj bude výhodnější. V obou případech se jedná o úvěr ve výši 100 000 Kč
jednorázově čerpaný se splatností 1 rok.
1. Varianta – za sjednání úvěru si banka účtuje poplatek 500 Kč (splatný při sjednání
smlouvy), úvěr je splatný během jednoho roku ve čtyřech pravidelných čtvrtletních splátkách
ve výši 27 000 Kč.
2. Varianta – za sjednání úvěru banka neúčtuje žádný poplatek, úvěr je splatný během
jednoho roku ve dvanácti pravidelných měsíčních splátkách ve výši 9 000 Kč.
Řešení:
Výhodnost určíme na základě porovnání roční průměrné sazby nákladů u obou variant. Pro
1. variantu počítáme:
100 000
(1 + i)0
=
500
(1 + i)0
+
27 000
(1 + i)1/4
+
27 000
(1 + i)2/4
+
27 000
(1 + i)3/4
+
27 000
(1 + i)4/4
Tato rovnice je splněna při úrokové sazbě i = 0,1321, tedy RPSN je 13,21%.
Podobně pro 2. variantu počítáme:
80
100 000
(1 + i)0
=
9 000
(1 + i)1/12
+
9 000
(1 + i)2/12
+
9 000
(1 + i)3/12
+
9 000
(1 + i)4/12
Tato rovnice je splněna při úrokové sazbě i = 0,1545, tedy RPSN je 15,45%.
Příklad 2: Forfaitér odkupuje dne 12. dubna 2007 od svého klienta pohledávku za
následujících podmínek: splatnost pohledávky je 11. dubna 2008, metodou diskontu je
straight discount annually, diskontní sazba činí 6 % p.a., grace days je sedm dnů, úroková
metoda 365/360, výše pohledávky činí 172 500 euro. Jaká bude částka vyplacená forfaitérem
při odkupu pohledávky.
Řešení:
Výši diskontu vypočítáme dle vztahu:
DSD =
NH ⋅ (t + tGD) ⋅ PD
100 ⋅ 360
=
172 500 ⋅ (365 + 5) ⋅ 6
100 ⋅ 360
= 10 637
Částku, kterou foifaitér vyplatí, získáme odečtením diskontu od nominální hodnoty
pohledávky:
DH = NH − DSD = 172 500 − 10 637 = 161 863.
Zadání samostatné práce (úkolu)
Příklad 3: Novomanželé Balouškovi se rozhodli zrekonstruovat kuchyni, aby si mohli pořídit
i nové elektrospotřebiče, musí si půjčit 30 000 Kč. Úvěrová společnost jim nabídla půjčku
za následujících podmínek: měsíčně po dobu 3 let budou splácet 970 Kč, za vedení účtu
společnosti zaplatí 70 Kč měsíčně, za schválení žádosti 0,9 % z vypůjčené částky, přičemž
minimální výše poplatku za schválení úvěru je 350 Kč. Jakou částku navíc zaplatí
Balouškovi bance?
Příklad 4: Forfaitér odkupuje dne 12. dubna 2007 od svého klienta pohledávku za
následujících podmínek: splatnost pohledávky je 11. dubna 2008, metodou diskontu je
discount to yield , diskontní sazba činí 6% p.a., grace days je sedm dnů, úroková metoda
365/360, výše pohledávky činí 172 500 euro. Jaká bude částka vyplacená forfaitérem při
odkupu pohledávky.
81
Příklad 5: Společnost se zaobírá dodávkou zboží do obchodních řetězců. Na základě
smlouvy, dodavatel vystavuje faktury se splatností 60 dní.
Klient vystaví fakturu na 100 000 SKK. Po předložení faktury spolu se standardními
podklady na odkup, klientovi je zpravidla do 24 hodin na účet připsaná záloha ve výši 80 %
z hodnoty faktury, snížený o zpracovatelský poplatek a úroky v dohodnuté výši.
Zpracovatelský poplatek činí 0.5 % z hodnoty faktury a úroky 5 % p.a. z financované časti.
Příklad 6: Leasingová společnost uzavřela s nájemcem finanční leasing na dobu 4 let na stroj
v pořizovací ceně 1 000 000 Kč, přičemž dodavatel vyžaduje zálohu ve výši 300 000 Kč 3
měsíce před dodáním stroje. Rekapitalizační procento činí 12 %. Leasingová společnost
používá na refinancování celého případu úvěr od banky s úrokovou sazbou 18 % ročně a
zároveň požaduje leasingovou marži ve výši 12 %. Odkupní cena na konci leasingu se
předpokládá nulová. Vypočítejte výši leasingové splátky a leasingový koeficient, jestliže:
a) uvažujeme pravidelné roční splátky na konci období
b) uvažujeme pravidelné roční splátky na začátku období
c) v případě č. 2 má být první splátka zvýšená o 30 % ceny stroje po rekapitalizaci, přičemž
navýšení se nepromítá do leasingového úročení
d) v případě č. 1 uvažujeme měsíční splátky
Příklad 7: Leasingová společnost pořídila strojní linku za 14 500 Kč, ostatní náklady spojené
s pořízením byly 421 Kč. Doba životnosti linky je 3 roky. Strojní linku pronajala na 3 roky
formou finančního leasingu. Pravidelné roční splátky jsou 6 000 Kč. Nepředpokládá se
nezaručená zbytková hodnota.
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2. (s. 75-91)
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4. (s. 171-188)
82
Doporučená literatura
EPPING, R. CH., 2004. Průvodce globální ekonomikou. Praha: Portál. ISBN 978-80-7178-
825-6.
RADOVÁ, J., P. DVOŘÁK a J. MÁLEK, 2013. Finanční matematika pro každého. 8., rozš.
vyd. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-4831-3. (s. 152-201)
83
3.14 Oceňování dluhopisů
Klíčová slova
dluhopis, vnitřní hodnota dluhopisu, rendita, durace dluhopisu
Cíle kapitoly
Student získá znalosti v oblasti oceňování různých typů dluhopisů pomocí vnitřní hodnoty,
výnosnosti dluhopisu, citlivosti vnitřní hodnoty na požadovanou výnosnost.
Výstupy z učení
 4.7 ocení dluhopisy, akcie a pracuje s měnovými kurzy
 4.8 provádí analýzu citlivosti cen dluhopisů na změnu úrokové míry (durace,
konvexita)
Příklad, uvedení vzorového úkolu
Příklad 1: Kupónový dluhopis o nominální hodnotě 15 000 Kč s pololetními kupónovými
platbami a kupónovou sazbou 8 % byl vydán 1. 4. 2007. Doba splatnosti je 7 let, roční výnos
do splatnosti činí 9,6 %. Jaká je jeho vnitřní hodnota v době emise?
Řešení:
Vnitřní hodnotu zjistíme jako současnou hodnotu budoucích plateb. Dluhopis přináší dva
typy plateb:
1, jmenovitá hodnota JH = 15 000Kč bude vyplacena o 7 let,
2, dluhopis přináší kupónovou platbu C = 8 % JH každého půl roku.
Vnitřní hodnotu dluhopisu stanovíme jako
VH = JH ⋅
1
(1 + i)n
+ C ⋅
1 − vn
i
Protože kupónová platba je vyplácena půlročně, budeme i v předchozím vzorci uvažovat
půlroční „připisování úroků“ (uvědomte si, že to je jenom přirovnání na základě matematické
podobnosti). Proto tedy
84
VH = JH ⋅
1
(1 +
i
2
)
2⋅n + C ⋅
1 − (
1
1 +
i
2
)
2⋅n
i
2
VH = 15 000 ⋅
1
(1 + 0,048)14
+ 1 200 ⋅
1 − (
1
1 + 0,048
)
14
0,048
= 19 812,69 Kč.
Pokud požadujeme výnosnost do doby splatnosti na úrovni 9,6 %, jsme ochotni zaplatit za
dluhopis maximálně 19 812,69 Kč.
Zadání samostatné práce (úkolu)
Příklad 2: Jakou nejvyšší sumu byste byli ochotni zaplatit za dluhopis z předešlého příkladu,
pokud požadujete výnosnost
a) 11 %
b) 8 %.
Pokuste se tyto sumy nejdřív odhadnout.
Příklad 3: Paní Chalupová koupila dne 13. prosince 2007 kupónový dluhopis o nominální
hodnotě 10 000 Kč, který byl emitován13.října 2006 s dobou splatnosti 6 let. Kupónové
platby se uskutečňují čtvrtletně (1. kupón vyplacen 13. ledna 2007), datum ex-kupón je 8.
ledna 2008, kupónová sazba činí 10 %, efektivní úroková míra je 8,5 %. Určete spravedlivou
kótovanou a hrubou cenu ke dni koupě.
Příklad 4: Dluhopis s nominální hodnotou 13 000 Kč má dobu splatnosti 6 let. Cena k datu
emise je 14 000 Kč. Kupónové platby jsou prováděny pololetně s roční sazbou 7 %. Určete
roční výnos do splatnosti.
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2.
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4. (s. 189-236)
85
Doporučená literatura
RADOVÁ, J., J. MÁLEK, P. JABLONSKÝ a M. RADA, 2011. Finanční matematika pro
každého – příklady + CD-ROM. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-3584-9. (s. 131-195)
RADOVÁ, J., P. DVOŘÁK a J. MÁLEK, 2013. Finanční matematika pro každéh. 8., rozš.
vyd. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-4831-3. (s. 131-195)
86
3.15 Durace, konvexita
Klíčová slova
dluhopis, vnitřní hodnota dluhopisu, rendita, durace dluhopisu
Cíle kapitoly
Student získá znalosti v oblasti oceňování různých typů dluhopisů pomocí vnitřní hodnoty,
výnosnosti dluhopisu, citlivosti vnitřní hodnoty na požadovanou výnosnost.
Výstupy z učení
 4.7 ocení dluhopisy, akcie a pracuje s měnovými kurzy
 4.8 provádí analýzu citlivosti cen dluhopisů na změnu úrokové míry (durace,
konvexita)
Příklad, uvedení vzorového úkolu
Příklad 1: Jaká bude durace u řešeného příkladu z předchozí kapitoly? Odhadněte pomocí
durace změnu vnitřní hodnoty dluhopisu při nárůstu výnosnosti o 0,5 bps.
Řešení:
Duraci určíme podle vzorce
DM =
JH ⋅ n ⋅ vn
+ C ⋅ (1 ⋅ v + 2 ⋅ v2
+ ⋯ + n ⋅ vn)
JH ⋅ vn + C ⋅ (v + v2 + ⋯ + vn)
znovu využijeme půlroční „úročení“, protože to bude vést k nejjednodušším výpočtům.
DM
=
15 000 ⋅ 14 ⋅ (
1
1,048
)
14
+ 1 200 ⋅ (1 ⋅ (
1
1,048
) + 2 ⋅ (
1
1,048
)
2
+ ⋯ + 14 ⋅ (
1
1,048
)
14
)
15 000 ⋅ (
1
1,048
)
14
+ 1 200 ⋅ ((
1
1,048
) + (
1
1,048
)
2
+ ⋯ + (
1
1,048
)
14
)
87
DM
=
15 000 ⋅ 14 ⋅ (
1
1,048
)
14
+ 1 200 ⋅ (1 ⋅ (
1
1,048
) + 2 ⋅ (
1
1,048
)
2
+ ⋯ + 14 ⋅ (
1
1,048
)
14
)
15 000 ⋅ (
1
1,048
)
14
+ 1 200 ⋅ (
1
1,048
⋅
(
1
1,048
)
14
− 1
1
1,048
− 1
)
DM = 9,593
Při nárůstu výnosnosti o 0,5bps se vnitřní hodnota změní o
ΔVH ≈ −DM ⋅
P
1 + i
⋅ Δi = −9,593 ⋅
15 000
1,048
⋅ 0,005 = −686,55 Kč.
Znaménko naznačuje, že vnitřní hodnota dluhopisu klesne (to není neočekávatelné, dluhopis
přinese určité již dané platby v budoucnu a my zde počítáme současnou hodnotu těchto
plateb).
Zadání samostatné práce (úkolu)
Příklad 2: Pokuste se odhad změny vnitřní hodnoty u minulého příkladu dále zlepšit
využitím konvexity. (Použijte Excel pro výpočet součtů v čitateli a jmenovateli zlomků.)
Příklad 3: Jaká bude durace u dluhopisu z předešlého příkladu, pokud požadujete výnosnost
a) 11 %,
b) 8 %.
Pokuste se tyto hodnoty nejdřív odhadnout.
Příklad 4: Mějme kupónovou obligaci o nominální hodnotě 15 000 Kč. Doba splatnosti je 8
let, požadovaný roční nominální výnos do splatnosti činí 9 %. Kupónové platby jsou
vypláceny pololetně, roční kupónová sazba je 7 %. Vypočtěte střední dobu splatnosti a
modifikovanou duraci.
Příklad 5: Uvažujme obligaci s nominální hodnotou 20 000 Kč, která vyplácí kupónové
platby jednou ročně ve výši 6 % nominální hodnoty. Doba splatnosti je 5 let, výnos do
splatnosti 8 %. Vypočtěte přibližnou novou tržní cenu obligace a) při zvýšení úrokové sazby
o 1 %, b) při snížení úrokové sazby o 1 % (v obou případech zahrňte i konvexitu).
88
Příklad 6: Pomocí durace určete, jak se změní tržní úroková míra, pokud víte, že se cena
dluhopisu s kupónovou sazbou 7,2 % p.a. v důsledku této změny sníží o 1,25 %. Kupóny
tohoto dluhopisu jsou vypláceny ročně. Cena dluhopisu na trhu před změnou zajišťuje
výnosnost do doby splatnosti ve výši 5,6 % p.a. a do splatnosti zbývá ještě 5 let.
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2.
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4. (s. 217-239)
Doporučená literatura
RADOVÁ, J., J. MÁLEK, P. JABLONSKÝ a M. RADA, 2011. Finanční matematika pro
každého – příklady + CD-ROM. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-3584-9. (s. 175-195)
RADOVÁ, J., P. DVOŘÁK a J. MÁLEK, 2013. Finanční matematika pro každého. 8., rozš.
vyd. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-4831-3. (s. 131-201)
89
3.16 Imunizace dluhopisu
Klíčová slova
dluhopis, vnitřní hodnota dluhopisu, rendita, durace dluhopisu
Cíle kapitoly
Student získá znalosti v oblasti oceňování různých typů dluhopisů pomocí vnitřní hodnoty,
výnosnosti dluhopisu, citlivosti vnitřní hodnoty na požadovanou výnosnost.
Výstupy z učení
 4.7 ocení dluhopisy, akcie a pracuje s měnovými kurzy
 4.8 provádí analýzu citlivosti cen dluhopisů na změnu úrokové míry (durace,
konvexita)
Příklad, uvedení vzorového úkolu
Příklad 1: Investor může investovat do dvou typů dluhopisů:
a) kupónový dluhopis se jmenovitou hodnotou 100 Kč, kupónovou sazbou 12 %,
kupónem vypláceným pololetně a dobou do splatnosti 3 roky,
b) diskontovaný dluhopis se jmenovitou hodnotou 100 Kč a dobou do splatnosti 5 let.
Požadovaná výnosnost je 12 % p.a. Jaké doporučíte složení portfolia, pokud chce investovat
v časovém horizontu čtyři roky a zabezpečit se proti změně úrokové sazby?
Řešení:
Spočteme durace obou typů dluhopisu
DM =
JH ⋅ n ⋅ vn
+ C ⋅ (1 ⋅ v + 2 ⋅ v2
+ ⋯ + n ⋅ vn)
JH ⋅ vn + C ⋅ (v + v2 + ⋯ + vn)
a, DM =
100⋅6⋅
1
1,066+6⋅(1⋅
1
1.06
+2⋅
1
1.062+⋯+6⋅
1
1.066)
100
= 5,21 pololetí = 2,61 roku
b, DM = n = 5 let
Namícháme portfolio z těchto dvou dluhopisů tak, aby platilo, že durace celého portfolia je
4 roky:
4 = V1 ⋅ 2,61 + V2 ⋅ 5
Protože musí platit V2 = 1 − V1, snadno zjistíme, že váhy dluhopisů v portfoliu budou
90
V1 = 42 %, V2 = 58 %.
Zadání samostatné práce (úkolu)
Příklad 2: Banka má následující strukturu aktiv a pasiv:
hodnota durace výnosnost
Aktiva 𝑃𝐴 = 1 𝑚𝑖𝑙. 𝐷𝐴 = 5 𝑖 𝐴 = 12 % 𝑝. 𝑎.
Pasiva 𝑃𝑃 = 1 𝑚𝑖𝑙. 𝐷 𝑃 = 1,5 𝑖 𝐵 = 10,5 % 𝑝. 𝑎.
Jaké je riziko banky v případě, že se úroková sazba změní o 1bps?
Příklad 3: Na trhu jsou dostupné tyto dva dluhopisy:
a) dvouletý diskontovaný dluhopis o jmenovité hodnotě 30 000Kč,
b) kupónový dluhopis o jmenovité hodnotě 50 000Kč, s kupónovou sazbou 6,7 % p.a. při
roční výplatě kupónu, splatný za 5 let.
Investor chce investovat 7,5 mil. Kč v horizontu 4 let. Určete částku na nákup kupónového
dluhopisu tak, aby portfolio složené z těchto dvou dluhopisů bylo imunizováno proti malé
změně úrokové míry. Současná tržní úroková míra činí 3,8 % p.a.
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2.
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4. (s. 217-238)
Doporučená literatura
RADOVÁ, J., J. MÁLEK, P. JABLONSKÝ a M. RADA, 2011. Finanční matematika pro
každého – příklady + CD-ROM. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-3584-9. (s. 175-195)
RADOVÁ, J., P. DVOŘÁK a J. MÁLEK, 2013. Finanční matematika pro každého. 8., rozš.
vyd. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-4831-3. (s. 131-201)
91
3.17 Akcie, devizové obchody, finanční a termínové
obchody, výkonosti portfolia
Klíčová slova
Akcie, ážio, devizový trh, riziko, střední hodnota, rozptyl, výnosy, faktory,
Cíle kapitoly
Student se během předmětu seznámí s problematikou devizových trhů, vztahů mezi nimi.
Dále se podrobně seznámí s akciemi. Dokáže odhadnout rizika spojená s portfoliem a
faktory, které jej ovlivňují.
Výstupy z učení
 4.7 ocení dluhopisy, akcie a pracuje s měnovými kurzy
Příklad, uvedení vzorového úkolu
Příklad 1: Stanovte vnitřní hodnotu akcie firmy za předpokladu, že očekáváte výši dividendy
na konci 1. roku 120 Kč, uvažujete 14 % požadovanou míru výnosnosti a předpokládáte:
a) konstantní výši dividend v jednotlivých letech
b) konstantní roční míru růstu dividend ve výši 10 %
Řešení:
a, PA =
DIV
r
PA =
DIV
r
=
120
0,14
= 857Kč
b, PA = DIV0 ⋅
1+g
r−g
DIV0 =
DIV1
1+g
=
120
1+0.1
= 109,09
PA = 109,09 ⋅
1 + 0,1
0,14 − 0,1
= 3 000Kč
Zadání samostatné práce (úkolu)
Příklad 2: V loňském roce byla vyplacena dividenda v hodnotě 75 Kč. Odhadněte kurz akcie
(vnitřní hodnotu), předpokládáte-li konstantní dividendu a výnosnost 20 %.
92
Příklad 3: Jak vysokou dividendu vyplatí a.s. za tři roky, když nyní vyplatila běžnou
dividendu
21,60 Kč a.s. udržuje konstantní míru růstu dividend 5 % ročně.
D0 = 21,60 Kč
g = 5 %
D3 = ?
Příklad 4: Investor odhaduje, že dividenda na konci tohoto roku bude 1,1 Kč na jednu akcii.
Kolik zaplatí za jednu akcii počátkem příštího roku, předpokládá-li, že dividendy se budou
vyplácet trvale s konstantním růstem 5 % ročně, a požaduje přitom 10 % roční výnos?
Příklad 5: Akciová společnost A má základní kapitál 300 mil. Kč a rozhodla se jej navýšit
na 400 mil. Kč. Kurz starých akcií byl kótován na úrovni 3 000 Kč za akcii. Nové akcie jsou
prodávány za 2 500 Kč a mají stejné právo na první následující dividendu jako staré akcie.
Stanovte: a) Odebírací poměr, b) Hodnotu odebíracích práv pro 18 starých akcií, které
vlastníte, c) Kolik mladých akcií si můžete koupit, pakliže uplatníte odebírací práva ke všem
akciím, které vlastníte, d) Na jakém novém kurzu se akcie společnosti A ustálí na trhu po
emisi mladých akcií?
Příklad 6: Pavel uložil 50 000 Kč u konkurenční banky na termínovaný vklad s roční
úrokovou mírou 3 %. Úrokovací období vkladu je 1 měsíc. Kolik Kč zaplatí banka Pavlovi
na úrocích za jeden měsíc? Kolik Kč zbude po zdanění? Pavel bude mít peníze uložené v
bance po dobu pěti let. Úroky banka nepřipisuje ke vkladu, ale posílá je Pavlovi na jeho
běžný účet. Urči jeho majetek po pěti letech spoření.
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2.
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4. (s. 239-282)
93
Doporučená literatura
RADOVÁ, J., J. MÁLEK, P. JABLONSKÝ a M. RADA, 2011. Finanční matematika pro
každého – příklady + CD-ROM. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-3584-9. (s. 207-225)
RADOVÁ, J., P. DVOŘÁK a J. MÁLEK, 2013. Finanční matematika pro každého. 8., rozš.
vyd. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-4831-3. (s. 207-225)
94
3.18 Akcie, devizové obchody, finanční a termínové
obchody, výkonosti portfolia, dvousložkové a
vícesložkové portfolio
Klíčová slova
Akcie, ážio, devizový trh, riziko, střední hodnota, rozptyl, výnosy, faktory,
Cíle kapitoly
Student se během předmětu seznámí s problematikou devizových trhů, vztahů mezi nimi.
Dále se podrobně seznámí s akciemi. Dokáže odhadnout rizika spojená s portfoliem a
faktory, které jej ovlivňují.
Výstupy z učení
 4.7 ocení dluhopisy, akcie a pracuje s měnovými kurzy
Příklad, uvedení vzorového úkolu
Příklad 1: Předpokládejme období jednoho měsíce (30 dnů). Na počátku byla vložena částka
74 200 Kč, desátého dne byla opět vložena částka 37 100 Kč a dvacátý den byla vybrána
částka 25 000 Kč. Hodnota portfolia desátý den (spolu s vloženou částkou 37 100 Kč) byla
103 100 Kč, hodnota portfolia dvacátého dne (po vybrání částky 25 000 Kč) byla 104 400
Kč a koncová hodnota portfolia na konci měsíce byla 109 000 Kč.
Řešení:
V tomto případě nastávaly toky na konci každé subperiody. Máme tedy:
Vs = 74 200 C1 = 37 100
V1 = 103 100 C2 = −25 000
V2 = 104 400
VE = 109 000
Dosazením do vzorce máme:
1 + r =
103 100 − 37 100
74 200
⋅
104 400 + 25 000
103 100
⋅
109 000
104 400
95
r = 16,5579
Zadání samostatné práce (úkolu)
Příklad 2: Na počátku byla vložena částka 74 200 Kč, desátého dne byla opět vložena částka
37 100 Kč a dvacátý den byla vybrána částka 25 000 Kč. Hodnoty portfolia těsně před
peněžními toky byly postupně 66 000 Kč a 129 400 Kč a hodnota portfolia na konci měsíce
byla ve výši 109 000 Kč.
Příklad 3: Vyjdeme ze zadání předchozího příkladu. Z uvedených hodnot portfolia
potřebujeme pouze počáteční hodnotu VS = 74 200 a koncovou hodnotu VE = 109 000.
Váhy jsou pak
W1 = (30 − 10)/30 = 0,6667
W2 = (30 − 20)/30 = 0,3333
Příklad 4: Předpokládejme měsíční časovou periodu (30 dnů). Na počátku je hodnota
portfolia 50 000 Kč, desátý den je vloženo 20 000 Kč a dvacátý den je vybráno 10 000 Kč.
Konečná hodnota portfolia třicátý den je 70 000 Kč
Příklad 5: Předpokládejme časovou periodu 1 měsíc (30 dnů). Na počátku je vložena částka
200 000 Kč. Dvacátého dne je vložena další částka 400 000 Kč a po vložení této částky má
portfolio hodnotu 800 000 Kč. Na konci měsíce má pak portfolio hodnotu 500 000 Kč.
Vypočítejme výkonost portfolia TWR metodou (toky na konci subperiody) a modifikovanou
Dietzovou metodou.
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2.
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4. (s. 239-282)
96
Doporučená literatura
RADOVÁ, J., J. MÁLEK, P. JABLONSKÝ a M. RADA, 2011. Finanční matematika pro
každého – příklady + CD-ROM. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-3584-9. (s. 207-225)
RADOVÁ, J., P. DVOŘÁK a J. MÁLEK, 2013. Finanční matematika pro každého. 8., rozš.
vyd. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-4831-3. (s. 207-225)
97
3.19 Měnové kurzy
Klíčová slova
Měnový kurz, měnový trh, dovoz, vývoz, revalvace, devalvace
Cíle kapitoly
Student se během předmětu seznámí s problematikou mezinárodních měnových systémů a
vztahů mezi nimi. Seznámí se s pojmy měnového systému. Naučí se stanovit měnový kurz.
Výstupy z učení
 4.7 ocení dluhopisy, akcie a pracuje s měnovými kurzy
Příklad, uvedení vzorového úkolu
Příklad 1: Určete křížový kurz AKEUR/USD, znáte-li aktuální kurzy AKCZK/EUR = 29,
53 a AKCZK/USD = 24, 47.
Řešení:
Budeme postupovat podle schématu odvození výše:
1USD = 24,47 Kč
1Kč =
1
29,53
EUR
1USD =
24,47
29,53
EUR
Křížový kurz AKEUR/USD je 0,83, neboli jeden americký dolar dostaneme koupit za 0,83
euro.
Zadání samostatné práce (úkolu)
Příklad 2: Kolik euro dostaneme za 1 000 Kč, je-li kurz koruny k euru kotován jako 24,010
CZK/EUR?
Příklad 3: Kolik korun dostaneme v bance za 150 dolarů, je-li kurz dolaru ke koruně kotován
jako 0,05676 USD/CZK?
98
Příklad 4: Určete křížový kurz PKEUR/USD, znáte-li promptní kurzy PKCZK/EUR =
27,765 a PKCZK/USD = 21,424.
Příklad 5: Máme kurz koruny k dolaru a k švýcarskému franku:
SR CZK/USD = 24,40 CZK/USD,
SR CZK/CHF = 19,10 CZK/CHF
My máme určit kurz SRCHF/USD .
Příklad 6: Kolik norských korun (NOK) bude stát jedna švédská koruna (SEK)? Kolik
švédských korun bude stát jedna norská koruna? Víte, že AKCZK/NOK = 3,796 a
AKCZK/SEK = 3,062.
Příklad 7: Vypočtěte termínové měnové kurzy TKN USD/EUR a TKP USD/EUR k datu za
tři měsíce ode dneška, máte-li k dispozici aktuální kurzy AKN CZK/EUR = 28, 85, AKN
CZK/USD = 23, 91, AKP CZK/EUR = 21, AKP CZK/USD = 25, 03, iEUR = 1, 08%p.a.,
iUSD = 2, 57%p.a.
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2.
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4. (s. 263-283)
Doporučená literatura
JÍLEK J., 2013. Finance v globální ekonomice II – Měnová a kurzová politika. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-8822-7. (s. 333-390)
RADOVÁ, J., J. MÁLEK, P. JABLONSKÝ a M. RADA, 2011. Finanční matematika pro
každého – příklady + CD-ROM. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-3584-9. (s. 225-231)
RADOVÁ, J., P. DVOŘÁK a J. MÁLEK, 2013. Finanční matematika pro každéh. 8., rozš.
vyd. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-4831-3. (s. 152-201)
99
3.20 Úvod do analýzy časových řad, klouzavý průměr
Klíčová slova
časové řady, klouzavý průměr, diference, index růstu
Cíle kapitoly
Cílem kapitoly je seznámit studenty se základem problematiky časových řad a ukazatelů
jejich průběhu.
Výstupy z učení
 4.1 využívá posloupnosti při řešení matematických problémů
 4.2 pracuje s časovými řadami, sčítá a analyzuje jejich konvergenci
Příklad, uvedení vzorového úkolu
Příklad 1: Měsíční výroba cementu v ČR během roku 2011 tvoří časovou řadu 536, 384,
727, 789, 817, 798, 817, 816, 817, 765, 675, 358 (v tis. tun). Pro účely srovnání měsíční
produkce cementu sestavte časovou řadu produkcí pro standardní měsíc o délce
a) 30 dnů
b) 365/12 dnů.
Řešení:
Pro očištěnou výrobu v lednu platí:
a) pro standardní měsíc o délce 30 dnů:
536
31
⋅ 30 = 518,71 tun
536
31
⋅
365
12
= 525,21 tun
Pro další měsíce provedeme očištění podobně. Všechny výchozí i očištěné údaje jsou
uvedeny následující tabulce:
100
Zadání samostatné práce (úkolu)
Příklad 2: Měsíční výroba hraček firmy ABC během roku 2015 představuje časovou řadu
222, 258, 298, 306, 304, 200, 247, 301, 222, 400, 350, 201 v ks. Pro účely srovnání měsíční
produkce cementu sestavte časovou řadu produkcí pro standardní měsíc o délce 30 dnů.
Příklad 3: Měsíční výroba hraček firmy ABC během měsíců 1. – 11. 2015 představuje
časovou řadu 222, 258, 298, 306, 304, 200, 247, 301, 222, 400, 350, v ks. Pro účely srovnání
měsíční produkce cementu sestavte časovou řadu produkcí pro standardní měsíc o délce
365/11 dnů.
Příklad 4: Uvažujme časovou řadu výroby elektrické energie (v TWh) v Maďarsku v letech
2000 – 2012. Pokuste se vyrovnat tuto řadu pomocí klouzavého průměru délky 3, pak pomocí
klouzavého průměru délky 5.
Rok t ty MA(3) MA(5)
2000 1 38,6
2001 2 41,6
2002 3 43,1
2003 4 45,2
2004 5 47,2
101
2005 6 51,4
2006 7 53,5
2007 8 56,0
2008 9 59,3
2009 10 62,7
2010 11 66,5
2011 12 69,1
2012 13 68,1
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2.
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4.
Doporučená literatura
ARLT, J. a M. ARTLOVÁ, 2009. Ekonomické časové řady. Praha: Professional Publishing.
ISBN 978-80-86946-85-6. (s. 13-22)
ARLT, J., M. ARLTOVÁ a E. RULÍKOVÁ, 2004. Analýza ekonomických časových řad s
příklady. Praha: Oeconomica. ISBN 80-245-0777-3. (s. 20-46)
102
3.21 Diference a index růstu
Klíčová slova
časové řady, klouzavý průměr, diference, index růstu
Cíle kapitoly
Cílem kapitoly je seznámit studenty se základem problematiky časových řad a ukazatelů
jejich průběhu.
Výstupy z učení
 4.1 využívá posloupnosti při řešení matematických problémů
 4.2 pracuje s časovými řadami, sčítá a analyzuje jejich konvergenci
Příklad, uvedení vzorového úkolu
Příklad 1: Průměrná hrubá měsíční nominální mzda v Ústeckém kraji za roky 2004 - 2008
je v následující tabulce. Určete nárůst (případně pokles) měsíční nominální mzdy. Určete
průměrný přírůstek za jeden rok.
rok mzda
2004 15 322
2005 16 345
2006 17 113
2007 19 606
2008 20 962
Řešení:
Pro přírůstek (přesněji diferenci) v roku 2005 platí:
d2005 = a2005 − a2004 = 16345 − 15322 = 1023
Všechny výsledky jsou v následující tabulce:
rok mzda diference d
2004 15 322 ---
2005 16 345 1 023
2006 17 113 768
103
2007 19 606 2 493
2008 20 962 1 356
Průměrný absolutní přírůstek je proto
𝑑̅ =
(1023 + 768 + 2493 + 1356)
4
= 1410
Příklad 2: V předchozím příkladu určete procentní nárůst (případně pokles) měsíční
nominální mzdy. Určete průměrné tempo růstu za jeden rok.
Řešení:
Pro procentní nárůst (přesněji koeficient růstu) v roku 2005 platí:
k2005 =
a2005
a2004
=
16345
15322
= 1,0673
Všechny výsledky jsou v následující tabulce:
rok mzda
koeficient
růstu k
2004 15 322 ---
2005 16 345 1,0668
2006 17 113 1,0470
2007 19 606 1,1457
2008 20 962 1,0692
Průměrný koeficient růstu je proto
k̅ = √1,0668 + 1,0470 + 1,1457 + 1,0692
4
= 1,082
Průměrný nárůst za uvedené roky je 8,2%.
Zadání samostatné práce (úkolu)
Příklad 3: Průměrné hrubé měsíční nominální mzdy ve firmě CDEi za roky 2004 - 2008 jsou
následující: Určete nárůst (pokles) měsíční nominální mzdy. Pomocí průměrné diference se
pokuste odhadnout mzdu v dalším roku.
rok mzda
2004 16 222
104
2005 17 645
2006 18 113
2007 20 804
2008 22 359
Příklad 4: Průměrná výroba čokolád ve firmě DITO a.s. za měsíce 1. – 7. roku 2017 činí (v
tis ks):
Leden 58 000
Únor 68 000
Březen 55 000
Duben 48 000
Květen 47 000
Červen 47 000
Červenec 45 000
Zjistěte diference u počtu vyrobených kusů. Pomocí průměrné diference se pokuste
odhadnout počet kusů v dalším období.
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2.
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4.
Doporučená literatura
ARLT, J. a M. ARTLOVÁ, 2009. Ekonomické časové řady. Praha: Professional Publishing.
ISBN 978-80-86946-85-6. (s. 13-22)
ARLT, J., M. ARLTOVÁ a E. RULÍKOVÁ, 2004. Analýza ekonomických časových řad s
příklady. Praha: Oeconomica. ISBN 80-245-0777-3. (s. 20-66)
105
3.22 Diference a index růstu
Klíčová slova
časové řady, klouzavý průměr, diference, index růstu
Cíle kapitoly
Cílem kapitoly je seznámit studenty se základem problematiky časových řad a ukazatelů
jejich průběhu.
Výstupy z učení
 4.1 využívá posloupnosti při řešení matematických problémů
 4.2 pracuje s časovými řadami, sčítá a analyzuje jejich konvergenci
Příklad, uvedení vzorového úkolu
Příklad 2: Průměrná hrubá měsíční nominální mzda v Ústeckém kraji za roky 2004 - 2008
je v následující tabulce. Určete procentní nárůst (případně pokles) měsíční nominální mzdy.
Určete průměrné tempo růstu za jeden rok.
rok mzda
2004 15 322
2005 16 345
2006 17 113
2007 19 606
2008 20 962
Řešení:
Pro procentní nárůst (přesněji koeficient růstu) v roku 2005 platí:
𝑘2005 =
𝑎2005
𝑎2004
=
16345
15322
= 1,0673
106
Všechny výsledky jsou v následující tabulce:
rok mzda
koeficient
růstu k
2004 15 322 ---
2005 16 345 1,0668
2006 17 113 1,0470
2007 19 606 1,1457
2008 20 962 1,0692
Průměrný koeficient růstu je proto
𝑘̅ = √1,0668 + 1,0470 + 1,1457 + 1,0692
4
= 1,082
Průměrný nárůst za uvedené roky je 8,2%.
Zadání samostatné práce (úkolu)
Příklad 2: Průměrné hrubé měsíční nominální mzdy ve firmě CDEi za roky 2004 - 2008 jsou
následující: Určete koeficienty růstu. Pomocí průměrného tempa růstu se pokuste odhadnout
mzdu v dalším roku.
rok mzda
2004 16 222
2005 17 645
2006 18 113
2007 20 804
2008 22 359
Příklad 3: Průměrná výroba čokolád ve firmě DITO a.s. za měsíce 1. – 7. roku 2017 činí
(v tis ks):
Leden 58 000
Únor 68 000
Březen 55 000
Duben 48 000
Květen 47 000
Červen 47 000
107
Červenec 45 000
Zjistěte diference a koeficienty růstu u počtu vyrobených kusů. Pomocí průměrného tempa
růstu se pokuste odhadnout počet kusů v dalším období.
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2.
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4.
Doporučená literatura
ARLT, J. a M. ARTLOVÁ, 2009. Ekonomické časové řady. Praha: Professional Publishing.
ISBN 978-80-86946-85-6. (s. 25-46)
ARLT, J., M. ARLTOVÁ a E. RULÍKOVÁ, 2004. Analýza ekonomických časových řad s
příklady. Praha: Oeconomica. ISBN 80-245-0777-3. (s. 20-66)
108
3.23 Složky časových řad
Klíčová slova
časové řady, modelování časové řady, složky časové řady
Cíle kapitoly
Cílem kapitoly je seznámit studenty se základními složkami časových řad a ukazatelů jejich
průběhu, jejich modelováním.
Výstupy z učení
 4.1 využívá posloupnosti při řešení matematických problémů
 4.2 pracuje s časovými řadami, sčítá a analyzuje jejich konvergenci
Příklad, uvedení vzorového úkolu
Příklad 1: Sestavme rovnici trendové funkce ve tvaru přímky pro údaje o tržbách obchodní
organizace a určeme předpověď této tržby pro následující dva měsíce. Hodnoty a potřebné
výpočty jsou uvedeny v tabulce.
Měsíc t 𝑦𝑡
Leden 1 328541
Únor 2 325154
Březen 3 330244
Duben 4 329570
Květen 5 332489
Červen 6 340025
Červenec 7 338962
Srpen 8 342110
Řešení:
K určení parametrů přímky nejdřív rozšíříme tabulku o další dva sloupce, 𝑡2
, 𝑡 ⋅ 𝑦𝑡 a další
dva řádky, součet a průměr:
109
Měsíc t ty tt y 2
t
Leden 1 328541 328541 1
Únor 2 325154 650308 4
Březen 3 330244 990732 9
Duben 4 329570 1318280 16
Květen 5 332489 1662445 25
Červen 6 340025 2040150 36
Červenec 7 338962 2372734 49
Srpen 8 342110 2736880 64
Součty 36 2667095 12100070 204
Průměry 4,5 333386,9 1512509 25,5
Určení parametrů přímky:
𝑎1̂ =
12100070 − 4,5 ⋅ 2667095
204 − 8 ⋅ 4,52
= 2 336,7
𝑎0̂ = 333386,9 − 2336,7 ⋅ 4,5 = 322 871,58
Odhadovaná trendová přímka je proto
𝑇𝑡 = 322 871,58 + 2 336.7 ⋅ 𝑡
Předpověď (extrapolace) pro další dva měsíce odpovídá hodnotám trendové přímky pro
hodnoty 𝑡 = 9 a 𝑡 = 10
𝑇9 = 343 902,22 𝐾č
𝑇10 = 346 238,95 𝐾č
Zadání samostatné práce (úkolu)
Příklad 2: Sestavme rovnici trendové funkce pro údaje o tržbách obchodní organizace.
Výchozí hodnoty jsou uvedeny v tabulce. Doplňte potřebné chybějící hodnoty, střední
110
hodnoty a součty v tabulce. Následně proveďte výpočty. Ověřte, že předpověď pro měsíce
červen a červenec jsou obdobné jako v řešeném příkladu.
Měsíc t ty tt y 2
t
Leden 1 328541
Únor 2 325154
Březen 3 330244
Duben 4 329570
Květen 5 332489
Součty
Průměry
Příklad 3: V tabulce jsou uvedeny údaje o počtu provedených oprav autoopravnou ty za léta
1993 - 2005. Odhadněte trendovou funkci. Porovnejte hodnoty předpovědí pomocí trendové
funkce se skutečnými hodnotami.
Rok ty t 𝑡2
𝑦𝑡 ⋅ 𝑡 ˆ
tT
93 1901 1
94 2085 2
95 2124 3
96 2431 4
97 2858 5
98 3164 6
99 3150 7
00 2963 8
01 2746 9
02 2986 10
03 3103 11
04 3287 12
05 3488 13

průměrStudijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2.
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4.
111
Doporučená literatura
ARLT, J. a M. ARTLOVÁ, 2009. Ekonomické časové řady. Praha: Professional Publishing.
ISBN 978-80-86946-85-6. (s. 25-46)
ARLT, J., M. ARLTOVÁ a E. RULÍKOVÁ, 2004. Analýza ekonomických časových řad s
příklady. Praha: Oeconomica. ISBN 80-245-0777-3. (s. 20- 66)
112
3.24 Modelování časových řad
Klíčová slova
časové řady, modelování časové řady, složky časové řady
Cíle kapitoly
Cílem kapitoly je seznámit studenty se základními složkami časových řad a ukazatelů
jejich průběhu, jejich modelováním.
Výstupy z učení
 4.1 využívá posloupnosti při řešení matematických problémů
 4.2 pracuje s časovými řadami, sčítá a analyzuje jejich konvergenci
Příklad, uvedení vzorového úkolu
Příklad 1: Uvažujeme údaje o tržbách obchodní organizace ty v mil. Kč v letech 1994-2010
(v tabulce). Trend v tržbách popište funkcí 𝑇𝑡 = 𝑎0 + 𝑎1 ⋅ 𝑡 + 𝑎2 ⋅ 𝑡2
.
Rok ty
94 8,3
95 7,8
96 8,8
97 9,9
98 11,7
99 13,3
00 15,5
01 16,5
02 16,1
03 15,9
04 18,1
05 20,1
06 20,7
07 23,4
08 26,5
09 28,6
10 31,9
113
 293,1
Řešení:
Potřebné výpočty jsou uvedeny v tabulce níže.
Rok 𝑦𝑡 𝑡′ (𝑡′)2 (𝑡′)4
𝑦𝑡 ⋅ 𝑡′ 𝑦𝑡 ⋅ (𝑡′)2
94 8,3 -8 64 4096 -66,4 531,2
95 7,8 -7 49 2401 -54,6 382,2
96 8,8 -6 36 1296 -52,8 316,8
97 9,9 -5 25 625 -49,5 247,5
98 11,7 -4 16 256 -46,8 187,2
99 13,3 -3 9 81 -39,9 119,7
0 15,5 -2 4 16 -31 62
1 16,5 -1 1 1 -16,5 16,5
2 16,1 0 0 0 0 0
3 15,9 1 1 1 15,9 15,9
4 18,1 2 4 16 36,2 72,4
5 20,1 3 9 81 60,3 180,9
6 20,7 4 16 256 82,8 331,2
7 23,4 5 25 625 117 585
8 26,5 6 36 1296 159 954
9 28,6 7 49 2401 200,2 1401,4
10 31,9 8 64 4096 255,2 2041,6
 293,1 0 408 17544 569,1 7445,5
(Zde jsme vhodně přeznačili časovou proměnnou 𝑡, není to nutné, ale tímto způsobem se
sníží součty v posledním řádku.)
Určení parametrů přímky:
𝑎1̂ =
569,1
408
= 1,395
𝑎0̂ =
293,1 ⋅ 17544 − 408 ⋅ 7445,5
17 ⋅ 17544 − 4082
= 15,968
𝑎2̂ =
17 ⋅ 17544 − 293,1 ⋅ 408
17 ⋅ 17544 − 4082
= 0,053
Parabolickou trendovou funkci modelující trend v tržbách dané organizace odhadujeme tedy
ve tvaru
𝑇𝑡 = 15,968 + 1,395 ⋅ 𝑡′ + 0,053 ⋅ (𝑡′)2
114
Zadání samostatné práce (úkolu)
Příklad 2: Vytvořte grafický model následujícího úlohy z předchozí kapitoly. Výsledky
interpretujte. Pokuste se vložit spojnici trendu. K modelu využijte program Excel. Zjistěte
další statistické hodnoty.
Rok ty t t
 2
t ty t ˆ
tT
93 1901 1 -6 36 -11406
94 2085 2 -5 25 -10425
95 2124 3 -4 16 -8496
96 2431 4 -3 9 -7293
97 2858 5 -2 4 -5716
98 3164 6 -1 1 -3164
99 3150 7 0 0 0
00 2963 8 1 1 2963
01 2746 9 2 4 5492
02 2986 10 3 9 8958
03 3103 11 4 16 12412
04 3287 12 5 25 16435
05 3488 13 6 36 20928
 36286 - 0 182 20688
Příklad 3: Vytvořte grafický model následujícího úlohy z předchozí kapitoly. Výsledky
interpretujte. Pokuste se vložit spojnici trendu. K modelu využijte program Excel. Zjistěte
další statistické hodnoty.
Rok ty t  2
t  4
t ˆ
tT
94 8,3 -8 64 4096 8,200
95 7,8 -7 49 2401 8,800
96 8,8 -6 36 1296 9,506
97 9,9 -5 25 625 10,318
98 11,7 -4 16 256 11,236
99 13,3 -3 9 81 12,260
00 15,5 -2 4 16 13,390
01 16,5 -1 1 1 14,626
02 16,1 0 0 0 15,968
03 15,9 1 1 1 17,416
04 18,1 2 4 16 18,970
05 20,1 3 9 81 20,630
115
06 20,7 4 16 256 22,396
07 23,4 5 25 625 24,268
08 26,5 6 36 1296 26,246
09 28,6 7 49 2401 28,330
10 31,9 8 64 4096 30,520
 293,1 0 408 17544 293,080
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2.
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4.
Doporučená literatura
ARLT, J. a M. ARTLOVÁ, 2009. Ekonomické časové řady. Praha: Professional Publishing.
ISBN 978-80-86946-85-6. (s. 25-49)
ARLT, J., M. ARLTOVÁ a E. RULÍKOVÁ, 2004. Analýza ekonomických časových řad s
příklady. Praha: Oeconomica. ISBN 80-245-0777-3. (s. 20-66)
116
3.25 Trendová složka, modely trendových složek
Klíčová slova
časové řady, trend, průběh trendu časové řady
Cíle kapitoly
Cílem kapitoly je seznámit studenty s průběhem časové řady a jednotlivými modely
trendových složek časových řad.
Výstupy z učení
 4.2 pracuje s časovými řadami, sčítá a analyzuje jejich konvergenci
Příklad, uvedení vzorového úkolu
Příklad 1: V tabulce jsou uvedeny sezónně očištěné čtvrtletní údaje o podílu nezaměstnaných
30 – 34 letých na celkové nezaměstnanosti Slovenska v letech 2005 až 2011 v %. Vyberte
vhodný model trendu, ověřte jeho vhodnost (analyzujte rezidua) a určete předpovědi do
konce roku 2012. Testujte významnost regresních koeficientů na hladině významnosti 5 %.
Řešení:
Sestrojíme graf časové řady. Z grafu vidíme klesající lineární trend sezónně očištěné časové
řady, doporučujeme graf sestavit v prostředí programu Excel.
Sezónně očištěná čtvrtletní časová řada podílu nezaměstnaných 30 – 34 letých na celkové
nezaměstnanosti Slovenska v letech 2005 – 2011
117
Z hodnot v Excelu následně zjistíme hodnotu korelačního koeficientu 𝑟 = 0,983, která
ukazuje na vysokou závislost mezi proměnnou a časem. Koeficient determinace 𝑅2
= 0,967
modelem je vysvětleno 96,7 % celkové variability.
Zadání samostatné práce (úkolu)
Příklad 2: Vytvořte grafický model následujícího úlohy z předchozí kapitoly. Výsledky
interpretujte. Pokuste se vložit spojnici trendu. K modelu využijte program Excel. Zjistěte
další statistické hodnoty.
Rok ty t t
 2
t ty t ˆ
tT
93 1901 1 -6 36 -11406
94 2085 2 -5 25 -10425
95 2124 3 -4 16 -8496
96 2431 4 -3 9 -7293
97 2858 5 -2 4 -5716
98 3164 6 -1 1 -3164
99 3150 7 0 0 0
00 2963 8 1 1 2963
01 2746 9 2 4 5492
02 2986 10 3 9 8958
03 3103 11 4 16 12412
04 3287 12 5 25 16435
05 3488 13 6 36 20928
118
 36286 - 0 182 20688
Příklad 3: Vytvořte grafický model úlohy z předchozí kapitoly. Výsledky interpretujte.
Pokuste se vložit spojnici trendu. K modelu využijte program Excel. Zjistěte další statistické
hodnoty.
Rok ty t  2
t  4
t ˆ
tT
94 8,3 -8 64 4096 8,200
95 7,8 -7 49 2401 8,800
96 8,8 -6 36 1296 9,506
97 9,9 -5 25 625 10,318
98 11,7 -4 16 256 11,236
99 13,3 -3 9 81 12,260
00 15,5 -2 4 16 13,390
01 16,5 -1 1 1 14,626
02 16,1 0 0 0 15,968
03 15,9 1 1 1 17,416
04 18,1 2 4 16 18,970
05 20,1 3 9 81 20,630
06 20,7 4 16 256 22,396
07 23,4 5 25 625 24,268
08 26,5 6 36 1296 26,246
09 28,6 7 49 2401 28,330
10 31,9 8 64 4096 30,520
 293,1 0 408 17544 293,080
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2.
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4.
Doporučená literatura
ARLT, J. a M. ARTLOVÁ, 2009. Ekonomické časové řady. Praha: Professional Publishing.
ISBN 978-80-86946-85-6. (s. 49-69)
119
ARLT, J., M. ARLTOVÁ a E. RULÍKOVÁ, 2004. Analýza ekonomických časových řad s
příklady. Praha: Oeconomica. ISBN 80-245-0777-3. (s. 20-66)
120
3.26 Využití časových řad k prognózování
Klíčová slova
časové řady, trend, průběh trendu časové řady, využití časových řad
Cíle kapitoly
Cílem kapitoly je seznámit studenty s vhodností používání a využitím časových řad pro
předpovídání a prognózování.
Výstupy z učení
 4.2 pracuje s časovými řadami, sčítá a analyzuje jejich konvergenci
Příklad, uvedení vzorového úkolu
Příklad 1: Jsou dány čtvrtletní údaje sezónně očištěné časové řady spotřeby elektrické
energie firmy Stella v letech 2007 – 20011 v kWh. Cílem analýzy je najít model trendu a
ověřit jeho vhodnost v období v letech 2007 – 2009, otestovat autokorelaci nesystematické
složky, určit předpovědi na roky 2010 – 2011 a posoudit, zda je vybraný model vhodný na
předpovídání.
121
Řešení:
Z grafu vidíme, že vývoj spotřeby elektrické energie má kvadratický trend. Období analýzy
rozdělíme na dvě části. Na období interpolace (prvních 12 údajů) a období verifikace modelu
(posledních 8 údajů).
Při aplikaci kvadratického modelu je zřejmé, že na 5% hladině významnosti nejsou
koeficienty přírůstku a zrychlení statisticky významné. Kvadratický trend proto není vhodně
zvolený. Pokud odhadneme kvadratický trend na celé časové řadě od I/2007 – IV/2011,
dostaneme výsledky uvedené níže. Z tohoto výstupu je zřejmé, že koeficient přírůstku je na
rozdíl od koeficientu zrychlení stále na 5 % hladině významnosti statisticky nevýznamný.
Upravíme proto kvadratický trend tak, že tento koeficient z modelu vyloučíme. Využijeme
Excel. Dostáváme pak rovnici druhého modelu Yt = 663,5 + 0,758 * t2
, kde koeficient
zrychlení je statisticky významný. Vypočtěme ještě z reziduí hodnotu reziduálního rozptylu:
3201,587. Z této hodnoty lze usuzovat, že sezónně očištěné hodnoty řady spotřeby elektrické
energie firmy Stella budou kolísat kolem kvadratického trendu o směrodatnou chybu: 56,58
[kWh].
Zadání samostatné práce (úkolu)
Příklad 2: Časová řada obsahuje údaje o produkci firmy v měsících březen až říjen roku
2012 (v tis. Kč): 121 120 124 125 127 129 132 134. Sestavte rovnici trendové přímky a
určete bodovou i 90 %-ní intervalovou předpověď produkce na měsíc listopad a prosinec
2012.
Příklad 3: Uvažujeme časovou řadu hodnot 8,3 8,4 8,9 8,6 8,8 8,8 8,7 8,7 8,6 8,5 7,9,
udávající spotřebu určité suroviny (v kg) na 1 obyvatele České republiky v letech 2001 -
122
2011. Vyrovnejte časovou řadu pomocí kvadratického trendu a testujte významnost
odhadnutých koeficientů na hladině významnosti 5 %. Znázorněte graficky původní i
vyrovnaná data. Odhadněte spotřebu suroviny v roce 2012.
Studijní literatura
Povinná literatura
PROUZA, L., 2007. Finanční a pojistná matematika. Praha: Vysoká škola ekonomie a
managementu. ISBN 978-80-86730-17-2.
ŠOBA, O., M. ŠIRŮČEK a R. PTÁČEK, 2013. Finanční matematika v praxi. Praha: Grada.
ISBN 978-80-247-4636-4.
Doporučená literatura
ARLT, J. a M. ARTLOVÁ, 2009. Ekonomické časové řady. Praha: Professional Publishing.
ISBN 978-80-86946-85-6. (s. 49-69)
ARLT, J., M. ARLTOVÁ a E. RULÍKOVÁ, 2004. Analýza ekonomických časových řad s
příklady. Praha: Oeconomica. ISBN 80-245-0777-3. (s. 20-66)